高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性第一冊課件2-3-4圓與圓的位置關(guān)系

2.3.4圓與圓的位置關(guān)系第二章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)核心素養(yǎng)思維脈絡(luò)1.理解圓與圓的位置關(guān)系的種類.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握圓與圓的位置關(guān)系的代數(shù)判斷方法與幾何判斷方法.(邏輯推理)3.能夠利用上述方法判斷兩圓的位置關(guān)系.(邏輯推理)4.體會根據(jù)圓的對稱性靈活處理問題的方法和它的優(yōu)越性.(直觀想象)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思魔術(shù)鋼圈有很多的版本,通常有三連環(huán)和四連環(huán).三連環(huán)中,有一個環(huán)是有缺口的,而另外兩個環(huán)是密封的;而四連環(huán)的原理基本相同,唯一不同的是有兩個環(huán)本來就連在一起,其余是一個有缺口的環(huán)和一個密封的環(huán).表演時基本的手法是敲擊法和摩擦法.敲擊法:一手拿一個環(huán),右手拿的是有缺口的環(huán).缺口環(huán)的口要在右手的尾指處.用右手的環(huán)敲擊左手的環(huán).先裝作敲兩下,第三下時右手的環(huán)迅速向下敲,同時讓左手的環(huán)的上端穿過右手的環(huán)的缺口,穿進去后便連在一起.摩擦法:同樣一手拿一個環(huán),其中一個當然是缺口環(huán),不過你哪一只手拿缺口環(huán)都行.把兩個環(huán)靠在一起,讓兩個環(huán)的一端進行摩擦.當然,缺口不能讓別人看到,要用食指捂住.當兩個環(huán)摩擦?xí)r,趁機讓普通環(huán)的一端直接滑入缺口環(huán)的缺口處.成功滑入后,再摩擦兩下,拉直兩個環(huán)就行啦.在魔術(shù)師美輪美奐的表演中,對于圈而言,有時分開,有時相連;如果把魔術(shù)圈看成圓,那么圖中兩個圓的位置關(guān)系能否用圓心和半徑來刻畫呢?知識點撥圓與圓位置關(guān)系的判定1.幾何法:若兩圓的半徑分別為r1,r2,兩個圓的圓心距為d,則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下:位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1,r2的關(guān)系d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2d=|r1-r2|d<|r1-r2|微判斷(1)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和,則兩圓相交.(

)(2)若兩圓有公共點,則|r1-r2|≤d≤r1+r2.(

)答案

(1)×

(2)√微思考當兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含時,兩圓的公切線分別有幾條?提示

兩圓外離時,公切線有4條,外切時有3條,相交時有2條,內(nèi)切時有1條,內(nèi)含時沒有公切線.2.代數(shù)法:設(shè)兩圓的一般方程為

則方程組解的個數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下:方程組解的個數(shù)210兩圓的公共點的個數(shù)210兩圓的位置關(guān)系相交外切或內(nèi)切外離或內(nèi)含微判斷如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解,則兩圓外切.(

)答案

×微思考如果兩圓相交,如何得到這兩圓的公共弦所在的直線方程?提示

當兩圓相交時,可解兩圓的方程所組成的方程組,得到兩交點坐標,利用兩點式得到兩圓的公共弦所在的直線方程,也可以把兩圓的方程作差消去x2和y2,就得到兩圓的公共弦所在的直線方程.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一兩圓位置關(guān)系的判斷例1(1)圓O1:x2+y2-2x=0與圓O2:x2+y2-2y=0的位置關(guān)系是(

)A.外離 B.相交 C.外切 D.內(nèi)切(2)圓O1:(x+2)2+(y-2)2=1與圓O2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置關(guān)系為

.

答案

(1)B

(2)外切

解析

(1)兩圓的標準方程為(x-1)2+y2=1和x2+(y-1)2=1,對應(yīng)圓心坐標為O1(1,0),半徑為1,和圓心坐標O2(0,1),半徑為1,則圓心距離|O1O2|=,則0<|O1O2|<2,即兩圓相交,故選B.(2)兩圓的圓心分別為O1(-2,2),O2(2,5),半徑分別為r1=1,r2=4,所以要點筆記判斷兩圓的位置關(guān)系常用兩種方法幾何法和代數(shù)法,但一般情況下用幾何法,即用兩圓半徑和圓心距之間的關(guān)系來刻畫,此種方法形象直觀,關(guān)鍵是明確圓心和半徑,再套用圓與圓位置關(guān)系的關(guān)系式進行求解或判斷.延伸探究若本例(1)中條件不變,所求改為“求圓O1與圓O2的公切線條數(shù)”結(jié)論又如何?解

根據(jù)例題中結(jié)論☉O1與☉O2相交,則由平面幾何知識可知,公切線條數(shù)為2.變式訓(xùn)練1已知圓C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圓C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,當m為何值時,分別滿足下列情況:(1)圓C1與圓C2外切;(2)圓C1與圓C2內(nèi)含.解

