波動(dòng)方程和行波法名師優(yōu)質(zhì)課獲獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

物理學(xué)專(zhuān)業(yè)必修課程數(shù)學(xué)物理方法MathematicalMethodinPhysics西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院第1頁(yè)1第一章波動(dòng)方程和行波法第2頁(yè)2引言1.1弦振動(dòng)方程1.2行波法第3頁(yè)3數(shù)理方程（泛定方程）（三類(lèi)）在物理學(xué)研究中起著主要作用。怎樣從物理學(xué)實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)出數(shù)理方程呢？我們先從弦振動(dòng)方程入手。引言第4頁(yè)4基本步驟：1.建立坐標(biāo)系（時(shí)間，空間）2.選擇表征所研究過(guò)程物理量

表征物理量選擇經(jīng)常是建立一個(gè)新方程起點(diǎn)。（一個(gè)或幾個(gè)）。數(shù)學(xué)模型物理模型第5頁(yè)53.尋找（猜測(cè)）物理過(guò)程所恪守物理定律或物理公理;4.寫(xiě)出物理定律表示式，即數(shù)學(xué)模型。第6頁(yè)6一、弦橫振動(dòng)方程二、定解條件提出三、三類(lèi)定解問(wèn)題1.1弦振動(dòng)方程第7頁(yè)7一、弦橫振動(dòng)方程（均勻弦微小橫振動(dòng)）演奏弦樂(lè)（二胡，提琴）人用弓在弦上往返拉動(dòng)，弓所接觸是弦很小一段，似乎只能引發(fā)這個(gè)小段振動(dòng)，實(shí)際上振動(dòng)總是傳輸?shù)秸麄€(gè)弦，弦各處都振動(dòng)起來(lái)。振動(dòng)怎樣傳輸呢？第8頁(yè)8實(shí)際問(wèn)題：設(shè)有一根細(xì)長(zhǎng)而柔軟弦,緊繃于A，B兩點(diǎn)之間，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極為微小橫振動(dòng)（以某種方式激發(fā)，在同一平面內(nèi)，弦上各點(diǎn)振動(dòng)方向相互平行，且與波傳輸方向（弦長(zhǎng)度方向）垂直），求弦上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律。1.物理模型第9頁(yè)92.分析弦是柔軟，即在放松條件下，把弦彎成任意形狀，它都保持靜止?？嚲o后，相鄰小段之間有拉力，這種拉力稱(chēng)為弦中張力，張力沿線切線方向。第10頁(yè)10

因?yàn)閺埩ψ饔?，一個(gè)小段振動(dòng)必帶動(dòng)它鄰段，鄰段又帶動(dòng)它自己鄰段，這么一個(gè)小段振動(dòng)必定傳輸?shù)秸麄€(gè)弦，這種振動(dòng)傳輸現(xiàn)象叫作波。弦是輕質(zhì)弦（其質(zhì)量只有張力幾萬(wàn)分之一）。跟張力相比，弦質(zhì)量完全能夠略去。第11頁(yè)11①模型實(shí)際上就是：柔軟輕質(zhì)細(xì)弦（“沒(méi)有質(zhì)量”弦）②將無(wú)質(zhì)量弦緊繃，不振動(dòng)時(shí)是一根直線，取為x

軸。③將弦上個(gè)點(diǎn)橫向位移記為第12頁(yè)12④已知：線密度

重量不計(jì)，沿切線方向，不隨x改變，弦中各點(diǎn)張力相等（小振動(dòng)下T與t也無(wú)關(guān)）.

張力⑤研究方法：連續(xù)介質(zhì)，微積分思想，任意性。第13頁(yè)133.研究建立方程①如圖，選弦繃緊時(shí)（不振動(dòng)）直線為x

軸AB第14頁(yè)14為表征物理量。②弦離開(kāi)平衡位置位移記為③因弦振動(dòng)是機(jī)械振動(dòng)，基本規(guī)律為：然而弦不是質(zhì)點(diǎn)，故對(duì)整根弦并不適用。但整根弦能夠細(xì)分為許多極小小段，每個(gè)小段能夠抽象為質(zhì)點(diǎn)。第15頁(yè)15即整根弦由相互牽連質(zhì)點(diǎn)組成，對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)即每個(gè)小段可應(yīng)用

.方法：將連續(xù)分布介質(zhì)離散化為多質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，再取內(nèi)部任一代表性點(diǎn)進(jìn)行研究。將弦細(xì)分為許多極小小段，取區(qū)間上小段為代表。無(wú)質(zhì)量且柔軟，故該段僅受到相鄰兩段拉力.和

