浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第2章《特殊三角形》培優(yōu)題（原卷+解析卷）

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浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第2章《特殊三角形》培優(yōu)題精選

一、選擇題（共30分）

1．（浙江嘉興·九年級(jí)競(jìng)賽）以下列各組數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是()

A．，，B．，，

C．32，42，52D．1，2，3

【答案】A

【詳解】試題分析：勾股定理的逆定理：若一個(gè)三角形的兩邊長的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形的直角三角形.

A、，能構(gòu)成直角三角形，本選項(xiàng)符合題意；

B、，C、，D、，均不符合題意.

考點(diǎn)：勾股定理的逆定理

點(diǎn)評(píng)：本題屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題，只需學(xué)生熟練掌握勾股定理的逆定理，即可完成.

2．（遼寧朝陽·八年級(jí)競(jìng)賽）直角三角形的周長為12cm，斜邊長為5cm，則其面積為()

A．12cm2B．6cm2C．8cm2D．10cm2

【答案】B

【分析】設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b，根據(jù)直角三角形的周長及勾股定理即可得到關(guān)于a和b的方程組，再結(jié)合直角三角形的面積公式即可求得結(jié)果．

【詳解】解：設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b，由題意得：

，解得，

∴，

所以直角三角形的面積，

故選B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，完全平方公式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，正確列方程，注意本題要有整體意識(shí)．

3．（遼寧朝陽·八年級(jí)競(jìng)賽）如圖，2023年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》（也稱《趙爽弦圖》），它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的短直角邊為a，較長直角邊為b，那么的值為（）

A．13B．19C．25D．169

【答案】C

【分析】根據(jù)大正方形的面積即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面積即可求得的值，根據(jù)即可求解．

【詳解】解：大正方形的面積是13，

，

，

直角三角形的面積是，

又直角三角形的面積是，

，

．

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及完全平方公式，正確表示出直角三角形的面積是解題的關(guān)鍵．

4．（2023春·江蘇·八年級(jí)校考競(jìng)賽）如圖，在△ABC中，D是AC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′與AB交于點(diǎn)E，連結(jié)AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，則點(diǎn)D到BC′的距離為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】連接C，交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DH⊥B于點(diǎn)H，由翻折知，△BDC≌△BD，BD垂直平分C，證△AD為等邊三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BM中，利用勾股定理求出B的長，在△BD中利用面積法求出DH的長，則可得出答案．

【詳解】解：如圖，連接C，交BD于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DH⊥B于點(diǎn)H，

∵AD＝A＝2，D是AC邊上的中點(diǎn)，

∴DC＝AD＝2，

由翻折知，△BDC≌△BD，BD垂直平分C，

∴D＝D＝2，BC＝B，CM＝M，

∴AD＝A＝D＝2，

∴△AD為等邊三角形，

∴∠AD＝∠AD＝∠AC＝60°，

∵DC＝D，

∴∠DC＝∠DC＝12×60°＝30°，

在Rt△DM中，

∠DC＝30°，D＝2，

∴DM＝1，M＝DM＝，

∴BM＝BDDM＝31＝2，

在Rt△BMC'中，

B＝，

∵S△BDC'＝BDH＝BDCM，

∴DH＝3×，

∴DH＝，

∵∠DCB＝∠DB，

∴點(diǎn)D到B的距離為，

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)，勾股定理等，解題關(guān)鍵是會(huì)通過面積法求線段的長度．

5．（全國·八年級(jí)競(jìng)賽）已知中，，點(diǎn)在邊的延長線上，，則（）

A．16B．15C．13D．12

【答案】D

【分析】作于點(diǎn)，則可得BH=CH，利用線段的和差關(guān)系及勾股定理可求得結(jié)果．

【詳解】如圖，作于點(diǎn)，

則為的中點(diǎn)，

所以BH=CH，

所以

．

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段的和差關(guān)系，勾股定理等知識(shí)，作出等腰三角形底邊上的高進(jìn)而利用線段的和差關(guān)系表示是關(guān)鍵．

6．（遼寧朝陽·八年級(jí)競(jìng)賽）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是、、，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A．如果∠C-∠B=∠A，那么△ABC是直角三角形，∠C=90°

B．如果，則∠B=60°，∠A=30°

C．如果，那么△ABC是直角三角形

D．如果，那么△ABC是直角三角形

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理及含30度角的直角三角形對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而不難求解．

