集合的基本運算（原卷版）

集合的基本運算一、交集1、文字語言：對于兩個給定的集合A，B，由屬于A又屬于B的所有元素構(gòu)成的集合，叫做A，B的交集，記作A∩B，讀作“A交B”2、符號語言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}3、圖形語言：陰影部分為A∩B4、交集常用的運算性質(zhì)性質(zhì)定義滿足交換律空集與任何集合的交集都是空集集合與集合本身的交集仍為集合本身多個集合的交集滿足結(jié)合律若，則交集關(guān)系與子集關(guān)系的轉(zhuǎn)化兩個集合的交集是其中任一集合的子集5、解題思路：單個數(shù)字交集找相同，不等式的交集畫數(shù)軸，不同集合高度畫不同。二、并集1、文字語言：對于兩個給定的集合A，B，由兩個集合的所有的元素組成的集合，叫做A與B的并集，記作A∪B，讀作“A并B”2、符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}3、符號語言：陰影部分為A∪B4、并集的常用運算性質(zhì)性質(zhì)定義滿足交換律任何集合與其本身的并集等于這個集合本身任何集合與空集的并集等于這個集合本身多個集合的并集滿足結(jié)合律,任何集合都是該集合與另一個集合并集的子集任何集合與它子集的并集都是它本身，反之亦然5、解題思路：兩個集合所有元素集中在一起，但重復(fù)元素只寫一次，要滿足集合中的互異性三、補集1、全集：在研究集合與集合之間的關(guān)系時，如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集，那么稱這個給定的集合為全集．記法：全集通常記作U.2、補集（1）文字語言：如果給定集合A是全集U的一個子集，由U中不屬于A的所有元素構(gòu)成的集合，叫做A在U中的補集，記作.（2）符號語言：（3）符號語言：（4）補集的常用運算性質(zhì)性質(zhì)定義任何集合與其補集的并集為全集任何集合與其補集的交集為空集任何集合補集的補集為集合本身全集的補集為空集，空集的補集為全集【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看題目的。四、德摩根律與容斥原理1、德摩根定律：設(shè)集合U為全集，A、B為U的子集，則有（1）（2）2、容斥原理：在部分有限集中，我們經(jīng)常遇到有關(guān)集合中元素的個數(shù)問題，常用Venn圖表示兩集合的交、并、補。如果用card表示有限集合元素的個數(shù)，即card（A）表示有限集A的元素個數(shù)，則有如下結(jié)論：（1）（2）五、交集、并集、補集的基本運算方法1、進(jìn)行集合運算時，可按照如下口訣進(jìn)行：交集元素仔細(xì)找，屬于且屬于；并集元素勿遺漏，切忌重復(fù)僅取一；全集是大范圍，去掉中元素，剩余元素成補集。2、解決集合的混合運算問題時，一般先算括號內(nèi)的部分；3、當(dāng)集合是用列舉法表示時（如數(shù)集），可以通過列舉集合的元素分別得到所求的集合；當(dāng)集合用描述法表示時（如不等式行事表示的集合），則可運用數(shù)軸求解。六、利用交并補求參數(shù)范圍的解題思路1、根據(jù)并集求參數(shù)范圍：，若A有參數(shù)，則需要討論A是否為空集；若B有參數(shù)，則2、根據(jù)交集求參數(shù)范圍：若A有參數(shù)，則需要討論A是否為空集；若B有參數(shù)，則七、運用補集思想解題的步驟當(dāng)從正面考慮情況較多、問題較復(fù)雜時，往往考慮運用補集思想，其解題步驟為：第一步：否定已知條件，考慮反面問題；第二步：求解反面問題對應(yīng)的參數(shù)范圍；第三步：取反面問題對應(yīng)的參數(shù)范圍的補集題型一交集的概念與運算【例1】（2022秋·湖北黃岡·高一?？计谥校┮阎?，集合，則A∩B是（）A．B．C．D．【變式11】（2023秋·江蘇南通·高一?？奸_學(xué)考試）已知集合，，則（）A．B．C．D．【變式12】（2023春·江西宜春·高一上高中學(xué)?？计谥校┤艏?，或，則集合等于（）A．或B．C．D．【變式13】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知集合則=________．題型二根據(jù)交集運算求參數(shù)【例2】（2023·全國·高一課堂例題）已知集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式21】（2022秋·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）若，則實數(shù)等于（）A．B．C．D．【變式22】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知m是實數(shù)，集合，，若，則m=.【變式23】（2023春·安徽·高一安徽省潁上第一中學(xué)校聯(lián)考）已知集合，，若，則實數(shù)a取值集合為（）A．B．C．D．題型三并集的概念與運算【例3】（2022秋·甘肅武威·高一?？计谥校┤艏?，則（）A．B．C．D．【變式31】（2023春·廣東汕頭·高一金山中學(xué)?？计谥校┮阎希?，則（）A．B．C．D．【變式32】（2022秋·廣東梅州·高一?？计谥校┰O(shè)集合，，則等于（）A．B．C．D．【變式33】（2023秋·高一課時練習(xí)）若集合，或，則集合等于（）A．或B．C．D．