《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課后習題答案-

習題1.1解答

1.將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件A,8,。分別表示“第一次出現(xiàn)正面”，“兩次

出現(xiàn)同一面”，“至少有一次出現(xiàn)正面”。試寫出樣木空間及事件中的樣木

點。

解：。={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}

A={(正，正)，(正，反)}；B={(正，正)，(反，反)}

C={(正，正)，(正，反)，(反，正)}

2.在擲兩顆骰子的試驗中，事件分別表示“點數(shù)之和為偶數(shù)”，“點數(shù)

之和小于5”，“點數(shù)相等”，“至少有一顆骰子的點數(shù)為3”。試寫出樣本空間及

事件48,4+8,彳。,8。，4一8-。一￡)中的樣本點。

解：。={(1,1),(1,2),■.?,(1,6),(2,1),(2,2),???,(2,6),■??,(6,1),(6,2),???,(6,6)}；

A3={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1)}；

A+B={(1,1),(1,3),(1,5),-,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)}；

"=(D；6C={(1,1),(2,2)}；

A-B-C-D^{(1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)}

3.以4,B,C分別表示某城市居民訂閱口報、晚報和體育報。試用表示以下

事件：

(1)只訂閱日報；(2)只訂日報和晚報；

(3)只訂一種報；(4)正好訂兩種報：

(5)至少訂閱一種報;(6)不訂閱任何報;

(7)至多訂閱?種報;(8)三種報紙都訂閱;

(9)三種報紙不全訂閱。

解：(1)ABC；(2)ABC；(3)ABC+ABC+ABC；

(4)ABC+ABCABC\(5)A+B+C；

(6)ABC；(7)不豆不+W百C+&B「+A耳「或彳豆+彳不+萬仁

(8)ABCx(9)A+B+C

4.甲、乙、丙三人各射擊一次，事件4，42，43分別表示甲、乙、丙射中。試說明

下列事件所表示的結果：X2,A2+A3,欣，4+&，A|&4，

AA,+A-,A3+&A3.

解：甲未擊中；乙和丙至少一人擊中；甲和乙至多有一人擊中或甲和乙至少有

一人未擊中；甲和乙都未擊中；甲和乙擊中而丙未擊中；甲、乙、丙三人至少有

兩人擊中。

5.設事件A,B,C滿足ABC^①，試把下列事件表示為一些互不相容的事件的和：

A+B+C>AB+C>B—AC.

解：如圖：

A+8+C=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC',

AB+C=ABC+C;

B-AC=ABC+ABC+ABC

BA+ABC

^BC+ABC

6.若事件4,B,C滿足4+C=B+C,試問4=8是否成立？舉例說明。

解：不一定成立。例如：A={3,4,5},8={3},。={4,5},

那么，A+C^B+C,但AwB。

7.對于事件A,8,C,試問A-(8-C)=(A—B)+C是否成立？舉例說明。

解：不一定成立。例如:A={3,4,5},6={4,5,6},C={6,7).

那么A—(6—C)={3},但是(A—8)+C={3,6,7}。

8.設尸(A)=；,P(B)=^，試就以下三種情況分別求尸(B4)：

(1)A8=05,(2)AuB,(3)P(AB)=J.

o

解：

(1)=P(B-AB)=P(fi)-P(AB)=-；

2

(2)P(fil)=P(B-A)=P(B)-P(A)=-；

6

一113

(3)P(BA)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=-----二一。

288

9.已知P(A)=P(B)=P(C)=1,P(AC)=P(BC)鼻,P(A8)=0求事件

416

A,8,C全不發(fā)生的概率。

解：P(ABC)=P(A+B+C)=1-P(A+B+C)

=1-忸(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)]

,「111,、11cl3

.4441616J8

10.每個路口有紅、綠、黃三色指示燈，假設各色燈的開閉是等可能的。一個人騎

車經(jīng)過三個路口，試求下列事件的概率：A="三個都是紅燈”=“全紅"；B=

“全綠”；C=“全黃”；D=“無紅"；E=“無綠”；F="三次顏色相

同"；G="顏色全不相同"：H="顏色不全相同”。

解：

[X[X]i2x2x28

P(A)=P(5)=P?=E=^；P(D)=P⑻3x3x327

3!2

尸(尸)------F------1------P(G)=

27272793x3x39

IO

P(H)=1-P(F)=1——=-.

