人教版初三數(shù)學圓的對稱性省名師優(yōu)質課賽課獲獎課件市賽課一等獎課件

圓對稱性1/41圓對稱性圓是軸對稱圖形嗎？

想一想P881假如是,它對稱軸是什么?你能找到多少條對稱軸？●O你是用什么方法處理上述問題?圓是中心對稱圖形嗎？假如是,它對稱中心是什么?你能找到多少條對稱軸？你又是用什么方法處理這個問題?2/41圓對稱性圓是軸對稱圖形.

想一想P882圓對稱軸是任意一條經(jīng)過圓心直線,它有沒有數(shù)條對稱軸.●O可利用折疊方法即可處理上述問題.圓也是中心對稱圖形.它對稱中心就是圓心.用旋轉方法即可處理這個問題.3/41圓相關概念圓上任意兩點間部分叫做圓弧,簡稱弧.直徑將圓分成兩部分,每一部分都叫做半圓(如弧ABC).

讀一讀P883連接圓上任意兩點間線段叫做弦(如弦AB).●O經(jīng)過圓心弦叫做直徑(如直徑AC).AB⌒以A,B兩點為端點弧.記作,讀作“弧AB”.AB⌒小于半圓弧叫做劣弧,如記作(用兩個字母).⌒AmB大于半圓弧叫做優(yōu)弧,如記作(用三個字母).ABC⌒mD4/41③AM=BM,垂徑定理AB是⊙O一條弦.你能發(fā)覺圖中有哪些等量關系?與同伴說說你想法和理由.

做一做P894作直徑CD,使CD⊥AB,垂足為M.●O右圖是軸對稱圖形嗎?假如是,其對稱軸是什么?小明發(fā)覺圖中有:ABCDM└由①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.做一做5/41垂徑定理如圖,小明理由是:連接OA,OB,

做一做P905●OABCDM└則OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴點A和點B關于CD對稱.∵⊙O關于直徑CD對稱,∴當圓沿著直徑CD對折時,點A與點B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.6/41垂徑定理三種語言定理垂直于弦直徑平分弦,而且平分弦所兩條弧.老師提醒:垂徑定理是圓中一個主要結論,三種語言要相互轉化,形成整體,才能利用自如.

想一想P906●OABCDM└CD⊥AB,如圖∵CD是直徑,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.7/41②CD⊥AB,垂徑定理逆定理AB是⊙O一條弦,且AM=BM.你能發(fā)覺圖中有哪些等量關系?與同伴說說你想法和理由.

做一做P917過點M作直徑CD.●O右圖是軸對稱圖形嗎?假如是,其對稱軸是什么?小明發(fā)覺圖中有:CD由①CD是直徑③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗平分弦（不是直徑）直徑垂直于弦,而且平分弦所正確兩條弧.8/41你能夠寫出對應命題嗎?相信自己是最棒!垂徑定理逆定理如圖,在以下五個條件中:只要具備其中兩個條件,就可推出其余三個結論.

想一想P918●OABCDM└①CD是直徑,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.9/41垂徑定理及逆定理

想一想P919●OABCDM└條件結論命題①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦直徑平分弦,而且平分弦所兩條弧.平分弦(不是直徑)直徑垂直于弦,而且平分弦所正確兩條弧.平分弦所正確一條弧直徑,垂直平分弦,而且平分弦所正確另一條弧.弦垂直平分線經(jīng)過圓心,而且平分這條弦所正確兩條弧.垂直于弦而且平分弦所正確一條弧直線經(jīng)過圓心,而且平分弦和所正確另一條弧.平分弦而且平分弦所正確一條弧直線經(jīng)過圓心,垂直于弦,而且平分弦所正確另一條弧.平分弦所正確兩條弧直線經(jīng)過圓心,而且垂直平分弦.10/41

6.已知：如圖，在以O為圓心兩個同心圓中，大圓弦AB交小圓于C，D兩點。你認為AC和BD有什么關系？為何？證實：過O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE，CE＝DE?！郃E－CE＝BE－DE

