基于導重法的拓撲優(yōu)化問題研究

基于導重法的拓撲優(yōu)化問題研究

0拓撲優(yōu)化的設置方法自1988年以來，bend市政委員會提出了一種解算方法以來，管道優(yōu)化已成為最受爭議的結(jié)構(gòu)優(yōu)化領域的研究主題。許多學者投入到該領域進行研究并取得了杰出的成果。澳大利亞學者XIE等于1993年提出了廣受關(guān)注的漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法(Evolutionarystructuraloptimization,ESO)。而當BENDSOE等在1997年闡釋了不同的材料插值方法的物理意義后,變密度法便成為一種在工程領域應用廣泛的方法。國內(nèi)學者隋允康等提出的獨立連續(xù)映射方法(Independentcontinuousmapping,ICM)在拓撲優(yōu)化應用中時也取得了很好的效果。此外,水平集法也是一種正在逐步發(fā)展完善的方法。均勻化方法、變密度法、ESO方法、ICM方法以及水平集法都是拓撲優(yōu)化的建模方法,拓撲優(yōu)化研究的另一方面是拓撲優(yōu)化問題的求解方法。求解方法一般分為兩類:一類為優(yōu)化準則法,一類為數(shù)學規(guī)劃法。左孔天等研究了使用準則法求解基于人工材料密度的拓撲優(yōu)化問題,通過詳盡推導和深入分析全面展示了準則法的優(yōu)缺點。文獻[11-12]分別應用數(shù)學規(guī)劃法中的移動漸進線方法(Methodofmovingasymptotes,MMA)和混合的MMA-MGCMMA方法來求解拓撲優(yōu)化問題,顯示出數(shù)學規(guī)劃法對單工況和多工況問題都能適用的能力及良好的收斂性。通常來說,優(yōu)化準則法的求解效率對設計變量的增加不敏感,優(yōu)化速度較快。但是對不同的問題,優(yōu)化準則法需要構(gòu)建不同的準則,這使得此類方法的通用性大大降低。數(shù)學規(guī)劃法的通用性較強,能夠應用于不同的優(yōu)化問題,但是其迭代次數(shù)多,求解效率不高。針對優(yōu)化準則法和數(shù)學規(guī)劃法的上述不足,本文引入導重法來求解拓撲優(yōu)化問題。導重法是陳樹勛等于20世紀80年代提出的一種結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法,主要用于天線結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設計上,對天線結(jié)構(gòu)做尺寸優(yōu)化,取得了較好的效果。該方法克服了一般的準則法針對不同的優(yōu)化問題需要構(gòu)建不同的優(yōu)化準則的缺點,同時也克服了數(shù)學規(guī)劃法迭代次數(shù)多、求解效率不高的缺點,具有廣泛的適用性和較高的求解效率。鑒于此,本文引入導重法來求解拓撲優(yōu)化問題,以期能對拓撲優(yōu)化問題達到簡單高效的求解。1拉格朗日方程關(guān)于導重法更詳細的內(nèi)容可參閱文獻[13-14],本節(jié)僅做簡單介紹。通常,單工況的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題可以寫為以下形式式中X——N維設計變量f(X),g(X)——目標函數(shù)和約束函數(shù),它們可以是質(zhì)量、強度、精度、安全度、諧振頻率、位移、應力等反映結(jié)構(gòu)特性和靜動力學性能的量xiL,xiU——設計變量ix的上下約束限為求解該優(yōu)化問題,首先構(gòu)造拉格朗日方程式中,λ為拉格朗日乘子?