01-復(fù)變函數(shù)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

數(shù)學(xué)物理方法教材及參考書：《數(shù)學(xué)物理方法》梁昆淼，高等教育出版社。

《數(shù)學(xué)物理方法》邵惠民，科學(xué)出版社。主講：侯春風(fēng)哈爾濱工業(yè)大學(xué)物理系第1頁數(shù)學(xué)物理方法試驗(yàn)唯象理論基本理論數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)物理方法:

構(gòu)建數(shù)學(xué)物理模型，研究處理方法。數(shù)學(xué)和物理有機(jī)結(jié)合。1.復(fù)變函數(shù)篇2.數(shù)學(xué)物理方程篇第2頁第一章復(fù)變函數(shù)第二章復(fù)變函數(shù)積分第三章冪級(jí)數(shù)展開第四章留數(shù)定理第五章傅里葉變換第六章拉普拉斯變換第一篇復(fù)變函數(shù)論第3頁§1.1

復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算十九世紀(jì)三位代表性人物：柯西（Cauchy,1789-1857）維爾斯特拉斯（Weierstrass,

1815-1897）黎曼（Rieman,1826-1866）柯西和維爾斯特拉斯分別應(yīng)用積分和級(jí)數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，黎曼研究復(fù)變函數(shù)映像性質(zhì)，建立了系統(tǒng)復(fù)變函數(shù)論。實(shí)數(shù)領(lǐng)域中不能解釋問題：

負(fù)數(shù)不能開偶數(shù)次方，負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，指數(shù)函數(shù)無周期性，正弦、余弦函數(shù)絕對(duì)值不能超出1，……實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)實(shí)變函數(shù)

復(fù)變函數(shù)第一章復(fù)變函數(shù)第4頁復(fù)數(shù)：實(shí)部x，記Rez；虛部y，記Imz。x2=-1無實(shí)數(shù)解，引入i2=-1，i稱為虛數(shù)單位yx(x,y)x第5頁歐拉公式：第6頁極坐標(biāo)：指數(shù)式、三角式：

稱為復(fù)數(shù)模，記作|z|；

稱為輻角，記作Argz。共軛復(fù)數(shù)：一個(gè)復(fù)數(shù)輻角能夠取無窮多個(gè)值，而且彼此相差2

整數(shù)倍，通常把滿足條件一個(gè)特定值稱為Argz主值，或z主輻角，于是有：第7頁零；無限遠(yuǎn)點(diǎn)

xy0x+iy

復(fù)球面（復(fù)數(shù)球）測(cè)地投影第8頁復(fù)數(shù)四則運(yùn)算：復(fù)數(shù)四則運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律和分配律。第9頁二項(xiàng)式定理：例：求以下方程所表示曲線：|z+i|=2;

2)|z-2i|=|z+2|;

3)Im(i+z*)=4.例：(1+i)1/4=?討論：第10頁§1.2復(fù)變函數(shù)鄰域：以復(fù)數(shù)z0為圓心，任意小正實(shí)數(shù)

為半徑作圓:|z-z0|<

，則圓內(nèi)全部點(diǎn)集合稱為z0鄰域。去心鄰域：0<|z-z0|<

所確定點(diǎn)集。內(nèi)點(diǎn):若z0及其鄰域均屬于平面點(diǎn)集E,則稱z0為該點(diǎn)集內(nèi)點(diǎn)。外點(diǎn):若z0及其鄰域均不屬于點(diǎn)集E,則稱z0為該點(diǎn)集外點(diǎn)。境界點(diǎn)：若在z0每個(gè)鄰域內(nèi)，現(xiàn)有屬于E點(diǎn)，又有不屬于E點(diǎn)，則稱z0為點(diǎn)集E境界點(diǎn)，它既不是內(nèi)點(diǎn)也不是外點(diǎn)，其全體稱為境界限。第11頁區(qū)域：指同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件點(diǎn)集：(1)全由內(nèi)點(diǎn)組成；(2)含有連通性，即點(diǎn)集中任意兩點(diǎn)都能夠用一條折線連接起來，且折線點(diǎn)全都屬于該點(diǎn)集。閉區(qū)域：區(qū)域及其境界限所組成點(diǎn)集稱為閉區(qū)域。注：與閉區(qū)域相比較，把不含邊界區(qū)域B稱為開區(qū)域。而且若無特殊申明所謂區(qū)域均指開區(qū)域。閉區(qū)域需明確指出。有界和無界。第12頁平面曲線：對(duì)于在[a,b]上定義函數(shù)z(t)=x(t)+iy(t)，當(dāng)x(t)和y(t)連續(xù)時(shí)，其軌跡稱為z平面上曲線。簡(jiǎn)單曲線：沒有重點(diǎn)連續(xù)曲線。開曲線：在上述定義中，若z(a)