99

11.設一批產(chǎn)品共100件，其中98件正品，2件次品，從中任意抽取3件(分三

種情況：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3

次)，試求：

(1)取出的3件中恰有1件是次品的概率；

(2)取出的3件中至少有1件是次品的概率。

解：

一次拿3件：

(1)2=無叁=0.0588；(2)。="腎&=0.0594；

v100Joo

每次拿一件，取后放回，拿3次:

2x982,983

(1)P=———x3=0.0576；(2)P=1-----=0.0588；

10()31003?

每次拿一件，取后不放回，拿3次:

2x98x97

(1)P=----------x3=0.0588；

100x99x98

98x97x96

(2)P=\------------=0.0594

100x99x98

12.從0,1,2,…,9中任意選出3個不同的數(shù)字，試求下列事件的概率:

A[={三個數(shù)字中不含0與5},A2={三個數(shù)字中不含0或5}o

解:

P(AJ￡t=2_

G；15

P(&)=寫旦S或玖4)=1百14

Cio13^io15

13.從0,1,2,…,9中任意選出4個不同的數(shù)字，計算它們能組成一個4位偶數(shù)的

概率。

32

向c5R-4R41

解：■

90

14.一個宿舍中住有6位同學，計算下列事件的概率:

(1)6人中至少有1人生日在10月份；

(2)6人中恰有4人生日在10月份；

(3)6人中恰有4人生日在同一月份；

解：

]I62

⑴八1廿。.41;(2)P=-=0.00061；

126

c：2m2

(3)P=三0.0073

126

15.從一副撲克牌(52張)任取3張(不重復)，計算取出的3張牌中至少有2

張花色相同的概率。

解:

P=4Y4口39三0.602或P=]_J三0,602

習題L2解答

1.假設一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%,30%、10%,從中任取一件，結果不

是三等品，求取到的是一等品的概率。

解:

令4="取到的是i等品"，1=1,2,3

p（M）_P（A）_竺_2

P(A&=

p（4）-p（4）-（19-3

2.設10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取2件，已知所取2件產(chǎn)品中有1件不合

格品，求另一件也是不合格品的概率。

解：

令4="兩件中至少有一件不合格"，B="兩件都不合格”

P(AB)

P⑻A)=

P(A)

3.為了防止意外，在礦內(nèi)同時裝有兩種報警系統(tǒng)I和n。兩種報警系統(tǒng)單獨使用

時，系統(tǒng)I和II有效的概率分別0.92和0.93,在系統(tǒng)I失靈的條件下，系統(tǒng)H仍有效

的概率為085,求

（1）兩種報警系統(tǒng)I和II都有效的概率;

（2）系統(tǒng)II失靈而系統(tǒng)1有效的概率；

（3）在系統(tǒng)【I失靈的條件下，系統(tǒng)I仍有效的概率。

解：令4="系統(tǒng)（I）有效"，B="系統(tǒng)（H）有效”

則尸(A)=0.92,P(B)=0.93,P(BI,)=0.85

(1)P(AB)=P(B-XB)=P(B)-P(AB)

=P(B)-P(A)P(BIA)=0.93-(1-0.92)x0.85=0.862

(2)P(BA)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.92-0.862=0.058

P(AB)0.058

(3)P(A\B)=0.8286

P⑻1-0.93

4.設0<P(A)<l,證明事件A與8獨立的充要條件是

P(BIA)=P(BIA)