題型四根據(jù)并集運算求參數(shù)【例4】（2022秋·山東東營·高一利津縣高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）集合，若，的值組成的集合為【變式41】（2022秋·陜西·高一渭南市瑞泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式42】（2023·全國·高一課堂例題）設(shè)集合，其中t為實數(shù)．令，．若C的所有元素之和為6，則C的所有元素之積為（）A．1B．C．8D．【變式43】（2022秋·四川遂寧·高一射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）已知集合，，或.（1）若，求的取值范圍．（2）若，求的取值范圍.題型五補集的概念與運算【例5】（2023秋·四川眉山·高一校考期末）設(shè)全集，，則（）A．B．C．D．【變式51】（2022秋·浙江紹興·高一統(tǒng)考期末）已知集合，則（）A．B．C．D．【變式52】（2023秋·重慶北碚·高一統(tǒng)考期末）已知全集，，則（）A．B．或C．D．或【變式53】（2023秋·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）已知集合則（）A．B．C．D．題型六根據(jù)補集的運算求參數(shù)【例6】（2023秋·江蘇南通·高一?？奸_學(xué)考試）設(shè)全集，集合，，則（）A．B．C．D．【變式61】（2022秋·湖北十堰·高一校考期中）（多選）若全集，集合滿足，則的值可能為（）A．B．C．D．0【變式62】（2022秋·全國·高一專題練習(xí)）已知全集，集合，，則實數(shù)的值為．【變式63】（2023秋·高一課時練習(xí)）設(shè)集合，，，若，則，．題型七交并補綜合運算【例7】（2023春·湖南株洲·高一統(tǒng)考期末）已知集合，則（）A．B．C．D．【變式71】（2022秋·河北保定·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若全集，集合，，則（）A．B．C．D．【變式72】（2023春·安徽阜陽·高一安徽省臨泉第一中學(xué)?？迹┤羧?，，則集合等于（）A．B．C．D．【變式73】（2022秋·湖南張家界·高一民族中學(xué)校考）已知集合，或．（1）若全集，求、；（2）若全集，求；題型八根據(jù)交并補運算求參數(shù)【例8】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，，且，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式81】（2022秋·浙江金華·高一?？迹┯洸坏仁降慕饧癁锳，集合或．（1）當(dāng)時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【變式82】（2023秋·江西新余·高一新余第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知集合或，．（1）若，求的取值范圍；（2）若，且，求的取值范圍．【變式83】（2023春·四川眉山·高一校考開學(xué)考試）已知集合，.（1）若，，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，且，求實數(shù)的取值范圍.題型九韋恩圖在集合運算中的應(yīng)用【例9】（2023春·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)全集，則圖中陰影部分對應(yīng)的集合是（）A．B．C．D．【變式91】（2022秋·四川攀枝花·高一攀枝花第三高級中學(xué)月考）（多選）如圖中陰影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．【變式92】（2023秋·河南南陽·高一?？迹┤鐖D所示，用集合A、B及它們的交集、并集、補集表示陰影部分所表示的集合，正確的表達(dá)式是（）A．B．C．D．【變式93】（2022秋·湖北·高一華中師大一附中?？计谀┤鐖D，是全集，，，是的子集，則陰影部分表示的集合是（）A．B．C．D．題型十集合運算中的元素個數(shù)問題【例10】（2023秋·重慶南岸·高一第十一中學(xué)校?？计谀┠嘲嘤?0名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外研究小組，每名同學(xué)至多參加兩個小組．已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為，，，同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有人，同時參加物理和化學(xué)小組的有人，則同時參加數(shù)學(xué)和物理小組的人數(shù)為_______．【變式101】（2023秋·山東臨沂·高一?？计谀┪覀儼押杏邢迋€元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的個數(shù).例如，，則.容斥原理告訴我們，如果被計數(shù)的事物有三類，那么，.某校初一四班學(xué)生46人，寒假參加體育訓(xùn)練，其中足球隊25人，排球隊22人，游泳隊24人，足球排球都參加的有12人，足球游泳都參加的有9人，排球游泳都參加的有8人，問：三項都參加的有多少人？（教材閱讀與思考改編）（）A．2