；趲於鳌獥l件,在最優(yōu)值X*處必須滿足結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題可以分為兩類:(1)在質(zhì)量約束下求結(jié)構(gòu)的最優(yōu)性能;(2)在性能約束下求結(jié)構(gòu)的最小質(zhì)量。下面就分兩種情況討論。1.1結(jié)構(gòu)最優(yōu)性能問題的導重法迭代準則在此類問題中,f(X)是表征結(jié)構(gòu)性能的量,g(X)是結(jié)構(gòu)質(zhì)量或者體積等表征結(jié)構(gòu)材料多少的量。根據(jù)式(4),令式中Hi——xi的堆密度Wi——xi的等效質(zhì)量G——總導重將式(5)、(7)代入式(4)得式(9)即為導重法的迭代準則,在迭代時將其寫為為保證迭代收斂,引入一個步長因子α,并考慮設計變量的上下限得式(11)為質(zhì)量約束下求結(jié)構(gòu)最優(yōu)性能問題的導重法迭代式。下面需要求拉格朗日乘子λ。根據(jù)式(9),在最優(yōu)值X*處有即效總質(zhì)量,故每次迭代時,可令式中,0W為結(jié)構(gòu)材料用量的約束限,例如質(zhì)量或體積約束。根據(jù)式(11)、(14),質(zhì)量約束下求結(jié)構(gòu)最優(yōu)性能的優(yōu)化問題便可求解。1.2性能約束下的乘子法在此類問題中,f(X)是結(jié)構(gòu)質(zhì)量或者體積等表征結(jié)構(gòu)材料多少的量,g(X)是表征結(jié)構(gòu)性能的量。根據(jù)式(4),令將式(15)、(17)代入式(4)得在迭代時將其寫為為保證迭代收斂,引入一個步長因子α,并考慮設計變量的上下限得式(21)為性能約束下求結(jié)構(gòu)最小質(zhì)量問題的導重法迭代式。下面需要求拉格朗日乘子λ。根據(jù)式(19),在最優(yōu)值X*處有即故每次迭代時可令式中,0G為結(jié)構(gòu)性能的約束限。根據(jù)式(21)、(24),性能約束下求結(jié)構(gòu)最小質(zhì)量的優(yōu)化問題便可求解。由上面的推導過程可以看出,導重法的迭代準則是基于庫恩—塔克條件構(gòu)造的,導重為設計變量與表征結(jié)構(gòu)性能的量的敏度的負乘積,堆密度為表征結(jié)構(gòu)材料用量的量的敏度,而每次迭代設計變量與導重成正比,與堆密度成反比。對不同的優(yōu)化問題,該準則都是適用的,并且最終的迭代公式也很簡單。2采用導重法求解化工原因單工況的拓撲優(yōu)化問題可以按兩種方式建立優(yōu)化模型:(1)在質(zhì)量約束下求最小柔度;(2)在位移約束下求最小質(zhì)量。本節(jié)討論用導重法求解質(zhì)量約束下的最小柔度問題。本文采用SIMP方法建立拓撲優(yōu)化的材料插值模型,故質(zhì)量約束下求最小柔度的拓撲優(yōu)化問題可寫為式中ρi——第i個有限元的相對密度ρmin——設計變量的取值下限N——有限元的數(shù)量m——結(jié)構(gòu)質(zhì)量m0——結(jié)構(gòu)初始質(zhì)量f——約束因子求解該優(yōu)化問題關(guān)鍵在于求出柔度C和質(zhì)量m相對于設計變量ρ的顯式表達式。柔度可以寫為式中F——載荷矢量U——位移矢量k——總體剛度矩陣ui——第i個單元的位移矢量ki——第i個單元的剛度矩陣根據(jù)SIMP方法,有式中kio——第i個單元的初始剛度矩陣p——SIMP方法的懲罰因子又有忽略載荷矢量F隨設計變量ρ的變化,得由kU=F可得將式(31)代入式(30)得質(zhì)量m可用式(33)表達式中,iv為第i個單元的體積。