清華大學(xué)微積分高等數(shù)學(xué)第講常微分方程二省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

作業(yè)P236習(xí)題8.29.11.13.25.26.28.35.39.41.47.1/319/16/20231第二十二講常微分方程（二）一、一階線性方程三、可利用微分形式求解方程二、伯努利(Bernoulli)方程四、積分因子2/319/16/20232一、一階線性微分方程3/319/16/20233性質(zhì)1：性質(zhì)2：性質(zhì)3：4/319/16/20234性質(zhì)4：性質(zhì)5：5/319/16/20235(1)怎樣解齊次方程？非齊次齊次可分離型！標(biāo)準(zhǔn)形式：什麼類型？一階線性微分方程6/319/16/20236分離變量是p(x)一個(gè)原函數(shù)不是不定積分！齊次通解解得注意：齊次通解結(jié)構(gòu)：7/319/16/20237(2)用常數(shù)變異法解非齊次方程假定(1)解含有形式將這個(gè)解代入(1),經(jīng)計(jì)算得到8/319/16/20238化簡(jiǎn)得到即9/319/16/20239積分從而得到非齊次方程(1)通解非齊次通解或10/319/16/202310非齊次通解結(jié)構(gòu)：特解非齊次特解11/319/16/20231112/319/16/202312這是線性方程嗎？是關(guān)于函數(shù)x=x(y)一階線性方程！[解]變形為：第一步:先求解齊次方程齊次方程通解是13/319/16/202313第二步:用常數(shù)變異法解非齊次方程假設(shè)非齊次方程解為代入方程并計(jì)算化簡(jiǎn)積分得通解14/319/16/202314[證]15/319/16/20231516/319/16/202316Bernoulli方程二、伯努利(Bernoulli)方程17/319/16/202317Bernoulli方程線性方程18/319/16/202318[解]19/319/16/202319解線性方程對(duì)應(yīng)齊次方程(2)通解設(shè)(1)解為代入(1),計(jì)算化簡(jiǎn)得到20/319/16/20232021/319/16/202321三、可利用微分形式求解方程利用熟悉微分公式，經(jīng)過湊微分方法將微分方程變?yōu)橐恍┖瘮?shù)微分形式.比如22/319/16/20232223/319/16/202323[解]通解湊微分24/319/16/202324通解為[解]改寫為25/319/16/202325通解為[解]26/319/16/202326問:能否直接經(jīng)過湊微分求解？不能問:能否變?yōu)榭山?jīng)過湊微分求解方程？試試看27/319/16/202327(六)積分因子28/319/16/202328通解積分因子

可能會(huì)丟解！[][解]29/319/16/202329[解]通解30/319/16/202330小結(jié)1.解、通解、特解、定解問題2.一階微分方程可積類型可分離型