z(b)，則稱為開曲線。閉曲線：在上述定義中，若z(a)=z(b)，則稱為閉曲線。開曲線閉曲線第13頁單連通區(qū)域：復(fù)平面上一個(gè)區(qū)域B，在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線，若曲線內(nèi)部總屬于B，就稱為單連通區(qū)域，或單連通域，簡(jiǎn)稱為單通區(qū)域（或單通域）。復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域：若一個(gè)區(qū)域不是單連通區(qū)域，就稱為復(fù)連通區(qū)域，或復(fù)連通域，簡(jiǎn)稱復(fù)通區(qū)域（或復(fù)通域）。普通來說，在區(qū)域內(nèi)，只要有一個(gè)簡(jiǎn)單閉合曲線其內(nèi)有不屬于該區(qū)域點(diǎn)，這么區(qū)域便是復(fù)通區(qū)域。單連通區(qū)域和復(fù)連通區(qū)域一個(gè)主要區(qū)分是：在單連通區(qū)域中，任一閉合曲線總可經(jīng)過連續(xù)變形收縮成一點(diǎn)。第14頁復(fù)變函數(shù)定義：設(shè)E是復(fù)平面上一個(gè)點(diǎn)集(復(fù)數(shù)z=x+iy集合)，假如對(duì)于E中每個(gè)復(fù)數(shù)z，按照一定法則f，有一個(gè)或多個(gè)復(fù)數(shù)w=u+iv與之對(duì)應(yīng)，則稱復(fù)變量w為復(fù)變數(shù)z函數(shù)，記作w=f(z)，z

E。單值函數(shù):一個(gè)z

一個(gè)w多值函數(shù):一個(gè)z

多個(gè)w其中，E稱為函數(shù)定義域，z稱為函數(shù)自變量、因變量或宗量。函數(shù)值全體所組成集合稱為函數(shù)值域。第15頁復(fù)變函數(shù)極限設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在z0去心鄰域0<|z-z0|<

內(nèi)，如有確定數(shù)A存在，對(duì)任意給定

>0，對(duì)應(yīng)地必有一正數(shù)

(

),(0<

≤

)，使得當(dāng)0<|z-z0|<

時(shí)有|f(z)-A|<

，那么稱A為f(z)當(dāng)z趨于z0極限，即z

z0時(shí)，f(z)

A，記x0xyy0z0

A

(

)zf(z)定理：設(shè)則充要條件是第16頁定理假如，則有例：證實(shí)函數(shù)f(z)=Re(z)/|z|當(dāng)z0時(shí)極限不存在。第17頁函數(shù)連續(xù)性定理:函數(shù)f(z)在z0處連續(xù)充要條件是u(x,

y)和v(x,

y)在(x0,

y0)處連續(xù)。定理

1)在z0連續(xù)兩個(gè)函數(shù)f(z)與g(z)和、差、積、商(分母不為零)也在z0處連續(xù)；2)函數(shù)h=g(z)在z0連續(xù)，函數(shù)w=f(h)在h0=g(z0)處連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)w=f[g(z)]在z0處連續(xù)。假如f(z)在區(qū)域B內(nèi)處處連續(xù)，則稱f(z)在B內(nèi)連續(xù)。假如則稱復(fù)變函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0處連續(xù)。

第18頁

周期2i周期2

模能夠大于1

周期2i復(fù)變函數(shù)例第19頁

§1.3

導(dǎo)數(shù)函數(shù)w=f(z)在z0處可導(dǎo)與可微是等價(jià)，復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)定義

函數(shù)w=f(z)定義于區(qū)域B，z0為B內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)z0+

z

B，假如極限存在，而且與

z0方式無關(guān)，則稱函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0可導(dǎo)，此極限值稱為f(z)在點(diǎn)z0導(dǎo)數(shù)，記為：假如f(z)在區(qū)域B內(nèi)處處可導(dǎo)，稱f(z)在B內(nèi)可導(dǎo)。連續(xù)不一定可導(dǎo)；可導(dǎo)必定連續(xù)。第20頁導(dǎo)數(shù)模伸縮率導(dǎo)數(shù)幅角旋轉(zhuǎn)角第21頁例：討論函數(shù)f(z)=z*在復(fù)平面上可導(dǎo)性.沿平行于實(shí)軸方向趨于零沿平行于虛軸方向趨于零所以導(dǎo)數(shù)不存在，原函數(shù)在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)。

