高數(shù)高斯公式通量與散度省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

9.42.通量與散度1.高斯公式

Green公式推廣Gauss公式高斯公式通量與散度第1頁(yè)1一、高斯公式

定理1

設(shè)空間閉區(qū)域Ω是由分片光滑閉曲面Σ所圍成，函數(shù)P(x，y，z)、Q(x，y，z)、R(x，y，z)在Ω上含有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有或（1′）這里Σ是Ω整個(gè)邊界曲面外側(cè)，cosα、cosβ、cosγ是Σ上點(diǎn)(x，y，z)處法向量方向余弦。公式（1）或（1′）叫做高斯公式。第2頁(yè)2證實(shí):設(shè)為XY型區(qū)域,則第3頁(yè)3所以若不是XY－型區(qū)域,則可引進(jìn)輔助面將其分割成若干個(gè)XY–型區(qū)域,故上式仍成立.正反兩側(cè)面積分正負(fù)抵消,在輔助面類似可證三式相加,即得所證Gauss公式：第4頁(yè)4（2）關(guān)于Ω邊界曲面正向：Ω是單連通區(qū)域時(shí)取外側(cè)；Ω是復(fù)連通區(qū)域時(shí)外層取外側(cè)，內(nèi)層取內(nèi)側(cè)。關(guān)于高斯公式說明:（1）如穿過Ω內(nèi)部且平行于坐標(biāo)軸直線與Σ交點(diǎn)多于兩個(gè)時(shí)，采取分塊方法…第5頁(yè)5（3）高斯公式成立條件：Σ光滑或分片光滑，P、Q、R在Ω上一階偏導(dǎo)連續(xù)。（4）Σ不閉合時(shí)，采取“補(bǔ)面”方法：Σ+Σ1封閉，所圍區(qū)域Ω。及易于計(jì)算第6頁(yè)6例1用Gauss公式計(jì)算其中為柱面閉域整個(gè)邊界曲面外側(cè).解這里利用Gauss公式,得原式=(用柱坐標(biāo))及平面z=0,z=3所圍空間思索若改為內(nèi)側(cè),結(jié)果有何改變?若

為圓柱側(cè)面(取外側(cè)),怎樣計(jì)算?第7頁(yè)7例2利用Gauss公式計(jì)算積分其中為錐面解作輔助面取上側(cè)介于z=0及z=h之間部分下側(cè).所圍區(qū)域?yàn)?/p>

,則第8頁(yè)8利用重心公式,注意第9頁(yè)9例3

計(jì)算其中（1）外側(cè)；（2）內(nèi)側(cè)；

解

(1)(2)第10頁(yè)10例4

計(jì)算，Σ為平面x+y+z=1與三坐標(biāo)面所圍成表面，取外側(cè)。

解比用第二類曲面積分方法簡(jiǎn)單得多。

第11頁(yè)11例5設(shè)

為曲面取上側(cè),求解

作取下側(cè)輔助面用柱坐標(biāo)用極坐標(biāo)第12頁(yè)12在閉區(qū)域上含有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),證實(shí)格林(Green)第一公式例6設(shè)函數(shù)其中是整個(gè)邊界面外側(cè).分析高斯公式第13頁(yè)13證令由高斯公式得移項(xiàng)即得所證公式.第14頁(yè)14二、通量與散度引例設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)不可壓縮流體密度為1,速度場(chǎng)為理意義可知,設(shè)為場(chǎng)中任一有向曲面,單位時(shí)間經(jīng)過曲面流量為則由對(duì)坐標(biāo)曲面積分物由兩類曲面積分關(guān)系,流量還可表示為第15頁(yè)15若為方向向外閉曲面,

當(dāng)

>0時(shí),說明流入流體質(zhì)量少于當(dāng)

<0時(shí),說明流入流體質(zhì)量多于流出,則單位時(shí)間經(jīng)過流量為當(dāng)