證：

=>：〈A與6獨立，彳與6也獨立。

P(BIA)=F(B),P(B11)=P(B)

：.P(BIA)=P(BIA)

u：v0<P(A)<1.■.0<F(I)<l

P(AB)P(AB)

又；P(8IA)=,P(B\A)

尸(A)P(1)

而山題設0⑻*=尸⑻D?.瑞=制

即口—P(A)]尸(AB)=P(A)[P(B)-P(AB)]

P(AB)=P(A)P(B),故A與8獨立。

5.設事件A與8相互獨立，兩個事件只有A發(fā)生的概率與只有B發(fā)生的概率都

是(，求P(A)和尸(8).

--1

解：???P(AB)=P(AB)=—,又與B獨立

--1

P(AB)=P(A)P(B)=[1-P(A)]P(B)=-

4

--1

P(AB)=尸(A)尸(8)=P(A)[1-P⑻]=-

4

1

P(A)=P(8),P(A)-P2?(A)=-

4

即P(A)=P(8)=L

2

6.證明若尸(A)>0,P(B)>0,則有

(1)當A與6獨立時，A與8相容；

(2)當A與6不相容時，A與8不獨立。

證明：P(A)>0,P(8)>0

(1)因為A與8獨立，所以

P(AB)=P(A)P(B)>0,A與8相容。

(2)因為尸(A8)=0,而尸(A)P(B)>0,

P(AB)*P(A)P(5),A與5不獨立。

7.已知事件A,8,C相互獨立，求證AU8與。也獨立。

證明：因為4、B、。相互獨立，

P[(4UB)nC]=P(ACU8C)

=P(AC)+P(BC)-P(ABC)

=P(A)P(C)+P(8)P(C)-P(A)P(B)P(C)

=[P(A)+P(B)-P(AB)]P(C)=P(AUB)P(C)

AU8與C獨立。

8.甲、乙、丙三機床獨立工作，在同一段時間內(nèi)它們不需要工人照顧的概率分別

為0.7,0.8和0.9,求在這段時間內(nèi)，最多只有一臺機床需要工人照顧的概率。

解：

令4，42，43分別表示甲、乙、丙三機床不需要工人照顧，

那么P(A)=0.7,P(4)=0.8,P(4)=0.9

令3表示最多有?臺機床需要工人照顧，

那么P(B)=尸(A]A2A3+4A2A3+2A3+2A3)

=P(A]&4)+P(%A2A3)+P(M4)+P(AA4)

=0.7x0.8x0.9+0.3x0.8x0.9+0.7x0.2x0.8+0.7x0.8x0.1

=0.902

9.如果構成系統(tǒng)的每個元件能正常工作的概率為p(0<p<1),(稱為元件的可

靠性)，假設各元件能否正常工作是相互獨立的，計算下面各系統(tǒng)的可靠性。

系統(tǒng)I

系統(tǒng)II

解：令4="系統(tǒng)(I)正常工作"B="系統(tǒng)(II)正常工作”

A,=“第i個元件正常工作"，i=l,2,…,2〃

P(AJ=尸,A，A2,…，A2”相互獨立。

那么

P(A)=耳但4…A,,)+(4+出,+2…)]

=p[(A4…4)]+p[(A?+]A?+2-A2?)\-P(ALA2-A2II)

nIn2n

=np(a)+np(A,)-np(4)

i=l/=n+li=]

=2P"-P2n=Pn(2-P")

P(B)=P[(%+L+4+2)x…x⑷+A2?)]