第16頁(yè)16④對(duì)弦每一小段dx,沿x方向（縱向）沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，沿

x方向所受合外力為零。任一小段弦在振動(dòng)過(guò)程中只受到相鄰段對(duì)它張力和施加在弦上外力。設(shè)單位長(zhǎng)度上受到橫向外力為第17頁(yè)17于是由牛頓第二定律對(duì)dx

所對(duì)應(yīng)這一小段弦有:沿

方向（縱向）：

沿

方向（縱向）：

①②第18頁(yè)18近似：考慮小振動(dòng)，

，為小量。

其中:

是弦線密度，即單位長(zhǎng)度為對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)，

為弦橫向?yàn)橄覚M向加速度。

質(zhì)量，位移，第19頁(yè)19∵

第20頁(yè)20于是①、②化簡(jiǎn)為：兩點(diǎn)間任一時(shí)刻橫小振動(dòng)近似：

與與

相比是一向位移之差

個(gè)小量，即

第21頁(yè)21即令

則上式為:第22頁(yè)22應(yīng)用微積分中值定理:第23頁(yè)23即——弦強(qiáng)迫橫振動(dòng)方程其中:

，

量綱分析：

，第24頁(yè)24即：振動(dòng)傳輸速度

它與弦張力平方根成正比，與弦線密度平方根成反比。

∴

第25頁(yè)25對(duì)樂(lè)器來(lái)講，意味著弦繃越緊，波速越大；弦質(zhì)料越密，波速越小。則得弦自由橫振動(dòng)方程：

消失，即

上式中,外力f第26頁(yè)26注意：上述推導(dǎo)過(guò)程中，并沒(méi)有考慮重力。不但弦振動(dòng)，一維波動(dòng)方程，如彈性桿橫振動(dòng)。二維波動(dòng)方程，如薄膜橫振動(dòng)方程，管道中小振動(dòng)傳輸，理想傳輸線電報(bào)方程等均可用上述波動(dòng)方程描述。故稱(chēng)為一類(lèi)方程，即波動(dòng)方程。（也是稱(chēng)其為泛定方程遠(yuǎn)大）可描述一類(lèi)物理現(xiàn)象。流體力學(xué)與聲學(xué)中推導(dǎo)三維波動(dòng)方程，這里不再一一推導(dǎo)。第27頁(yè)27二、定解條件提出

1、必要性。導(dǎo)出方程后，就得對(duì)方程進(jìn)行求解。不過(guò)只有泛定方程不足以完全確定方程解，即不足以完全確定詳細(xì)物理過(guò)程，因?yàn)樵敿?xì)物理過(guò)程還與其初始狀態(tài)及邊界所受外界作用相關(guān)，因而必須找一些補(bǔ)充條件，用以確定該物理過(guò)程。第28頁(yè)28

從物理角度看：泛定方程僅表示普通性（共性），要為物體運(yùn)動(dòng)個(gè)性化附加條件。

從數(shù)學(xué)角度看：微分方程解任意性也需附加條件。通解中含任意函數(shù)（解不能唯一確定）。經(jīng)過(guò)附加條件確定任意函數(shù)（常數(shù)），從而確定解。這些附加條件就是前面所談問(wèn)題“歷史”與“環(huán)境”，即初始條件和邊界條件，統(tǒng)稱(chēng)為定解條件。第29頁(yè)292、初始條件在求解含時(shí)間t變量數(shù)理方程時(shí)，往往要追溯到早些某個(gè)所謂“初始”時(shí)間情況（“歷史”），于是稱(chēng)物理過(guò)程初始情況數(shù)學(xué)表示式為初始條件。第30頁(yè)30如弦振動(dòng)方程:

其初始條件為:同一時(shí)刻(

)情況

注意：(a）初始條件應(yīng)是整個(gè)系統(tǒng)初始狀態(tài)，而不是系統(tǒng)中個(gè)別點(diǎn)初始狀態(tài)。第31頁(yè)31若

就錯(cuò)了。

如：一根長(zhǎng)為l兩端固定弦，用手把它中點(diǎn)朝橫向拔開(kāi)距離h，然后放手任其振動(dòng)（初始時(shí)該就為放手時(shí)刻），則初始條件應(yīng)為：第32頁(yè)32(b)時(shí)間t

n階方程需n個(gè)初始條件，n個(gè)常數(shù)。如：第33頁(yè)333、邊界條件求解方程時(shí)還需考慮邊界情況（周?chē)碍h(huán)境”）（邊界情況將經(jīng)過(guò)逐點(diǎn)影響所討論整個(gè)區(qū)域），稱(chēng)物理過(guò)程邊界情況表示式為邊界條件，或稱(chēng)為邊值條件。邊界條件在數(shù)學(xué)上分為三類(lèi)：第34頁(yè)34