=0時(shí),說明流入與流出流體質(zhì)量相等.流出,表明內(nèi)有泉;表明

內(nèi)有洞;依據(jù)高斯公式,流量也可表為③第16頁(yè)16假如Σ是高斯公式(1)中閉區(qū)域邊界曲面外側(cè)，那么高斯公式右端可解釋為單位時(shí)間內(nèi)離開閉區(qū)域Ω流體總質(zhì)量。因?yàn)槲覀兗俣黧w是不可壓縮，且流動(dòng)是穩(wěn)定，所以在流體離開Ω同時(shí)，Ω內(nèi)部必須有產(chǎn)生流體“源頭”產(chǎn)生出一樣多流體來進(jìn)行補(bǔ)充。所以高斯公式左端可解釋為分布在Ω內(nèi)源頭在單位時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生流體總質(zhì)量。設(shè)Ω體積為V，式（1）兩端同除以V，有上式左端表示Ω內(nèi)源頭在單位時(shí)間單位體積內(nèi)所產(chǎn)生流體質(zhì)量平均值。第17頁(yè)17方向向外任一閉曲面

,

記所圍域?yàn)?設(shè)是包含點(diǎn)M且為了揭示場(chǎng)內(nèi)任意點(diǎn)M處特征,在③式兩邊同除以體積V,并令以任意方式縮小至點(diǎn)M則有此式反應(yīng)了流速場(chǎng)在點(diǎn)M特點(diǎn):其值為正,負(fù)或0,分別反應(yīng)在該點(diǎn)有流體涌出,吸入,或沒有任何改變.第18頁(yè)18定義設(shè)有向量場(chǎng)其中P,Q,R

含有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),

是場(chǎng)內(nèi)一片有向則稱曲面,其單位法向量n,為向量場(chǎng)A經(jīng)過有向曲面

通量(流量)。在場(chǎng)中點(diǎn)M(x,y,z)處稱為向量場(chǎng)A

在點(diǎn)M

散度。記作divergence第19頁(yè)19表明該點(diǎn)處有正源,表明該點(diǎn)處有負(fù)源,表明該點(diǎn)處無源,散度絕對(duì)值大小反應(yīng)了源強(qiáng)度.若向量場(chǎng)A

處處有,則稱A

為無源場(chǎng)。

比如,

勻速場(chǎng)故它是無源場(chǎng).說明:由引例可知,散度是通量對(duì)體積改變率,且第20頁(yè)20*例7.置于原點(diǎn),電量為q

點(diǎn)電荷產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)為解:

計(jì)算結(jié)果與僅原點(diǎn)有點(diǎn)電荷事實(shí)相符.第21頁(yè)21例8

已知向量，Σ為圓柱全表面，求A穿過曲面Σ而流向其外側(cè)通量。解：第22頁(yè)22內(nèi)容小結(jié)1.高斯公式及其應(yīng)用公式:應(yīng)用:(1)計(jì)算曲面積分(非閉曲面時(shí)注意添加輔助面技巧)(2)推出閉曲面積分為零充要條件:第23頁(yè)232.通量與散度設(shè)向量場(chǎng)P,Q,R,在域G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則向量場(chǎng)經(jīng)過有向曲面通量為G內(nèi)任意點(diǎn)處散度為第24頁(yè)24思索與練習(xí)所圍立體,判斷以下演算是否正確?(1)(2)

為第25頁(yè)25

備用題設(shè)是一光滑閉曲面,所圍立體體

是外法線向量與點(diǎn)(x,y,z)向徑試證證:

設(shè)

單位外法向量為則夾角,積為V,第26頁(yè)26高斯(1777–1855)德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家,是與阿基米德,牛頓并列偉大數(shù)學(xué)家,他數(shù)學(xué)成就遍布各個(gè)領(lǐng)域,在數(shù)論、級(jí)數(shù)、復(fù)變函數(shù)及橢圓函數(shù)論