=小(4+電)

n【P(A,)+P(A,+j)—P(A,)P(A〃+,)]

=n[2p-p2]=p'(2—「)”

10.10張獎券中含有4張中獎的獎券，每人購買1張，求

(1)前三人中恰有一人中獎的概率；

(2)第二人中獎的概率。

解：令4="第i個人中獎”，i=1,2,3

(1)P(AtA2A3+A1A2A3+4A2A3)

=P(A2A3)+P(A2A3)+PiA^A^

=P(4)P(&I4)P(AI4心+2用2區(qū)lA)P(&IA彳2)

+P(Ai)P(A2\Al)P(A3\AlA2)

4656546451

-----X——X------1-------X—X------1-------X—X—=

1098109810982

⑵p（&）=p（a）p（&IA）+p（A）p（414）

43642

=--X---1---X—=一

1091095

11.在肝癌診斷中，有一種甲胎蛋白法，用這種方法能夠檢查出95%的真實患

者，但也有可能將10%的人誤診。根據(jù)以往的記錄，每10000人中有4人患有肝癌,

試求：

（1）某人經(jīng)此檢驗法診斷患有肝癌的概率；

（2）已知某人經(jīng)此檢驗法檢驗患有肝癌，而他確實是肝癌患者的概率。

解：

令8="被檢驗者患有肝癌”，A="用該檢驗法診斷被檢驗者患有肝癌”

那么，P（AIB）=0.95,P（AIB）=0.10,P（B）=0.0004

(1)P(A)=P(B)P(AIB)+P(R)P(AIB)

=0.0004x0.95+0.9996x0.1=0.10034

P(B)P(AI6)______

(2)P(BIA)

P(6)P(AIB)+P(耳)P(AIB)

0.0004x0.95

=0.0038

0.0004x0.95+0.9996x0.1

12.?大批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為30%,每次任取1件，連續(xù)抽取5次，計算下列事

件的概率：

（1）取到的5件產(chǎn)品中恰有2件是優(yōu)質(zhì)品；

（2）在取到的5件產(chǎn)品中已發(fā)現(xiàn)有1件是優(yōu)質(zhì)品，這5件中恰有2件是優(yōu)質(zhì)品。

解：令5="5件中有i件優(yōu)質(zhì)品"，i=0,1,2,3,4,5

23

(1)P(B2)=C5(0.3)(0.7)=0.3087

(2)P(J|0B,)=P(%I瓦

1=1尸("o)

P(B。0.3087.八…

=--------=--------=U.3/1

"P(B0)1-(0.7)5

13.每箱產(chǎn)品有10件，其次品數(shù)從0到2是等可能的。開箱檢驗時，從中任取1

件，如果檢驗是次品，則認為該箱產(chǎn)品不合格而拒收。假設由于檢驗有誤，1件正品

被誤檢是次品的概率是2%,1件次品被誤判是正品的概率是5%,試計算：

(1)抽取的1件產(chǎn)品為正品的概率；

(2)該箱產(chǎn)品通過驗收的概率。

解：令A="抽取一件產(chǎn)品為正品”

4="箱中有i件次品"，i=0,1,2

B=”該箱產(chǎn)品通過驗收”

2

2110—Z

(1)P(A)=XIA)=Eox-[7T=°-9

<=o<=o310

(2)P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)

=0.9x0.98+0.1x0.05=0.887

14.假設一廠家生產(chǎn)的儀器，以概率0.70可以直接出廠，以概率0.30需進一步調(diào)

試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.80可以出廠，并以概率0.20定為不合格品不能出廠?，F(xiàn)該廠新

生產(chǎn)了〃(〃22)臺儀器(假設各臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨立)，求：

(1)全部能出廠的概率；

(2)其中恰有2件不能出廠的概率;

(3)其中至少有2件不能出廠的概率。

解：令4="儀器需進一步調(diào)試"；B="儀器能出廠”

彳="儀器能直接出廠”；AB="儀器經(jīng)調(diào)試后能出廠”

顯然8=X+A8,

那么P(A)=0.3,P(8lA)=0.8

P(AB)=PA)P(BIA)=0.3x0.8=0.24

所以P(B)=尸(彳)+P(AB)=0.7+0.24=0.94

令B,="〃件中恰有i件儀器能出廠"，i=()』「??,”