即AC＝BD.ACDBOE5.在半徑為30㎜⊙O中，弦AB=36㎜，則O到AB距離是=

，∠OAB余弦值=

。OABP練一練(2)0.624mm注意：處理相關弦問題，過圓心作弦垂線，或作垂直于弦直徑，也是一個慣用輔助線添法．11/41挑戰(zhàn)自我垂徑定理推論

假如圓兩條弦相互平行,那么這兩條弦所平弧相等嗎?老師提醒:這兩條弦在圓中位置有兩種情況:隨堂練習P9210●OABCD1.兩條弦在圓心同側●OABCD2.兩條弦在圓心兩側垂徑定理推論圓兩條平行弦所夾弧相等.12/41試一試P9311挑戰(zhàn)自我畫一畫如圖,M為⊙O內一點,利用尺規(guī)作一條弦AB,使AB過點M.而且AM=BM.●O●M13/41試一試P9312挑戰(zhàn)自我填一填1、判斷：⑴垂直于弦直線平分這條弦,而且平分弦所正確兩條弧.（）⑵平分弦所正確一條弧直徑一定平分這條弦所正確另一條弧.（）⑶經(jīng)過弦中點直徑一定垂直于弦.（ ）⑷圓兩條弦所夾弧相等，則這兩條弦平行.（）⑸弦垂直平分線一定平分這條弦所正確弧.（）14/41試一試P9315挑戰(zhàn)自我畫一畫4.如圖,圓O與矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE長.·ABCD0EFGH15/41試一試P9312駛向勝利彼岸挑戰(zhàn)自我填一填1、判斷：⑴垂直于弦直線平分這條弦,而且平分弦所正確兩條弧.（）⑵平分弦所正確一條弧直徑一定平分這條弦所正確另一條弧.（）⑶經(jīng)過弦中點直徑一定垂直于弦.（ ）⑷圓兩條弦所夾弧相等，則這兩條弦平行.（）⑸弦垂直平分線一定平分這條弦所正確弧.（）√

√16/41練習2:在圓O中，直徑CE⊥AB于

D，OD=4㎝，弦AC=㎝，求圓O半徑。

反思：在⊙O中，若⊙O半徑r、圓心到弦距離d、弦長a中，任意知道兩個量，可依據(jù)

定理求出第三個量：CDBAO例2：如圖，圓O弦AB＝8㎝，

DC＝2㎝，直徑CE⊥AB于D，求半徑OC長。垂徑直徑MN⊥AB,垂足為E,交弦CD于點F.17/41例3：如圖，已知圓O直徑AB與弦CD相交于G，AE⊥CD于E，

BF⊥CD于F，且圓O半徑為

10㎝，CD=16㎝，求AE-BF長。練習3:如圖，CD為圓O直徑，弦

AB交CD于E，∠CEB=30°，

DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB長。圖中相等線段有

:18/41試一試P9313駛向勝利彼岸挑戰(zhàn)自我畫一畫2.已知：如圖,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,直徑MN⊥AB,垂足為E,交弦CD于點F.圖中相等線段有:

.圖中相等劣弧有:

.FEOMNABCD19/41小結

直徑平分弦直徑垂直于弦=>

直徑平分弦所正確弧直徑垂直于弦直徑平分弦（不是直徑）直徑平分弦所正確弧直徑平分弧所正確弦直徑平分弧直徑垂直于弧所正確弦

=>

=>

１、圓軸對稱性２、垂徑定理及其逆定理圖式20/412.圓對稱性(2)21/41垂徑定理三種語言定理垂直于弦直徑平分弦,而且平分弦所兩條弧.老師提醒:垂徑定理是圓中一個主要結論,三種語言要相互轉化,形成整體,才能利用自如.

想一想P901●OABCDM└CD⊥AB,如圖∵CD是直徑,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.22/41垂徑定理應用例1如圖，一條公路轉變處是一段圓弧(即圖中弧CD,點O是弧CD圓心),其中CD=600m,E為弧CD上一點,且OE⊥CD垂足為F,EF=90m.求這段彎路半徑.

想一想P912解:連接OC.●OCDEF┗老師提醒:注意閃爍三角形特點.23/41趙州石拱橋1.1300多年前,我國隋朝建造趙州石拱橋(如圖)橋拱是圓弧形,它跨度(弧所對是弦長)為37.4m,拱高(弧中點到弦距離,也叫弓形高)為7.2m,求橋拱半徑(準確到0.1m).

隨堂練習P923你是第一個告訴同學們解題方法和結果嗎？24/41趙州石拱橋隨堂練習P924解：如圖，用表示橋拱，所在圓圓心為O，半徑為Rm，經(jīng)過圓心O作弦AB垂線OD，D為垂足，與相交于點C.根據(jù)垂徑定理，D是AB中點，C是中點，CD就是拱高.由題設在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得R≈27.9（m）.答：趙州石拱橋橋拱半徑約為27.9m.RD37.47.225/41船能過拱橋嗎2.如圖,某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬為7.2米,拱頂高出水面2.4米.現(xiàn)有一艘寬3米、船艙頂部為長方形并高出水面2米貨船要經(jīng)過這里,此貨船能順利經(jīng)過這座拱橋嗎？相信自己能獨立完成解答.