【詳解】解：A、∵∠C-∠B=∠A，∠C+∠B+∠A=180°，

∴2∠C=180°，

∴∠C=90°，

故此選項(xiàng)正確；

B、由，無法得到∠B=60°，∠A=30°，故錯(cuò)誤，本選項(xiàng)符合題意；

C、∵，

設(shè)，

由得，

∴，

∴，

∴△ABC是直角三角形，

故此選項(xiàng)正確，不符合題意；

D、∵，

∴，即，

∴c是斜邊，

∴△ABC是直角三角形，

故此選項(xiàng)正確，不符合題意；

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的判定定理，判斷三角形是否為直角三角形可通過三角形的角、三邊的關(guān)系進(jìn)行判斷．

7．（山東臨沂·九年級(jí)競(jìng)賽）如圖，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE，則△CDE的周長為（）

A．20B．12C．14D．13

【答案】C

【詳解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，

∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，

∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，

∴DE=CE=AC=5，

∴△CDE的周長=CD+DE+CE=4+5+5=14．

故選C．

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．

8．（2022·廣東·九年級(jí)統(tǒng)考競(jìng)賽）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣bc，則△ABC的面積為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】先用配方法對(duì)b2+c2=2b+4c-5變形配方，從而求得b，c的值，再將其代入a2=b2+c2-bc，求出a，再由勾股定理的判定定理得出△ABC為直角三角形，從而其面積易得．

【詳解】∵b2+c2＝2b+4c﹣5

∴（b2﹣2b+1）+（c2﹣4c+4）＝0

∴（b﹣1）2+（c﹣2）2＝0，

∴b﹣1＝0，c﹣2＝0，

∴b＝1，c＝2．

又∵a2＝b2+c2﹣bc，

∴a2＝1+4﹣2＝3，

∴或（舍）

∵，

∴△ABC是以1和為直角邊的直角三角形，

∴△ABC的面積為：，

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用配方法進(jìn)行變形，以及偶次方的非負(fù)性，勾股定理的逆定理，三角形的面積計(jì)算等基礎(chǔ)內(nèi)容，本題難度中等．

9．（全國·九年級(jí)競(jìng)賽）在等邊三角形ABC所在的平面內(nèi)存在點(diǎn)P，使∠PAB、∠PBC、∠PAC都是等腰三角形.請(qǐng)指出具有這種性質(zhì)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)（）

A．1B．7C．10D．15

【答案】C

【詳解】分析：本題利用了等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，三條高所在的直線也是對(duì)稱軸，也是邊的中垂線．

解：

（1）點(diǎn)P在三角形內(nèi)部時(shí)，點(diǎn)P是邊AB、BC、CA的垂直平分線的交點(diǎn)，是三角形的外心；

（2）分別以三角形各頂點(diǎn)為圓心，邊長為半徑，交垂直平分線的交點(diǎn)就是滿足要求的．每條垂直平分線上得3個(gè)交點(diǎn)，再加三角形的垂心，一共10個(gè)．故具有這種性質(zhì)的點(diǎn)P共有10個(gè)．

故選C．

10．（2023春·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考競(jìng)賽）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)平分交于點(diǎn)交于點(diǎn)．則下列說法正確的個(gè)數(shù)為（）

①；②，③若，則；④；⑤．

A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)

【答案】C

【分析】①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得可得，然后根據(jù)平分平分，可得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可進(jìn)行判斷；

②當(dāng)是的中線時(shí)，，進(jìn)而可以進(jìn)行判斷；

③根據(jù)，證明為等邊三角形，根據(jù)三線合一的性質(zhì)進(jìn)而可以進(jìn)行判斷；

④作的平分線交于點(diǎn)，可得，證明，，可得，進(jìn)而可以判斷；

⑤過作于點(diǎn)，由④知，為的角平分線，可得，所以可得，根據(jù)，進(jìn)而可以進(jìn)行判斷．

【詳解】解：①在中，，

∴，

∵平分平分，

∴，，

∴，故①正確；

②當(dāng)是的中線時(shí)，，故②錯(cuò)誤；

③∵，

∴為的中線，

∵為的角平分線，

∴，

∴為等邊三角形，

∴，故③正確；

④如圖，作的平分線交于點(diǎn)，

由①得，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，故④正確；

⑤過作，于點(diǎn)，

由④知，為的角平分線，

∴，

∴，

∵，

∴，故⑤正確．

綜上所述：正確的有①③④⑤，共4個(gè)，

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義以及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形全等的性質(zhì)和判定，作輔助線，構(gòu)建三角形全等是解題關(guān)鍵．