(1)P(筑)=(0.94)”

2n-22

(2)P(Bn_2)=C"~(0.94)(0.06)=C；(O.94)"-2(O.O6)2

n-2

(3)P(E紇)=1一尸(紇T)-P(4)=1-C：0.06(0.94)"T-(0.94)"

A-=0

15.進行一系列獨立試驗，每次試驗成功的概率均為p,試求以下事件

的概率：

(1)直到第r次才成功；

(2)第r次成功之前恰失敗k次；

(3)在〃次中取得r(lWrW")次成功；

(4)直到第〃次才取得次成功。

解：

(1)p=p(i-py-l

(2)P=C；f(J”

⑶P=C：PP—P嚴

rr

⑷p=c^P(\-Py-

16.對飛機進行3次獨立射擊，第一次射擊命中率為0.4,第二次為0.5,第三次

為0.7.擊中飛機一次而飛機被擊落的概率為0.2,擊中飛機二次而飛機被擊落的概率

為0.6,若被擊中三次，則飛機必被擊落。求射擊三次飛機未被擊落的概率。

解：令4="恰有i次擊中飛機"，i=0,1,2,3

B="飛機被擊落”

顯然：

P(A0)=(1-0.4)(1-0.5)(1-0.7)=0.09

尸(A)=0.4x(1-0.5)x(1-0.7)+(1-0.4)x0.5x(l-0.7)+(1-0.4)x(l-0.5)x0.7

=0.36

P(A2)=0.4x0.5x(l-0.7)+0.4x(l-0.5)x0.7+(1-0.4)x0.5x0.7

=0.41

P(4)=04x0.5x0.7=0.14

而P(8IAo)=O,P(BI4)=0.2,尸(川&)=0-6,尸(61A3)=1

所以

3

P(B)=ZP(4)P(B14)=0.458；尸(巨)=1-P(B)=1-0.458=0.542

r=0

習題1.3解答

1.設X為隨機變量，且尸。=口=十(左=1,2「。則

(1)判斷上面的式子是否為X的概率分布；

(2)若是，試求P(X為偶數(shù))和尸(X25).

解：令P(X=k)=Pk==1,2,…

(1)顯然OWPkWT,且

OO001_L

fpk=E^r=77T=1

k=lk=l4l~2

所以P(X=k)=(水=1,2,…為一概率分布。

800111

⑵P(X為偶數(shù))=￡%=z訶=丁彳=.

1-

A=1k=i24J

0000尹二1

P(XN5)=Z〃《=W

1^4~16

k=5&=：

2.設隨機變量X的概率分布為P(X=女)=算6々(&=1,2,…)，且丸〉0,求常

K\

數(shù)C.

.a；，]k

解：?.?￡＞與“=1,而￡勺”=1

￡k!總上

.-.C1——e-'=1,即c=(l-e4)T

0!

3.設一次試驗成功的概率為p(0<p<1),不斷進行重復試驗，直到首次成功

為止。用隨機變量X表示試驗的次數(shù)，求X的概率分布。

解：p(x=k)=pQ—p)z,k=i,2,…

4.設自動生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為p=0.1,當生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時

立即進行調(diào)整，X代表在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)，試求

(1)X的概率分布；(2)P[X>5)?

解：

(1)P(X=々)=(1—ppp=(0.9)&x0.1,女=0,1,2,…

(2)P(XN5)=￡P(X=女)=次(0.9)?x0.1=(0.9)5

k=5k=5

5.一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中有1個答案是正確

的。求某學生靠猜測能答對至少4道題的概率是多少？

解：因為學生靠猜測答對每道題的概率為/，=,，所以這是一個“=5,〃=1

44

的獨立重復試驗。

P(XN4)=C(y+C沖5?。=*

6.為了保證設備正常工作，需要配備適當數(shù)量的維修人員。根據(jù)經(jīng)驗每臺設備發(fā)

生故障的概率為0.01,各臺設備工作情況相互獨立。

(1)若由1人負責維修20臺設備，求設備發(fā)生故障后不能及時維修的概率；

(2)設有設備100臺，1臺發(fā)生故障由1人處理，問至少需配備多少維修人

員，才能保證設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率不超過0.01?