做一做P補526/41船能過拱橋嗎解:如圖,用表示橋拱,所在圓圓心為O,半徑為Rm,經(jīng)過圓心O作弦AB垂線OD,D為垂足,與相交于點C.根據(jù)垂徑定理,D是AB中點,C是中點,CD就是拱高.由題設得

做一做P補6在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得R≈3.9（m）.在Rt△ONH中，由勾股定理，得∴此貨船能順利經(jīng)過這座拱橋.27/41垂徑定理三角形在a,d,r,h中，已知其中任意兩個量,能夠求出其它兩個量.

想一想P補7⑴d+h=r⑵已知：如圖，直徑CD⊥AB，垂足為E.⑴若半徑R=2，AB=,求OE、DE長.⑵若半徑R=2，OE=1，求AB、DE長.⑶由⑴、⑵兩題啟發(fā)，你還能編出什么其它問題？28/41垂徑定理應用在直徑為650mm圓柱形油槽內裝入一些油后，截面如圖所表示.若油面寬AB=600mm，求油最大深度.

做一做P補8ED┌

60029/41垂徑定理逆應用在直徑為650mm圓柱形油槽內裝入一些油后，截面如圖所表示.若油面寬AB=600mm，求油最大深度.

想一想P補9BAO600?650DC30/41挑戰(zhàn)自我1、要把實際問題轉變成一個數(shù)學問題來處理.2、熟練地利用垂徑定理及其推論、勾股定理，并用方程思想來處理問題.隨堂練習P補103、對于一個圓中弦長a、圓心到弦距離d、圓半徑r、弓形高h，這四個量中，只要已知其中任意兩個量，就能夠求出另外兩個量，如圖有：⑴d+h=r⑵31/412.圓對稱性(3)32/41圓對稱性及特征圓是軸對稱圖形,圓對稱軸是任意一條經(jīng)過圓心直線,它有沒有數(shù)條對稱軸.

想一想P942圓也是中心對稱圖形,它對稱中心就是圓心.用旋轉方法能夠得到:一個圓繞著它圓心旋轉任意一個角度,都能與原來圖形重合.這是圓特有一個性質:圓旋轉不變性●O33/41A′B′圓心角圓心角頂點在圓心角(如∠AOB).弦心距過圓心作弦垂線,圓心與垂足之間距離(如線段OD).如圖,在⊙O中,分別作相等圓心角和∠AOB和∠A′OB′,將其中一個旋轉一個角度,使得OA和O′A′重合.

想一想P942

你能發(fā)覺那些等量關系?說一說你理由.●O●OAB┓D●OAB┓DABABABABABAB┓D┓D┓D┓D┓D┓D′A′B′┓D′34/41圓心角圓心角,弧,弦,弦心距之間關系定理如圖,假如在兩個等圓⊙O和⊙O′中,分別作相等圓心角和∠AOB和∠A′O′B′,固定圓心,將其中一個旋轉一個角度,使得OA和O′A′重合.

想一想P943●OA′B′●O′AB

你又能發(fā)覺那些等量關系?說一說你理由.●OA′B′●O′ABABABABABABAB┓D′┓D′┓D′┓D′35/41圓心角,弧,弦,弦心距之間關系定理在同圓或等圓中,相等圓心角所正確弧相等所正確弦相等,所正確弦弦心距相等.

議一議P954●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏由條件:①∠AOB=∠A′O′B′②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出36/41拓展與深化在同圓或等圓中,假如輪換下面五組條件:①兩個圓心角,②兩條弧,③兩條弦,④兩條弦心距,你能得出什么結論?與同伴交流你想法和理由.

猜一猜P955●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏如由條件:②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′37/41推論在同圓或等圓中,假如①兩個圓心角,②兩條弧,③兩條弦,④兩條弦心距中,有一組量相等,那么它們所對應其余各組量都分別相等.

猜一猜P966●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏如由條件:②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′38/41化心動為行動1.已知A,B是⊙O上兩點,∠AOB=1200,C是中點,試確定四邊形OACB形狀,并說明理由.

隨堂練習P9772.利用一個圓及若干條弦分別設計出符合以下條件圖案:(1)是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形;(2)即是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.3.日常生活中許多圖案或現(xiàn)象都與圓對稱性相關,試舉幾例.⌒AB39/41反思自我想一想,你收獲和迷惑有哪些?說出來,與同學們分享.回顧與思索P1351240/41；

凍干粉ory97msq說：“那好，明兒個一早就過江北上吧，安全回家最主要！只是，這也太辛勞了點兒。還有，過年了，沿途客棧還會留宿嗎？”三人都說：“沒有問題，過年趕路人多著呢！”屋子里光線暗了，東伢子點上油燈，把燈芯兒撥亮了一些。喬氏和小青開始收拾做飯。晚飯后，耿英要幫小青收拾洗刷。小青說：“姐一人洗刷就行了，你歇著去吧！”耿英說：“姐，你就讓我再和你洗刷一次吧！這些年來我一直思念咱們一起洗鍋刷碗日子呢，而