二、填空題（共21分）

11．（浙江嘉興·九年級(jí)競(jìng)賽）已知直角三角形兩邊的長滿足，則第三邊的長．

【答案】或或

【分析】根據(jù)絕對(duì)值、算術(shù)平方根的非負(fù)性分別求出x、y，分三種情況討論，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．

【詳解】解：∵x、y為直角三角形的兩邊長，滿足，

∴，，

解得（負(fù)值不合題意，舍去），或，

當(dāng)直角邊長分別為2，2時(shí)，則第三邊長為：；

當(dāng)直角邊長分別為2，3時(shí)，則第三邊長為：；

當(dāng)直角邊長為2，斜邊長為3，則第三邊長為．

故答案為：或或．

【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么．

12．（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）過等腰三角形頂角頂點(diǎn)的一條直線，將該等腰三角形分成的兩個(gè)三角形均為等腰三角形，則原等腰三角形的底角度數(shù)為．

【答案】45°或36°

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．

【詳解】解：①如圖1，

當(dāng)過頂角的頂點(diǎn)的直線把它分成了兩個(gè)等腰三角形，則AC=BC，AD=CD=BD，

設(shè)∠A=x°，

則∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，

∴∠BCD=∠B=x°，

∵∠A+∠ACB+∠B=180°，

∴x+x+x+x=180，

解得x=45，

∴原等腰三角形的底角是45°；

②如圖2，

△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，

∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，

∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，

∵∠CDA=2∠B，

∴∠CAB=3∠B，

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴5∠B=180°，

∴∠B=36°，

∴原等腰三角形的底角為36°；

故答案為45°或36°

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及其判定．作此題的時(shí)候，首先大致畫出符合條件的圖形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理及其推論找到角之間的關(guān)系，列方程求解．

13．（2022春·湖南長沙·八年級(jí)校聯(lián)考競(jìng)賽）如圖，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC，AD=AE，點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD，BE．以下四個(gè)結(jié)論：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE=AC+AD，其中結(jié)論正確的是（填序號(hào)）

【答案】①②③

【分析】根據(jù)全等、等腰三角形以及三角形邊的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】∵∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC，AD=AE

又∠BAD=∠BAC+∠CAD

∠CAE=∠EAD+∠CAD

∴∠BAD=∠CAE

∴△BAD≌△CAE(SAS)

∴BD=CE，故選項(xiàng)①正確；

∴∠BDA=∠CEA=45°

又∠ADE=45°

∴∠BDE=∠ADE+∠BDA=90°

∴BD⊥CE，故選項(xiàng)②正確；

∵△BAD≌△CAE

∴∠ACE=∠ABD

又∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACE+∠CBD=45°，故選項(xiàng)③正確；

在△BAE中

AB+AE>BE

又AB=AC，AE=AD

∴AC+AD>BE，故選項(xiàng)④錯(cuò)誤；

故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形，難度適中，需要熟練掌握等腰三角形、全等以及三角形的基本性質(zhì).

14．（遼寧朝陽·八年級(jí)競(jìng)賽）如圖，長方形中，，，將此長方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為，則重疊部分的邊的長是．

【答案】5cm/5厘米

【分析】根據(jù)可得，求的長即可．然后設(shè)，則．在中根據(jù)勾股定理求解．

【詳解】解：，

．

根據(jù)折疊的性質(zhì)，．

，可得．

設(shè)，則．

．

解得．

．

故答案為5cm

【點(diǎn)睛】本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等．

15．（遼寧朝陽·八年級(jí)競(jìng)賽）如圖，AD=8cm，CD=6cm，ADCD，BC=24cm，AB=26cm，則S四邊形ABCD=．

【答案】

【分析】連接AC，先根據(jù)勾股定理求得AC的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理證得ABC為直角三角形，最后根據(jù)直角三角形的面積公式及即可求得結(jié)果．