第一類(lèi)邊界條件(Dirichlet邊界條件)：直接要求所研究物理量在邊界上數(shù)值其中為已知函數(shù)。

第35頁(yè)35

第二類(lèi)邊界條件（Neuman邊界條件）：要求所研究物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)數(shù)值.，第36頁(yè)36

第三類(lèi)邊界條件（混合邊界條件也叫Robin邊界條件）：要求所研究物理量及其外法向?qū)?shù)線性組合在邊界上值:常系數(shù)第37頁(yè)37第一、二、三類(lèi)齊次邊界條件。時(shí)，以上三類(lèi)邊界條件當(dāng)分別稱(chēng)為第38頁(yè)38⑴

銜接條件集中地因?yàn)橐恍┰?，在所研究區(qū)域里出現(xiàn)躍變點(diǎn)，泛定方程在該點(diǎn)失去意義。如波動(dòng)方程（弦），假如有橫向力作用于點(diǎn)，這就成了弦折點(diǎn)。在點(diǎn)斜率左極限不一樣于右極限，因而不存在,

4、其它條件第39頁(yè)39在各段上,弦振動(dòng)方程有意義，但它是一根弦兩段，并不是各自振動(dòng)。從數(shù)學(xué)上來(lái)講，不可能在兩端上分別列出定解問(wèn)題。兩段可作為一個(gè)整體來(lái)研究，兩段振動(dòng)是相互關(guān)聯(lián)。在這一點(diǎn)無(wú)意義.假如,將分成，兩段分別考慮，第40頁(yè)40F（0,t）α1α2xu第41頁(yè)41雖是折點(diǎn)，但它們連續(xù)，即①在

，力

應(yīng)和張力平衡，即②

①、②合稱(chēng)為銜接條件，這時(shí)振動(dòng)問(wèn)題適定。第42頁(yè)42再如，不一樣材料組成桿振動(dòng)，在銜接處位移和能量相等，即：：桿兩部分位移.：兩部分楊氏模量.

第43頁(yè)43靜電場(chǎng)中，兩種電介質(zhì)交界面上電勢(shì)應(yīng)相等（連續(xù)），電位移矢量法向分量也應(yīng)相等（連續(xù)）,其銜接條件是:第44頁(yè)44代表兩種電介質(zhì)介電常數(shù)，（設(shè)電其中代表兩種電介質(zhì)電勢(shì)，

則,位移矢量分別為第45頁(yè)45⑵

自然邊界條件一些情況下，出于物理上合理性等原因，要求解為單值、有限，就提出自然邊界條件，這些條件通常都不是要研究問(wèn)題直接給出，而是依據(jù)解特征要求自然加上去，故稱(chēng)為自然邊界條件，如：第46頁(yè)46通解為：

在區(qū)間

上要求解有限，故

有限，從而在

中解為:

第47頁(yè)47但并非全部定解問(wèn)題中，都一定同時(shí)含有初始條件和邊界條件。三、三類(lèi)定解問(wèn)題定解問(wèn)題泛定方程定解條件初始條件邊界條件+銜接條件第48頁(yè)48

（1）初值問(wèn)題(Cauchy問(wèn)題）：定解問(wèn)題中僅初始條件而無(wú)邊界條件,如無(wú)界弦振動(dòng):第49頁(yè)49

（2）邊值問(wèn)題：定解條件為邊界條件

如

第50頁(yè)50（3）混合問(wèn)題:即有初始條件又有邊界條件。如有界弦自由振動(dòng)第51頁(yè)51物理系統(tǒng)總是有限，必須有界，要求邊界條件，如：弦總是有限長(zhǎng)，有兩個(gè)端點(diǎn)，但假如重視研究靠近一端一段弦，即在不太長(zhǎng)時(shí)間里，另一端還沒(méi)來(lái)得及傳到，可認(rèn)為另一端不存在這么就可將真實(shí)弦抽象為半無(wú)界弦。（4）無(wú)界半無(wú)界問(wèn)題：第52頁(yè)52假如重視考慮不靠近兩端點(diǎn)某段弦，在不太長(zhǎng)時(shí)間里，兩端點(diǎn)影響還沒(méi)來(lái)得及傳到，可認(rèn)為兩端點(diǎn)都不存在，即兩端點(diǎn)都在無(wú)限遠(yuǎn)，就不提邊界條件了，這么有限真實(shí)弦抽象成無(wú)界弦，分別稱(chēng)為半無(wú)界問(wèn)題、無(wú)界問(wèn)題。第53頁(yè)53舉例：弦振動(dòng)問(wèn)題中

