多元函數(shù)微分學(xué)-2-(4月9日)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

一、平面點(diǎn)集n維歐氏空間二、多元函數(shù)概念三、多元函數(shù)極限四、多元函數(shù)連續(xù)性第一節(jié)多元函數(shù)基本概念第1頁

中點(diǎn)列收斂(了解)

定義第2頁

定理

定理

柯西收斂準(zhǔn)則

中其它完備性定理見P34.第3頁四、多元函數(shù)連續(xù)性

定義

.

設(shè)n元函數(shù)定義在D上,假如函數(shù)在D上各點(diǎn)處都連續(xù),則稱此函數(shù)在D上不然稱為不連續(xù),此時(shí)稱為間斷點(diǎn).則稱n元函數(shù)連續(xù).連續(xù),連續(xù)充要條件是第4頁比如,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)極限不存在,又如,函數(shù)上間斷.故(0,0)為其間斷點(diǎn).在圓周結(jié)論:

一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).第5頁例1設(shè)試證f(x,y)在原點(diǎn)連續(xù).證所以f(x,y)在原點(diǎn)連續(xù).要證第6頁例2設(shè)討論f(x,y)連續(xù)性.解第7頁例2設(shè)討論f(x,y)連續(xù)性.解第8頁例3證實(shí)在點(diǎn)(0,0)處沿此點(diǎn)每條射線連續(xù),第9頁定理若f(x,y)和g(x,y)在連續(xù),則函數(shù)若函數(shù)定理

則復(fù)合函數(shù)閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似以下性質(zhì):第10頁定理：若f(P)在有界閉域D

上連續(xù),則*(4)f(P)必在D上一致連續(xù).在D上可取得最大值M及最小值m;(3)對(duì)任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致連續(xù)性定理)(證實(shí)略)第11頁解:

原式例4.求例5.求函數(shù)連續(xù)域.解:第12頁一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法二、高階偏導(dǎo)數(shù)(下節(jié)課)6.2偏導(dǎo)數(shù)第13頁定義在點(diǎn)存在,偏導(dǎo)數(shù)，記為某鄰域內(nèi)有定義,則稱此極限為函數(shù)若極限設(shè)函數(shù)注意:第14頁一樣可定義對(duì)y

偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在域D內(nèi)每一點(diǎn)

(x,y)處對(duì)x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù),記為或y偏導(dǎo)數(shù)存在,第15頁比如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對(duì)x偏導(dǎo)數(shù)概念能夠推廣到二元以上函數(shù).偏導(dǎo)數(shù)定義為(請(qǐng)自己寫出)第16頁二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)幾何意義:是曲線在點(diǎn)M0處切線對(duì)x軸斜率.在點(diǎn)M0處切線斜率.是曲線對(duì)y軸第17頁例1.求解法1:解法2:在點(diǎn)(1,2)處偏導(dǎo)數(shù).第18頁例2.設(shè)證:例3.求偏導(dǎo)數(shù).解:求證第19頁例4.設(shè)

解:分段函數(shù)在分界點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)普通用定義求.第20頁函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,但在該點(diǎn)不一定連續(xù).顯然比如,注意：在上節(jié)已證f(x,y)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù)!第21頁函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)不能確保在此點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在不過比如,注意：第22頁處處都存在且有界,定理一個(gè)鄰域內(nèi)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)證實(shí)P50第23頁內(nèi)容小結(jié)多元函數(shù)連續(xù)性1)函數(shù)2)閉域上多元連續(xù)函數(shù)性質(zhì):有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)第24頁內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)概念及相關(guān)結(jié)論

定義;記號(hào);幾何意義

函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)2.偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法

求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)方法先代后求先求后代利用定義第25頁