【詳解】解：連接AC

∵AD=8cm，CD=6cm，ADCD

∴

在三角形ABC中

∵

∴ABC為直角三角形

∴S四邊形ABCD=S△ABCS△ACD＝

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的判定定理及面積公式．解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確作出輔助線，根據(jù)勾股定理的逆定理證得ABC為直角三角形．

16．（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）如圖，中，是上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)于點(diǎn)F，若，則．

【答案】1

【分析】將的面積拆成兩個(gè)三角形面積之和，即可間接求出的值．

【詳解】解：連接，如下圖：

于點(diǎn)于點(diǎn)，

，

，

，

故答案是：1．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，利用面積法解決兩邊之和問題，解題的關(guān)鍵是：將的面積拆成兩個(gè)三角形面積之和來解答．

17．（山東泰安·九年級(jí)競(jìng)賽）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，則S2的值是．

【答案】．

【詳解】試題解析：將四邊形MTKN的面積設(shè)為x，將其余八個(gè)全等的三角形面積一個(gè)設(shè)為y，

∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，S1+S2+S3=10，

∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，

∴S1+S2+S3=3x+12y=10，故3x+12y=10，

x+4y=，

所以S2=x+4y=．

考點(diǎn)：勾股定理的證明．

三、解答題（共49分）

18．（本題6分）（2022秋·江蘇·八年級(jí)校考競(jìng)賽）如圖，在中，，垂足為D，，延長至E，使得，連接．

(1)若，求；

(2)若，求面積．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）證明是的中垂線，推出，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求解；

（2）利用勾股定理計(jì)算出，進(jìn)而求出，即可求出的面積．

【詳解】（1）解：∵，，

∴是的中垂線，

∴，

∴；

∵，

∴，

∴；

（2）解：在中，，

∴，

∴，

∴．

【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理，三角形面積的計(jì)算等知識(shí)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

19．（本題8分）（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，，垂足為E，若．

(1)求的長度；

(2)求的長度．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，求出，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案；

（2）利用證明，推出，設(shè)，在中，利用勾股定理求解即可．

【詳解】（1）解：∵平分交于點(diǎn)D，，，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）解：∵平分交于點(diǎn)D，，，

∴，

∴，

∴，

設(shè)，

在中，，

∴，

解得，

∴．

【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．

20．（本題8分）（2022春·湖南長沙·八年級(jí)長沙市長郡雙語實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？几?jìng)賽）已知：如圖，△中，，，是△的中線，點(diǎn)在上，且．求證：．

【答案】證明見詳解．

【分析】以點(diǎn)C為圓心，CD長為半徑，交AB于F，連結(jié)CF，得出CD=CF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠CDF=∠CFD，根據(jù)直角三角形斜邊中線得出AD=CF，再證△ADE≌△CFB（AAS）即可．

【詳解】證明：以點(diǎn)C為圓心，CD長為半徑，交AB于F，連結(jié)CF，則CD=CF，

∴∠CDF=∠CFD，

∴∠ADE=180°-∠CDF=180°-∠CFD=∠CFB，

∵是△的中線，

∴CD=AD=BD，

∴AD=CF，

在△ADE和△CFB中，

，

∴△ADE≌△CFB（AAS），

∴AE=CB．

【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖，等腰三角形性質(zhì)，直角三角形斜邊中線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，掌握尺規(guī)作圖，等腰三角形性質(zhì)，直角三角形斜邊中線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

21．（本題8分）（四川自貢·八年級(jí)競(jìng)賽）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊且BE＝CF，AD+EC＝AB．

（1）求證：△DEF是等腰三角形；

（2）當(dāng)∠A＝40°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)．

【答案】（1）見解析；（2）∠DEF＝70°．

【分析】（1）求出EC=DB，∠B=∠C，根據(jù)SAS推出△BED≌△CFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DE=EF即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B=∠C=70°，根據(jù)全等得出∠BDE=∠FEC，求出∠DEB+∠FEC=110°，即可得出答案；

【詳解】（1）證明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵AB＝AD+BD，AB＝AD+EC，