第一類(lèi)邊界條件：

第54頁(yè)54端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律:

左端點(diǎn)，

右端點(diǎn)

若兩端點(diǎn)固定，則

為齊次邊界條件，稱(chēng)固定端點(diǎn)邊界條件。

第55頁(yè)55第二類(lèi)邊界條件：

若左端點(diǎn)自由地上下運(yùn)動(dòng)，則

稱(chēng)自由（端點(diǎn)）邊界條件

.第56頁(yè)56第三類(lèi)邊界條件：

彈簧，弦左端點(diǎn)固定于彈簧自由頂端，弦左端點(diǎn)受到垂直于軸已知外力作用而上下運(yùn)動(dòng)。

設(shè)在處安置了一個(gè)垂直于

軸第57頁(yè)57第58頁(yè)58若彈性支承邊界條件：

弦一端與一個(gè)其它系統(tǒng)相連接，弦在左端處連接于一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，保持其運(yùn)動(dòng)是完全垂直。第59頁(yè)59想象質(zhì)量在垂直軌道上無(wú)摩擦，軌道對(duì)質(zhì)量施加一個(gè)張力，預(yù)防張力水平分量拉翻質(zhì)量系統(tǒng)，弦與此質(zhì)量未連接，質(zhì)量位置為弦在端點(diǎn)位置

，未知量，滿(mǎn)足牛頓第二定律一個(gè)ODE。第60頁(yè)60彈簧拉伸長(zhǎng)度為:

由牛頓第二定律：

彈簧上其它力假設(shè)彈簧未拉伸長(zhǎng)度為

，且滿(mǎn)足胡克定律，設(shè)弦支撐點(diǎn)按照其解方式移動(dòng)。彈簧長(zhǎng)度為第61頁(yè)61其中

為小振動(dòng)近似，

常量，第62頁(yè)62邊界條件為（連接于一個(gè)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，帶動(dòng)支撐

外力一條振動(dòng)處,則弦在第63頁(yè)63若無(wú)外力作用于質(zhì)量上

充分小，則其中:

是質(zhì)量平衡位置第64頁(yè)64若質(zhì)量平衡位置與弦平衡位置重合，即

則：

若弦和質(zhì)量，若

處

，。成正比，與平衡位置都是則必有第65頁(yè)65端點(diǎn)處無(wú)任何其它垂直外力，彈力在端點(diǎn)垂直分量必為0，不然此端點(diǎn)將會(huì)有沒(méi)有限垂直加速度。對(duì)

取極限

若端點(diǎn)附在前述無(wú)摩擦垂直軌道上，上下自由移動(dòng)，無(wú)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)也無(wú)外力，第66頁(yè)661.2行波法一、定解問(wèn)題二、求解定解問(wèn)題三、分析解答四、依賴(lài)區(qū)域五、其它:問(wèn)題第67頁(yè)67引言上節(jié)課我們已經(jīng)了解了數(shù)學(xué)物理方程所研究對(duì)象、特點(diǎn)，并推導(dǎo)出一類(lèi)經(jīng)典方程——波動(dòng)方程（弦振動(dòng)方程），接下來(lái)問(wèn)題就是對(duì)這些問(wèn)題怎樣來(lái)求解？先往返顧一下求解

。求解

１.第68頁(yè)68先求方程通解（含任意常數(shù)）常微分方程（

）求解思緒：

(利用初值條件)方程特解確定條件中數(shù)第69頁(yè)69比如：

通解為:

第70頁(yè)702.求解

對(duì)，可否也用這種思緒來(lái)求解？即先求通解（通解中包含任意常數(shù)或函數(shù)），然后利用各種條件確定常數(shù)或函數(shù)，從而得到特解。已經(jīng)表明，對(duì)以下困難：來(lái)講有第71頁(yè)71其一，通解不好求；其二，用定解條件確定函數(shù)較困難，但也卻非不能處理任何方程，對(duì)一類(lèi)問(wèn)題是可行：無(wú)界區(qū)域齊次波動(dòng)方程定解問(wèn)題。第72頁(yè)72齊次波動(dòng)方程（