解：

(1)1-(0.99)20-20x0.01x(0.99)19?0.0175(按Poiss?！?泊松)分布近似)

(2)n=100,np=100x0.01=1=2(按產(chǎn)。泯?！?泊松)分布近似)

KX)100"

P(XNN+1)=Z。*(001)*(899)1。。*?Z-——<0.01

*=N+lk=N+lk!

查表得N=4

7.設隨機變量X服從參數(shù)為2的Poisson(泊松)分布，且尸(X=0)=友，求

(1)4；(2)P(X>1).

201

解：???P(X=0)=—e-"=—,,-.2=ln2

0!2

P(X>1)=1—P(XMl)=l—[P(X=0)+P(X=1)]

=l-[-+-ln2]=-(l-ln2)

222

8.設書籍上每頁的印刷錯誤的個數(shù)X服從Poisson(泊松)分布。經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)在某

木書上，有一個印刷錯誤與有兩個印刷錯誤的頁數(shù)相同，求任意檢驗4頁，每頁上都

沒有印刷錯誤的概率。

解：???P(X=1)=P(X=2),即一e-",2=2

1!2!

:.P(X=0)=12

；.p=(e-2)4=e-8

9.在長度為的時間間隔內(nèi)，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù)服從參數(shù)為的

Poisson分布，而與時間間隔的起點無關(時間以小時計)，求

(1)某一天從中午12時至下午3時沒有收到緊急呼救的概率；

(2)某一天從中午12時至下午5時收到1次緊急呼救的概率：

9.在長度為f的時間間隔內(nèi)，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為女的

Poisson(泊松)分布，而與時間間隔的起點無關(時間以小時計).求

(1)某一天從中午12時至下午3時沒有收到緊急呼救的概率；

(2)某一天從中午12時至下午5時收到1次緊急呼救的概率;

解:

3--

(1)f=3,4=—P(X=0)=e2

2

5

(2)f=5,2P(X21)=1—P(X=0)=1—e2

2

10.已知X的概率分布為：

X-2-10123

1

p2alo-3aaa2a

試求(i)a；(2)y=x2-i的概率分布。

解：

(1)2aH---F3a+a+a+2a—1

10

1

a=—o

10

(2)

Y-1038

3131

P————

105105

圖1.3.8

試求：(1)f的值；(2)X的概率密度；(3)P(-2<X<2).

解:

(1)v-H)x0.5+-x0.5x3=l

22

11

——Xd---,XG[-1,0)

22

11

(2)"x)=——x+—,xe[0,3)

62

0,其它

2

(3)P(—2<X<2)X++J

0

12.設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

sinx,<x<a

/(x)=,

0,其他

試確定常數(shù)。并求P(X>§.

-H?a

解：令J/(九)心=L即Jsinxdx=1

-oo0

-COSX|Q=1,即cosa=0,a=5

xJx=-cosxlh^

P(X>

72

13.乘以什么常數(shù)將使//+*變成概率密度函數(shù)?

+co

解：令卜e--+Hx=1

-00

14.隨機變量X~其概率密度函數(shù)為

[x2-4x4-4

/(X)=J—g6(-CO<X<+CO)

46乃

試求〃，/；若已知『/(x)dx=ff(x)dx,求C.

解：

[X2-4,V+4]d)2

76兀72兀73

.,.//=2,(y"=3

+00C

若J/(x)dx=J/(x)dx,由正態(tài)分布的對稱性

c-co

可知c=〃=2.

15.設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

2x,0<x<l

/(x)=

0,其他

以Y表示對X的三次獨立重復試驗中"X4”出現(xiàn)的次數(shù)，試求概率P(Y=2).