課堂練習(xí)：求f(z)=z2導(dǎo)數(shù)；f(z)=x+2yi是否可導(dǎo)？第22頁求導(dǎo)法則：(若z=

(w)是函數(shù)w=f(z)反函數(shù),且f

(z)≠0)第23頁復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)必要條件:柯西—黎曼條件(C-R條件)

z沿平行于實(shí)軸方向趨于零

z沿平行于虛軸方向趨于零兩式相等，可得柯西—黎曼條件：第24頁柯西—黎曼條件(C-R條件)是函數(shù)f(z)可導(dǎo)必要條件，但不是充分條件。例：利用柯西—黎曼條件討論函數(shù)f(z)=z*可導(dǎo)性。不滿足柯西—黎曼條件，所以不可導(dǎo)。第25頁例：討論函數(shù)在z0=0處可導(dǎo)性。滿足柯西—黎曼條件極限值因k而異，故原函數(shù)在z0=0處不可導(dǎo)。函數(shù)f(z)=u+iv可導(dǎo)充分必要條件是：偏導(dǎo)數(shù)存在，且連續(xù)，并滿足C-R條件。第26頁極坐標(biāo)形式柯西—黎曼條件：

若用

和

分別表示z模和輻角，若函數(shù)f(z)=u(

,

)+iv(

,

)可導(dǎo)，則u(

,

)與v(

,

)滿足極坐標(biāo)形式柯西－黎曼條件第27頁

假如函數(shù)f(z)在z0及其鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在z0點(diǎn)解析。假如f(z)在區(qū)域B內(nèi)每一點(diǎn)解析，則稱f(z)在B內(nèi)解析，或稱f(z)是B內(nèi)解析函數(shù)（又稱為全純函數(shù)或正則函數(shù)）。

函數(shù)f(z)在某點(diǎn)z0解析，是指f(z)在z0點(diǎn)及其鄰域內(nèi)可導(dǎo)。

假如f(z)在z0點(diǎn)不解析，那么稱z0點(diǎn)為f(z)奇點(diǎn)。§1.4解析函數(shù)f(z)在B內(nèi)解析f(z)在B內(nèi)可導(dǎo)f(z)在z0點(diǎn)解析f(z)在z0點(diǎn)可導(dǎo)f(z)在z0點(diǎn)連續(xù)第28頁例：討論以下函數(shù)在復(fù)平面可導(dǎo)與解析性：第29頁課堂練習(xí)：討論以下函數(shù)在復(fù)平面可導(dǎo)與解析性：定理：函數(shù)f(z)=u+iv在其定義域B內(nèi)解析充要條件是：u(x,y)和v(x,y)在B內(nèi)可微，而且滿足柯西—黎曼條件ux=vy,uy=-vx

。定理：1)在區(qū)域B內(nèi)解析兩個(gè)函數(shù)f(z)與g(x)和、差、積、商(除去分母為零點(diǎn))在B內(nèi)解析；2)函數(shù)h=g(z)在z平面上區(qū)域B內(nèi)解析，函數(shù)w=f(h)在h平面上區(qū)域G內(nèi)解析。假如對(duì)B內(nèi)每個(gè)點(diǎn)z，函數(shù)g(z)對(duì)應(yīng)值h都屬于G，那么復(fù)合函數(shù)w=f[g(z)]在區(qū)域B內(nèi)解析。第30頁性質(zhì)：1)若函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域B上解析，則u(x,y)=c1，v(x,y)=c2是B上兩組相互正交曲線族，其中c1，c2為常數(shù).例：f(z)=z2C-R條件

u和v分別是u(x,y)=c1和v(x,y)=c2法向矢量，所以上式表明u(x,y)=c1和v(x,y)=c2是B上兩組相互正交曲線族。第31頁2)若函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域B上解析，則u(x,y)，v(x,y)是B上調(diào)和函數(shù)。若函數(shù)H(x,y)在區(qū)域B上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且

2H=0，則稱H(x,y)是B上調(diào)和函數(shù)。

u(x,y)和v(x,y)都是調(diào)和函數(shù)。第32頁討論：1)任何在區(qū)域B內(nèi)解析函數(shù)，其實(shí)部和虛部都是B內(nèi)調(diào)和函數(shù)，因?yàn)樗鼈兪峭粋€(gè)復(fù)變函數(shù)實(shí)部和虛部，所以又叫作共軛調(diào)和函數(shù)。2)假如在區(qū)域內(nèi)任選兩個(gè)調(diào)和函數(shù)u和v，則函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域內(nèi)不一定是解析函數(shù)。只有當(dāng)u和v還滿足對(duì)應(yīng)C-R條件，對(duì)應(yīng)函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域內(nèi)才解析(而v+iu卻不一定解析)。3)由此提供了組成一個(gè)解析函數(shù)方法，即由一個(gè)調(diào)和函數(shù)，利用柯西－黎曼條件可求出另一個(gè)與之共軛調(diào)和函數(shù)，再由這一對(duì)共