∴BD＝EC，

在△DBE和△ECF中，，

∴△DBE≌△ECF（SAS）

∴DE＝EF，

∴△DEF是等腰三角形；

（2）∵∠A＝40°，

∴∠B＝∠C＝＝70°，

∴∠BDE+∠DEB＝110°，

又∵△DBE≌△ECF，

∴∠BDE＝∠FEC，

∴∠FEC+∠DEB＝110°，

∴∠DEF＝70°．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．

22．（本題9分）（2023·廣東茂名·八年級(jí)競(jìng)賽）如圖，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)作，，連接．已知，設(shè)．

(1)用含的代數(shù)式表示的值；

(2)探究：當(dāng)點(diǎn)滿足什么條件時(shí)，的值最小？最小值是多少？

(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)造圖形求代數(shù)式的最小值．

【答案】（1）；（2）三點(diǎn)共線時(shí)；（3）13

【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故可由勾股定理表示；

（2）若點(diǎn)C不在AE的連線上，根據(jù)三角形中任意兩邊之和大于第三邊知，AC+CE＞AE，故當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最?。?/p>

（3）由（1）（2）的結(jié)果可作BD=12，過點(diǎn)B作AB⊥BD，過點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點(diǎn)C，則AE的長即為代數(shù)式的最小值，然后構(gòu)造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質(zhì)可求得AE的值．

【詳解】（1）；

（2）當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最?。?/p>

（3）如下圖所示，作，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，使，．連接交于點(diǎn)，的長即為代數(shù)式的最小值．

過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，得矩形，

則，12．

所以，即的最小值為13．

考點(diǎn)：本題考查的是軸對(duì)稱－最短路線問題

【點(diǎn)睛】本題利用了數(shù)形結(jié)合的思想，求形如的式子的最小值，可通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解．

23．（本題10分）（山東臨沂·九年級(jí)競(jìng)賽）某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動(dòng)，過程如下：如圖1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏將三角板中含45°角的頂點(diǎn)放在A上，斜邊從AB邊開始繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)D，直角邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)E．

（1）小敏在線段BC上取一點(diǎn)M，連接AM，旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：若AD平分∠BAM，則AE也平分∠MAC．請(qǐng)你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

（2）當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，小敏在旋轉(zhuǎn)中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關(guān)系：BD2+CE2=DE2．同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進(jìn)行解決：

小穎的想法：將△ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△ADF，連接EF（如圖2）；

小亮的想法：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，連接EG（如圖3）；

請(qǐng)你從中任選一種方法進(jìn)行證明．

（3）小敏繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，請(qǐng)你繼續(xù)研究：當(dāng)135°＜α＜180°時(shí)（如圖4），等量BD2+CE2=DE2是否仍然成立？請(qǐng)作出判斷，不需要證明．

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）成立，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠DAM+∠MAE=∠BAD+∠EAC=45°，再由AD平分∠BAM，即可求證；

（2）小穎的想法：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠BAD=∠FAD=45°，AB=AF，BD=DF，再由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠CAE=∠FAE．從而得到△AEF≌△AEC，進(jìn)而得到CE=FE，∠AFE=∠C=45°．可得到∠DFE=90°．再由勾股定理，即可求證；小亮的想法：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠B=∠ACG=45°，AD=AG，BD=CG，∠BAD=∠CAG，可證得△DAE≌△GAE，從而得到DE=EG，進(jìn)而得到△ECG是直角三角形，再由勾股定理，即可求證；

