第二節(jié)-多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)名師優(yōu)質(zhì)課獲獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

一、偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算二、高階偏導(dǎo)數(shù)第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)第1頁(yè)定義1.在點(diǎn)存在,偏導(dǎo)數(shù)，記為某鄰域內(nèi)則稱(chēng)此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù)注意:一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法第2頁(yè)一樣可定義對(duì)y

偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在域D

內(nèi)每一點(diǎn)

(x,y)處對(duì)x則該偏導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為偏導(dǎo)函數(shù),也簡(jiǎn)稱(chēng)為偏導(dǎo)數(shù),記為或

y

偏導(dǎo)數(shù)存在,第3頁(yè)比如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對(duì)x偏導(dǎo)數(shù)概念能夠推廣到二元以上函數(shù).偏導(dǎo)數(shù)定義為第4頁(yè)二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)幾何意義:是曲線在點(diǎn)M0處切線對(duì)x

軸斜率.在點(diǎn)M0處切線斜率.是曲線對(duì)y軸第5頁(yè)例1.求解法1:解法2:在點(diǎn)(1,2)處偏導(dǎo)數(shù).第6頁(yè)例2.設(shè)證:例3.求偏導(dǎo)數(shù).解:求證第7頁(yè)偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)例4.已知理想氣體狀態(tài)方程求證:證:說(shuō)明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母商!此例表明,整體記號(hào),第8頁(yè)例5.求在點(diǎn)(0,0)處偏導(dǎo)數(shù).例6.求在點(diǎn)(0,0)處偏導(dǎo)數(shù).例7.求在點(diǎn)(0,0)處偏導(dǎo)數(shù).第9頁(yè)函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然比如注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù).在上節(jié)已證f(x,y)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù)!第10頁(yè)二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D

內(nèi)存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱(chēng)它們是z=f(x,y)二階偏導(dǎo)數(shù)

.按求導(dǎo)次序不一樣,有以下四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):第11頁(yè)類(lèi)似能夠定義更高階偏導(dǎo)數(shù).比如，z=f(x,y)關(guān)于x三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x

n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y

一階偏導(dǎo)數(shù)為第12頁(yè)例8.求函數(shù)解:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.二階偏導(dǎo)數(shù)及第13頁(yè)例9二者不等第14頁(yè)則定理.比如,對(duì)三元函數(shù)u=f(x,y,z),說(shuō)明:本定理對(duì)n

元函數(shù)高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù),故求初等函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)能夠選擇方便求導(dǎo)次序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y,z)連續(xù)時(shí),有而初等(證實(shí)略)第15頁(yè)證:令則則定理.令第16頁(yè)一樣在點(diǎn)連續(xù),得第17頁(yè)例10.

證實(shí)函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對(duì)稱(chēng)性,有方程第18頁(yè)內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)概念及相關(guān)結(jié)論

定義;記號(hào);幾何意義

函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)

混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān)2.偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法

求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)方法