\_

121

解：P(X<-)=j2xJx=-

p(y=2)=c沖2。=2。

16.設隨機變量X服從［1,5］上的均勻分布，試求P(匹<X</)?如果

(1)X,<1<x2<5；(2)1<x,<5<x2.

1

--<X-<5

解：X的概率密度為/(X)=<4

0其也

V211

(1)P(xl<X<x2)=j-dx=-(x2-l)

i44

5]1

(2)P(x,<X<x2)=dx=—(5-)

X|

17.設顧客排隊等待服務的時間X(以分計)服從4=g的指數(shù)分布。某顧客等

待服務，若超過10分鐘，他就離開。他一個月要去等待服務5次，以丫表示一個月

內(nèi)他未等到服務而離開的次數(shù)，試求y的概率分布和p(yzi).

解:

一二xl。9

P(X>10)=1-P(X<10)=1-[1-e5]=e-2

P(K=k)=C^(e-2)*(1-e-2)5”,k=0,1,2,3,4,5

P(r>l)=l-(l-e-2)5?0.5167

習題L4解答

1.已知隨機變量X的概率分布為P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,

p(X=3)=0.5,試求X的分布函數(shù)；P(0.5<X<2)；畫出尸(x)的曲線。

解:

0,X<1

0.2,1〈尤<2

F(x)=<P(0.5<X<2)=0.5

0.5,2<x<3

1,x>3

F(x)A

產(chǎn)(x)曲線:

1

0.5

c-------O

0.2-O

J______I________

-tr23

2.設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為

0,x<—1

0.4,-1<x<l

F(x)=\

0.8,l<x<3

1,x>3

試求：(1)X的概率分布；(2)P(Xv2IXwl).

解:

(1)

X-113

~P0404~O2-

(2)P(X<2IXW1)="X=-0=2

P(Xwl)3

3.從家到學校的途中有3個交通崗，假設在各個交通崗遇到紅燈的概率是相互獨

立的，且概率均是0.4,設X為途中遇到紅燈的次數(shù)，試求(1)X的概率分布；

(2)X的分布函數(shù)。

解：

23

(1)P(X=A)=C3(-)*(1)wJ=0,1,2,3

列成表格

X0123

2754368

P

125125125125

0,x<0

27

0<x<l

125，

81

(2)尸(x)=<，I<x<2

125

H7

2<x<3

125

I,x>3

4.試求習題1.3中第11題X的分布函數(shù)，并畫出f(x)的曲線。

解:

5.設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為

乙、\A+Be-2x,x>()

r(x)=5

[0,x<0

試求：(1)A,B的值；(2)P(-l<X<1)；(3)概率密度函數(shù)/(x).

解：

(1)F(+oo)=lim(A+Be-2x)=1A=1

XT+CO

又lim(A+8e-2x)=尸(0)=0，8=-A=—1

x->0+

(2)P(-1<X<l)=F(l)-F(-l)=l-e-2

2e~2xx>0

/(x)=F'(x)=?

0x<0

6.設X為連續(xù)型隨機變量，其分布函數(shù)為

a,x<1;

F(x)=<Z?xInx+ex+J,1<x<e;

d,x>e.

試確定產(chǎn)(工)中的。/,c,d的值。

解：F(-oo)=0.\a=1

又丁尸(+oo)=1：.d=1

又lim(/?xlnx+cx+l)=a=0c=-1

又??,lim(fcdnx-x+l)=d=1he-e+1=1HP/?=1

x—>e~

7.設隨機變量X的概率密度函數(shù)為〃x)=一”丁，試確定。的值并求尸(x)

萬(1+x~)

和尸(兇<1).

即—arctanxll^=1:.a=\

71

.fa,11

F(x)=-----—at=—+—arctanx,-8cx<+oo

1^(1+r)27i

P(lX\<1)=F(1)-F(-1)

=(—+