矩陣不僅在線性方程組的研究中要用到它省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第四章矩陣不但在線性方程組研究中要用到它，在高等代數(shù)其它方面如向量空間、二次型等研究中也要用到，所以矩陣?yán)碚撘殉蔀楦叩却鷶?shù)理論一個(gè)主要組成部分。另外，在其它數(shù)學(xué)領(lǐng)域以及科學(xué)技術(shù)中提出有些問(wèn)題，也都要用矩陣?yán)碚撊パ芯刻幚?。矩陣是?yīng)用很廣數(shù)學(xué)工具。本章主要內(nèi)容有：1/2011.矩陣運(yùn)算定義1.設(shè)是矩陣，則矩陣稱為和和，記為。2/202兩個(gè)矩陣必須行數(shù)和列數(shù)分別相同情況下才能相加。

矩陣加法滿足以下規(guī)律：記零矩陣為，負(fù)矩陣為，則秩()≤秩()+秩()1.矩陣運(yùn)算（續(xù)1）3/2031.矩陣運(yùn)算（續(xù)2）定義2設(shè)

那么矩陣其中

稱為與乘積，記為。兩個(gè)矩陣相乘必須滿足第二個(gè)矩陣行數(shù)與第一個(gè)矩陣列數(shù)相等。普通地，。4/2041.矩陣運(yùn)算（續(xù)3）定義4矩陣稱為矩陣與數(shù)數(shù)量乘積，記為。換句話說(shuō)，用數(shù)乘矩陣就是把矩陣每個(gè)元素都乘上。把一矩陣行列交換，所得到矩陣稱為轉(zhuǎn)置，記為。5/2051.矩陣運(yùn)算（續(xù)4）定義5設(shè)

轉(zhuǎn)置就是指矩陣6/2061.矩陣運(yùn)算（續(xù)5）矩陣轉(zhuǎn)置適合以下規(guī)律：7/2072.矩陣乘積行列式與秩定理1設(shè)是數(shù)域上兩個(gè)矩陣，那么

即矩陣乘積行列式等于它因子行列式乘積。推論1設(shè)是數(shù)域上矩陣，于是

8/2082.矩陣乘積行列式與秩（續(xù)）定義6數(shù)域上矩陣稱為非退化，假如；不然稱為退化。定理2設(shè)是數(shù)域上矩陣，是數(shù)域上矩陣，于是秩()min[秩(),秩()],即乘積秩不超出各因子秩。9/2093.矩陣逆定義7級(jí)方陣稱為可逆，假如有級(jí)方陣，使得.（這里是級(jí)單位矩陣）矩陣就稱為逆矩陣，記為。10/20103.矩陣逆（續(xù)1）定義9設(shè)是矩陣中元素代數(shù)余子式，矩陣稱為伴隨矩陣。11/20113.矩陣逆（續(xù)2）定理3矩陣是可逆充分必要條件是非退化，而可逆矩陣一些性質(zhì)：(1)(2)(3)存在，則(4)假如矩陣可逆，則(5)假如存在,那么有唯一解；有唯一解。12/20123.矩陣逆（續(xù)3）定理4是一個(gè)矩陣，假如是一個(gè)可逆矩陣，是一個(gè)可逆矩陣，那么秩()=秩()=秩()。13/20134.矩陣分塊用分塊矩陣作矩陣加法時(shí)，必須將矩陣分成大小相同小塊；作矩陣乘法時(shí)，第一個(gè)矩陣列分法必須與第二個(gè)矩陣行分法相一致。形式為矩陣，其中是數(shù)()，通常稱為對(duì)角矩陣，而形式為14/20144.矩陣分塊（續(xù)）矩陣，其中是矩陣()，通常稱為準(zhǔn)對(duì)角矩陣。假如都是可逆矩陣，那么15/20155.初等矩陣定義10由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到矩陣稱為初等矩陣。初等矩陣都是可逆，它們逆矩陣還是初等矩陣，而且有：定義11矩陣與稱為等價(jià)，假如能夠由經(jīng)過(guò)一系列初等變換得到。16/20165.初等矩陣（續(xù)1）引理對(duì)一個(gè)矩陣作一初等行變換就相當(dāng)于在左邊乘上對(duì)應(yīng)初等矩陣；對(duì)作一初等列變換就相當(dāng)于在右邊乘上對(duì)應(yīng)初等矩陣．定理5任意一個(gè)矩陣都與一形式為矩陣等價(jià)，它稱為矩陣標(biāo)準(zhǔn)形，主對(duì)角線上1個(gè)數(shù)等于秩（1個(gè)數(shù)能夠是零）。17/20175.初等矩陣（續(xù)2）矩陣與等價(jià)充分必要條件是有初等矩陣使定理6級(jí)矩陣可逆充分必要條件是它能表成一些初等矩陣乘積：

推論1兩個(gè)矩陣與等價(jià)充分必要條件是，存在可逆級(jí)矩陣與可逆級(jí)矩陣,使推論2可逆矩陣總能夠經(jīng)過(guò)一系列初等行變換化成單位矩陣。18/20185.初等矩陣（續(xù)3）設(shè)是一個(gè)級(jí)可逆矩陣．由推論2，有一系列初等矩陣使(1)由(1)即得(2)(1)，(2)兩個(gè)式子說(shuō)明，假如用一系列初等行變換把可逆矩陣化成單位矩陣，那么一樣地用這一系列初等行變換去化單位矩陣，就得到。19/20195.初等矩陣（續(xù)4）把這兩個(gè)矩陣湊在一起，作成一個(gè)矩陣