由式(33)得則根據(jù)導重法,依式(5)~(8),定義則根據(jù)式(11)可得迭代式λ由式(14)得則根據(jù)式(39)、(40),優(yōu)化問題可得解。下面根據(jù)上述方法計算兩個算例。兩個算例如圖1和圖2所示。設計域都為0.2m×0.1m的矩形,圖1中設計域的左端被約束,右端中點受豎直向下的拉力p=1000N;圖2中設計域的上部左右兩端點被約束,下端中點受豎直向下的拉力p=1000N。兩個算例中都去除材料70%,即約束因子f=0.3,其他的參數(shù)見下表所示。圖3和圖5分別顯示了兩個算例的迭代過程,可以看出,用導重法求解最小柔度的拓撲優(yōu)化問題可以達到比較快的收斂速度。圖4和圖6分別顯示了兩個算例的拓撲優(yōu)化圖像。在畫拓撲優(yōu)化圖像時,根據(jù)單元相對密度ρ的值賦給該單元顏色灰度值,ρ越大,顏色越黑,ρ越小,顏色越白。從圖4、6可以看出,雖然得出的圖像有些部分灰度值不均勻,但已經(jīng)完全反映出了最優(yōu)的拓撲結(jié)構(gòu)。3位移矢量的拓撲優(yōu)化位移約束下求最小質(zhì)量的拓撲優(yōu)化問題可寫為式中u——位移u0——位移的約束限為求解此優(yōu)化問題,需要將質(zhì)量m和位移u寫成設計變量ρ的顯式表達式。質(zhì)量m及其敏度關(guān)于設計變量ρ的顯式表達式如式(33)和式(34)所示。對于位移u,根據(jù)kU=F可知在方程兩邊同乘vF可得式中,vF為虛載荷矢量,它與位移u相應的那一項值為1,其他項的值為0。因為k-1對稱,所以式(43)又可以寫為令式中,vU可以被認為是方程kvU=vF的解,即結(jié)構(gòu)在虛載荷vF的作用下的位移。這樣式(44)可以寫為將式(27)代入式(46)得式中,vui為vU中第i個單元的位移矢量。式(47)就是位移u的顯式表達式,接下來求u的敏度。根據(jù)式(31)可得兩邊同乘以vF得將式(27)代入式(49)得這樣,根據(jù)導重法,依式(15)~(18),定義則根據(jù)式(21)可得迭代式λ由式(24)得則根據(jù)式(55)和式(56),優(yōu)化問題可得解。下面根據(jù)上述方法計算圖1和2中的兩個算例。兩個算例中受到載荷都為p=1000N,位移約束限u0=0.0001m,其他的參數(shù)如上表所示。圖7和圖9分別顯示了兩個算例的迭代過程,圖8和圖10分別顯示了兩個算例的拓撲優(yōu)化結(jié)果。從圖7~10可以看出,用導重法求解最小質(zhì)量的拓撲優(yōu)化問題也可以達到比較快的收斂速度,并得到較好的拓撲優(yōu)化結(jié)果。4在anasas中的應用采用ANSYS的拓撲優(yōu)化功能對算例1進行了計算,以與導重法的計算結(jié)果進行對比分析。在ANSYS中計算拓撲優(yōu)化問題,既可以按照最小柔度問題建模,也可以按照最小質(zhì)量問題建模。在求解時ANSYS提供了優(yōu)化準則法(Optimalitycriteria,OC)和序列凸規(guī)劃法(Sequentialconvexprogrmming,SCP)兩種方法。圖11是在ANSYS中按最小柔度問題建模并采用OC方法求解的迭代過程,圖12是按最小柔度問題建模并采用SCP方法求解的迭代過程,圖13是按最小質(zhì)量問題建模并采用SCP方法求解的迭代過程。比較圖3與圖11可以看出,按最小柔度問題建模求解,導重法與OC方法的求解效率差不多。但是考慮到OC方法不能求解最小質(zhì)量問題,導重法在適用范圍上顯然比OC方法更具優(yōu)勢。比較圖3與圖12、圖7與圖13可以看出,不管是求解最小柔度問題還是求解最小質(zhì)量問題,導重法的求解效率都比SCP方法高。因此,通過上述比較可以得出,導重法相比于OC方法和SCP方法在適用范圍和求解效率上都具有更大的優(yōu)勢