易得圓C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圓心C1(m,-2),半徑r1=3;圓C2:(x+1)2+(y-m)2=4,圓心C2(-1,m),半徑r2=2.(1)如果圓C1與圓C2外切,所以m2+3m-10=0,解得m=2或m=-5.(2)如果圓C1與圓C2內(nèi)含,探究二兩圓的公共弦問題例2已知兩圓x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0.(1)判斷兩圓是否相交,若相交,求出公共弦所在的直線方程,若不相交,請說明理由;(2)求公共弦的長度.解

(1)相交.將兩圓方程配方化為標準方程,則C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,∴|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2,∴兩圓相交.將兩圓方程相減,得公共弦所在的直線方程為x-2y+4=0.(2)方法一:由(1)知圓C1的圓心(1,-5)到直線x-2y+4=0的距離為

反思感悟1.當兩圓相交時,公共弦所在的直線方程的求法若圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.2.公共弦長的求法(1)代數(shù)法:將兩圓的方程聯(lián)立,解出交點坐標,利用兩點間的距離公式求出弦長.(2)幾何法:求出公共弦所在直線的方程,利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形,根據(jù)勾股定理求解.變式訓(xùn)練2(1)若圓x2+y2-2x+F=0和圓x2+y2+2x+Ey-4=0的公共弦所在的直線方程是x-y+1=0,則(

)A.E=-4,F=8 B.E=4,F=-8C.E=-4,F=-8 D.E=4,F=8(2)兩圓x2+y2-10x-10y=0,x2+y2+6x+2y-40=0的公共弦的長為(

)(3)由題意將兩圓的方程相減,可得圓C1和圓C2公共弦所在的直線l的方程為x+y-1=0.又圓C3的圓心坐標為(1,1),探究三圓系方程的應(yīng)用例3(1)對于任意實數(shù)λ,曲線(1+λ)x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-6λ=0恒過定點

.

(2)求過直線x+y+4=0與圓x2+y2+4x-2y-4=0的交點且與直線y=x相切的圓的方程.(1)答案

(1,3)和(1,-3)解析

曲線(1+λ)x2+(1+λ)y2+(6-4λ)x-16-6λ=0可化為(x2+y2+6x-16)+λ(x2+y2-4x-6)=0,∴x2+y2+6x-16=0且x2+y2-4x-6=0,可得恒過定點(1,3)和(1,-3).(2)解

設(shè)所求圓的方程為x2+y2+4x-2y-4+λ(x+y+4)=0.得x2+(1+λ)x+2(λ-1)=0.因為所求圓與直線y=x相切,所以Δ=0,即(1+λ)2-8(λ-1)=0,解得λ=3,故所求圓的方程為x2+y2+7x+y+8=0.反思感悟1.當經(jīng)過兩圓的交點時,圓的方程可設(shè)為(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,然后用待定系數(shù)法求出λ即可.2.當給出的方程結(jié)構(gòu)中參數(shù)比較分散時,要注意將含參數(shù)的合并在一起,進而討論過定點或交點問題.變式訓(xùn)練3求圓心在直線x-y-4=0上,且過圓x2+y2-4x-6=0和圓x2+y2-4y-6=0的交點的圓的方程.解

方法一:設(shè)經(jīng)過兩圓交點的圓系方程為x2+y2-4x-6+λ(x2+y2-4y-6)=0(λ≠-1),所以所求圓的方程為x2+y2-6x+2y-6=0.即所求圓的圓心坐標為(3,-1),所以所求圓的方程為(x-3)2+(y+1)2=16.素養(yǎng)形成易錯點——因方程丟解而致錯案例已知集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=a2},若A∩B中有且僅有一個元素,求a的值.錯解

由條件A∩B中有且僅有一個元素可知兩圓相切,所以|O1O2|=5=a+2或5=a-2.所以a=3或a=7.錯因分析本題錯解產(chǎn)生的根源是誤認為參數(shù)a是正數(shù)了.【規(guī)范答題】正解

由A∩B中有且僅有一個元素,可知兩圓相切,所以|O1O2|=5=|a|+2或5=||a|-2|,解得a=±3或a=±7.綜上所述,a的值為±3或±7.防范措施在圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2中要明確各個參數(shù)的含義,尤其是r這個量,當r代表圓的半徑時,理所當然r>0.但在一些情景下,圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=m2只要保證等式右邊是正數(shù)即可.也就是只需m2>0即可,這樣m≠0即可.當堂檢測1.圓(x-3)2+(y+2)2=1與圓x2+y2-14x-2y+14=0的位置關(guān)系是(

)A.外切 B.內(nèi)切 C.相交 D.外離答案

B解析

圓x2+y2-14x-2y+14=0變形為(x-7)2+(y-1)2=36,圓心坐標為(7,1),半徑為r1=6,圓(x-3)2+(y+2)2=1的圓心坐標為(3,-2),半徑為r2=1,所以圓心距2.圓x2+y2-4x+6y=0和圓x2+y2-6x=0交于A,B兩點,則AB的垂直平分線的方程是(

)A.x+y+3=