（3）按小穎的方法作圖，設(shè)AB與EF相交于點(diǎn)G．證得△AEF≌△AEC，可得到∠DFE=90°，再由勾股定理，即可求證．

【詳解】（1）證明：∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．

∵∠DAE=45°，

∴∠DAM+∠MAE=45°，∠BAD+∠EAC=45°，

∴∠DAM+∠MAE=∠BAD+∠EAC=45°，

∵AD平分∠BAM，

∴∠BAD=∠DAM，

∴∠MAE=∠EAC，

即AE平分∠MAC；

（2）選擇小穎的方法．

證明：如圖2，連接EF．

由折疊可知，∠BAD=∠FAD=45°，AB=AF，BD=DF，

∵AB=AC，

∴AC=AF，

∵∠BAD=∠FAD，

∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．

在△AEF和△AEC中，

，

∴△AEF≌△AEC（SAS），

∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．

∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．

在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，

∴BD2+CE2=DE2．

選擇小亮的方法，

證明：如圖3，

∵將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，

∴△ADB≌△AGC，

∴∠B=∠ACG=45°，AD=AG，BD=CG，∠BAD=∠CAG，

∵∠BAC=∠DAG=90°，∠DAE=45°，

∴∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=45°，

∴∠DAE=∠EAG，

在△DAE和△GAE中，

，

∴△DAE≌△GAE（SAS），

∴DE=EG，

∵∠CAB=90°，

∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，

∴△ECG是直角三角形，

∴CG2+CE2=EG2，

即BD2+CE2=DE2；

（3）當(dāng)135°＜α＜180°時(shí)，等量關(guān)系BD2+CE2=DE2仍然成立．證明如下：

如圖4，按小穎的方法作圖，設(shè)AB與EF相交于點(diǎn)G．

∵將△ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△ADF，

∴AF=AB，∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°，∠BAD=∠FAD，

又∵AC=AB，

∴AF=AC．

又∵∠CAE=90°﹣∠BAE=90°﹣（45°﹣∠BAD）=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE．

∴∠CAE=∠FAE．

在△AEF和△AEC中，

∵，

∴△AEF≌△AEC（SAS），

∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．

∴∠DFE=∠AFD﹣∠AFE=∠135°﹣∠C=135°﹣45°=90°．

∴∠DFE=90°．

在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，

∴BD2+CE2=DE2．

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何變換綜合性題目，用到的知識(shí)點(diǎn)有角平分線的定義，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，折疊對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等，題目的綜合性較強(qiáng)，難度較大，正確做出圖形的輔助線是解題的關(guān)鍵．中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)

浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第2章《特殊三角形》培優(yōu)題精選

一、選擇題（共30分）

1．（浙江嘉興·九年級(jí)競(jìng)賽）以下列各組數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是()

A．，，B．，，

C．32，42，52D．1，2，3

2．（遼寧朝陽·八年級(jí)競(jìng)賽）直角三角形的周長為12cm，斜邊長為5cm，則其面積為()

A．12cm2B．6cm2C．8cm2D．10cm2

3．（遼寧朝陽·八年級(jí)競(jìng)賽）如圖，2023年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》（也稱《趙爽弦圖》），它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的短直角邊為a，較長直角邊為b，那么的值為（）

A．13B．19C．25D．169

4．（2023春·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）如圖，在△ABC中，D是AC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′與AB交于點(diǎn)E，連結(jié)AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，則點(diǎn)D到BC′的距離為（）

A．B．C．D．

5．（全國·八年級(jí)競(jìng)賽）已知中，，點(diǎn)在邊的延長線上，，則（）

A．16B．15C．13D．12

6．（遼寧朝陽·八年級(jí)競(jìng)賽）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是、、，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A．如果∠C-∠B=∠A，那么△ABC是直角三角形，∠C=90°

B．如果，則∠B=60°，∠A=30°

C．如果，那么△ABC是直角三角形

D．如果，那么△ABC是直角三角形

7．（山東臨沂·九年級(jí)競(jìng)賽）如圖，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE，則△CDE的周長為（）

A．20B．12C．14D．13

8．（2022·廣東·九年級(jí)統(tǒng)考競(jìng)賽）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣bc，則△ABC的面積為（）

A．B．C．D．

9．（全國·九年級(jí)競(jìng)賽）在等邊三角形ABC所在的平面內(nèi)存在點(diǎn)P，使∠PAB、∠PBC、∠PAC都是等腰三角形.請(qǐng)指出具有這種性質(zhì)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)（）

A．1B．7C．10D．15

10．（2023春·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考競(jìng)賽）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)平分交于點(diǎn)交于點(diǎn)．則下列說法正確的個(gè)數(shù)為（）

①；②，③若，則；④；⑤．

A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)

二、填空題（共21分）

11．（浙江嘉興·九年級(jí)競(jìng)賽）已知直角三角形兩邊的長滿足，則第三邊的長．

12．（2022秋·江蘇·八年級(jí)?？几?jìng)賽）過等腰三角形頂角頂點(diǎn)的一條直線，將該等腰三角形分成的兩個(gè)三角形均為等腰三角形，則原等腰三角形的底角度數(shù)為．

13．（2022春·湖南長沙·八年級(jí)校聯(lián)考競(jìng)賽）如圖，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC，AD=AE，點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD，BE．以下四個(gè)結(jié)論：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE=AC+AD，其中結(jié)論正確的是（填