1.4.2 用空間向量研究距離、夾角問題 第2課時

第2課時用空間向量研究夾角問題

地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道平面稱為“黃道面”,黃道面與地球赤道面交角(二面角的平面角)為23°26'.黃道面與天球相交的大圓為“黃道”.黃道及其附近的南北寬9°以內(nèi)的區(qū)域稱為黃道帶,太陽及大多數(shù)行星在天球上的位置常在黃道帶內(nèi).黃道帶內(nèi)有十二個星座,稱為“黃道十二宮”.從春分(節(jié)氣)點起,每30°便是一宮,并冠以星座名,如白羊座、獅子座、雙子座等等,這便是星座的由來.問題：空間角包括哪些角?求解空間角常用的方法有哪些?答案：線線角、線面角、二面角;傳統(tǒng)方法和向量法.會用向量的方法求異面直線的夾角、面與面所成的二面角，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力以及直觀想象。1.會用向量方法求兩

異面直線所成角.2.理解直線與平面所成角與直線方向向量和平面法向量夾角之間的關(guān)系,會用向量方法求直線與平面所成角.3.理解二面角大小與兩個面法向量夾角之間的關(guān)系,會用向量方法求二面角的大小.

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例2如圖,在棱長為1的正四面體（四個面都是正三角形）ABCD中，M,N分別為BC,AD的中點，求直線AM和CN夾角的余弦值.分析：求直線AM和CN夾角的余弦值，可以轉(zhuǎn)化為求向量MA與CN夾角的余弦值.為此需要把向量MA,CN用適當(dāng)?shù)幕妆硎境鰜?，進而求得向量MA,CN夾角的余弦值。課堂小結(jié)1.利用向量方法求兩異面直線所成角

若兩異面直線l1,l2所成角為θ,它們的方向向量分別為a,b,則有cos

θ=|cos<a,b>|=.特別提醒：不要將兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角等同起來,因為兩異面直線所成角的范圍是[0,],而兩個向量夾角的范圍是[0,π],事實上,兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角是相等或互補的關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練1如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為

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解析：以D為坐標(biāo)原點,DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)AB=1.則2.利用向量方法求直線與平面所成角

若直線l與平面α所成的角為θ,直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,則有sinθ=|cos<a,n>|=.特別提醒：直線與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角.例3.如圖所示,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點.(1)證明MN∥平面PAB;(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.思路分析:(1)線面平行的判定定理?MN∥平面PAB.(2)利用空間向量計算平面PMN與AN方向向量的夾角?直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

跟蹤訓(xùn)練2在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為CC1的中點,則直線A1B與平面BDE所成的角為(

)B平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與面β的夾角.設(shè)平面α與面β的夾角為θ,平面α與面β的法向量分別為思考：圖中有幾個二面角，兩個平面的夾角與這兩個平面形成的二面角有什么關(guān)系？平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示核心知識1.利用空間向量求直線與平面所成的角。2.利用空間向量求平面與平面所成的角。方法總結(jié)1.異面直線所成角的公式：2.直線與平面所成的角：3.面與面所成的角：易錯提醒注意判斷面與面所成角是銳角還是鈍角。核心素養(yǎng)1.直觀想象：會判斷二面角是銳角還是鈍角2.數(shù)學(xué)運算：會用向量求異面直線夾角、面與面所成的二面角.CC4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別為棱BC和棱CC1的中點,則異面直線AC和MN所成的角為(

)A.30° B.45° C.90° D.60°解析以D為原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1中棱長為2,∵M、N分別為棱BC和棱CC1的中點,∴M(1,2,0),N(0,2,1),A(2,0,0),C(0,2,0),設(shè)異面直線AC和MN所成的角為θ,又θ是銳角,∴θ=60°.∴異面直線AC和MN所成的角為60°,故選D.答案D

6.如圖,四棱錐P-ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3.