）反應(yīng)介質(zhì)一經(jīng)擾動(dòng)后在區(qū)域里不再受外力運(yùn)動(dòng)規(guī)律。如弦振動(dòng)方程，所考慮弦，長(zhǎng)度很長(zhǎng)，所需知道又只是在較短時(shí)間內(nèi)離邊界較遠(yuǎn)一段范圍中運(yùn)動(dòng)情況，則邊界影響能夠不予考慮，就組成一個(gè)無(wú)界問(wèn)題，第73頁(yè)73（初值問(wèn)題）抽象成問(wèn)題區(qū)域是整個(gè)空間，由初始擾動(dòng)所引發(fā)振動(dòng)就會(huì)一往無(wú)前傳輸下去，形成行進(jìn)波，簡(jiǎn)稱(chēng)行波。（數(shù)學(xué)上將弦長(zhǎng)度視為無(wú)限）。這種求解行波問(wèn)題方法成為行波法。第74頁(yè)74一、定解問(wèn)題上式為無(wú)界弦自由振動(dòng)方程.其中為已知函數(shù)。

第75頁(yè)75物理模型解釋?zhuān)孩贌o(wú)限長(zhǎng)弦自由振動(dòng)②無(wú)限長(zhǎng)桿縱振動(dòng)③無(wú)限長(zhǎng)理想傳輸線上電流、電壓之比這里“無(wú)限長(zhǎng)”指沒(méi)有受到外力作用，只研究其中一小段，則在不太長(zhǎng)時(shí)間里，兩第76頁(yè)76端影響來(lái)不及傳到，可認(rèn)為兩端不存在，因而為無(wú)限長(zhǎng)。對(duì)該問(wèn)題處理思緒（借鑒ODE處理方法）自變量變換簡(jiǎn)化泛定方程定解問(wèn)題解得通解初始條件第77頁(yè)77二、求解定解問(wèn)題（一維齊次波動(dòng)方程通解）

（1）作自變量變換（行波變換）.目標(biāo)：將泛定方程簡(jiǎn)化成易積分形式.設(shè)第78頁(yè)78利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有：

（上述變換由來(lái)：

由有引入變換

找兩個(gè)微分算子：

第79頁(yè)79使

為常數(shù)，

第80頁(yè)80令則

故令

第81頁(yè)81則有

這時(shí)

第82頁(yè)82為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便和對(duì)稱(chēng)，令

即

第83頁(yè)83第84頁(yè)84第85頁(yè)85第86頁(yè)86（２）求通解兩邊對(duì)

求積分得：

和

無(wú)關(guān)，是關(guān)于

函數(shù)，則有第87頁(yè)87求積分有：

其中為函數(shù)，然后再對(duì)自變量

其中，分別為

，函數(shù)，只要有兩次積分就可。

任意第88頁(yè)88故，通解為

第89頁(yè)89（３）用初始條件定特解——確定由初始條件

由

有

第90頁(yè)90第91頁(yè)91由此解得

第92頁(yè)92第93頁(yè)93故:這叫做達(dá)朗貝爾解，簡(jiǎn)稱(chēng)達(dá)氏解，所以這種方法叫做達(dá)朗貝爾解法。第94頁(yè)94三、分析解答（1）解適定性(存在性、唯一性、穩(wěn)定性)（2）解物理意義.通解物理意義：先考慮

，時(shí)

，表示弦在

時(shí)波形（位移），

第95頁(yè)95初始時(shí)刻狀態(tài)，經(jīng)過(guò)時(shí)間

后由

，波形向

正方向右進(jìn)行，故

所描述振動(dòng)規(guī)律，稱(chēng)為右行波（正行波、右傳輸波）；

向平移距離，即這種波傳輸形式是保持波形不變地以速度第96頁(yè)96表示不變地向左傳輸，稱(chēng)為左行波（逆行波、左傳輸波），故弦振動(dòng)方程通解是左右行波疊加，（即弦上任意擾動(dòng)總是向相反兩個(gè)方向傳輸下去）同理，越大,表示波傳輸速度越快。第97頁(yè)97+第98頁(yè)98表示初始位移引發(fā)波動(dòng)左右行波疊加由初始位移激發(fā)行波，時(shí)刻波形為

向左右傳輸.，以后分成幾部分以獨(dú)立速度上式第一項(xiàng)為:第99頁(yè)99表示由初始速度引發(fā)波動(dòng).設(shè)

一個(gè)原函數(shù)是

即則第100頁(yè)100左右對(duì)稱(chēng)地?cái)U(kuò)展到范圍，它表示左右行波疊加，由初始速度激發(fā)行波，在

時(shí)刻，它傳輸速度為.第101頁(yè)101例1.求解初值問(wèn)題（初始位移引發(fā)波動(dòng)）第102頁(yè)102解：由

公式：

若第103頁(yè)103四、依賴(lài)區(qū)域、影響區(qū)域、決定區(qū)域無(wú)界弦自由振動(dòng)這種特征，能夠更幾何直觀地表現(xiàn)出來(lái).定解問(wèn)題以下:第104頁(yè)104其定義域是

平面