薛定諤方程省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

大學(xué)物理學(xué)電子教案量子物理（4）19-8量子力學(xué)介紹波函數(shù)概率密度薛定諤方程一維勢阱問題對應(yīng)原理一維方勢壘隧道效應(yīng)第1頁復(fù)習(xí)德布羅意波實物粒子二象性不確定關(guān)系第2頁19-8量子力學(xué)介紹薛定諤(ErwinSchr?dinger,1887–1961)

薛定諤在德布羅意思想基礎(chǔ)上，于1926年在《量子化就是本征值問題》論文中，提出氫原子中電子所遵照波動方程(薛定諤方程)，并建立了以薛定諤方程為基礎(chǔ)波動力學(xué)和量子力學(xué)近似方法。薛定諤方程在量子力學(xué)中占有極其主要地位，它與經(jīng)典力學(xué)中牛頓運動定律價值相同。薛定諤對原子理論發(fā)展貢獻卓著，因而于1933年同英國物理學(xué)家狄拉克共獲諾貝爾物理獎金。薛定諤還是當代分子生物學(xué)奠基人，1944年，他發(fā)表一本名為《什么是生命——活細胞物理面貌》書，從能量、遺傳和信息方面來探討生命奧秘。奧地利著名理論物理學(xué)家，量子力學(xué)主要奠基人之一，同時在固體比熱、統(tǒng)計熱力學(xué)、原子光譜及鐳放射性等方面研究都有很大成就。第3頁狄拉克（PaulAdrienMauriceDirac，1902-1984）

英國理論物理學(xué)家。1925年，他作為一名碩士便提出了非對易代數(shù)理論，而成為量子力學(xué)創(chuàng)建者之一。第二年提出全同粒子費米-狄拉克統(tǒng)計方法。1928年提出了電子相對論性運動方程，奠定了相對論性量子力學(xué)基礎(chǔ)，并由此預(yù)言了正負電子偶湮沒與產(chǎn)生，造成認可反物質(zhì)存在，使人們對物質(zhì)世界認識愈加深入。他還有許多創(chuàng)見（如磁單極子等）都是當代物理學(xué)中基本問題。因為他對量子力學(xué)所作貢獻，他與薛定諤共同取得1933年諾貝爾物理學(xué)獎金。第4頁一、波函數(shù)概率密度1、平面簡諧波波函數(shù)一個頻率為n，波長為l、沿x方向傳輸單色平面波波函數(shù)為復(fù)數(shù)形式2、自由粒子波函數(shù)一個自由粒子有動能E和動量p。對應(yīng)德布羅意波含有頻率和波長：波函數(shù)能夠?qū)懗烧穹?頁3、波函數(shù)統(tǒng)計解釋某一時刻出現(xiàn)在某點附近體積元dV中粒子概率，與波函數(shù)模平方成正比。概率密度波函數(shù)Ψ(x,y,z,t)統(tǒng)計解釋(哥本哈根解釋)：波函數(shù)模平方代表某時刻t在空間某點(x,y,z)附近單位體積內(nèi)發(fā)覺粒子概率，即|Ψ|2代表概率密度。波函數(shù)統(tǒng)計意義是波恩于1926年提出。因為波恩在量子力學(xué)所作基礎(chǔ)研究，尤其是波函數(shù)統(tǒng)計解釋，他與博特共享了1954年諾貝爾物理學(xué)獎。第6頁*玻恩對波函數(shù)統(tǒng)計詮釋—哥本哈根學(xué)派(以玻爾和海森伯為首)觀點玻恩假定描述粒子在空間概率分布“概率振幅”概率密度第7頁例題2：光子自由平面波波函數(shù)在空間各點發(fā)覺光子概率相同第8頁用電子雙縫衍射試驗說明概率波含義(1)入射強電子流干涉花樣取決于概率分布，而概率分布是確定。第9頁(2)入射弱電子流電子干涉不是電子之間相互作用引發(fā)，是電子自己和自己干涉結(jié)果。第10頁單個粒子在哪一處出現(xiàn)是偶然事件；大量粒子分布有確定統(tǒng)計規(guī)律.電子數(shù)N=7電子數(shù)N=100電子數(shù)N=3000出現(xiàn)概率小出現(xiàn)概率大電子雙縫干涉圖樣電子數(shù)N=0電子數(shù)N=70000第11頁波函數(shù)統(tǒng)計詮釋包括對世界本質(zhì)認識觀念哥本哈根學(xué)派--愛因斯坦著名論戰(zhàn)量子力學(xué)背后隱藏著還沒有被揭示更基本規(guī)律，這個規(guī)律對量子力學(xué)有新解釋。上帝不會擲骰子波函數(shù)概率解釋是自然界終極實質(zhì)玻爾、波恩、海森伯、費曼等還有狄拉克、德布羅意等第12頁4、波函數(shù)滿足條件標準條件：波函數(shù)應(yīng)該是單值、有限、連續(xù)函數(shù)。歸一化條件：在任何時刻，某粒子必定出現(xiàn)在整個空間內(nèi)，它不是在這里就是在那里，所以總概率為1，即對波函數(shù)這個要求，稱為波函數(shù)歸一化條件。歸一化條件要求波函數(shù)平方可積。歸一化因子：若某波函數(shù)ΨA未歸一化歸一化因子第13頁例：作一維運動粒子被束縛在0<x<a范圍內(nèi)，已知其波函數(shù)為求：(1)常數(shù)A；(2)粒子在0到a/2區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)概率；(3)粒子在何處出現(xiàn)概率最大？解：(1)由歸一化條件解得(2)粒子概率密度為粒子在0到a/2區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)概率(3)概率最大位置應(yīng)該滿足即當時，粒子出現(xiàn)概率最大。因為0<x<a，故得x=a/2，此處粒子出現(xiàn)概率最大。第14頁二、薛定諤方程1、問題引入在量子力學(xué)中，微觀粒子運動狀態(tài)由波函數(shù)來描寫，狀態(tài)隨時間改變遵照著一定規(guī)律。1926年，薛定諤在德布羅意關(guān)系和態(tài)疊加原理基礎(chǔ)上，提出了薛定諤方程做為量子力學(xué)又一個基本假設(shè)來描述微觀粒子運動規(guī)律。建立薛定諤方程主要依據(jù)和思緒：要研究微觀客體含有波粒二象性，應(yīng)該滿足德布羅意關(guān)系式對于一個能量為E，質(zhì)量為m，動量為p粒子若Ψ1是方程解，則CΨ1也是它解；若波函數(shù)Ψ1與Ψ2是某粒子可能態(tài)，則C1Ψ1+C2Ψ2也是該粒子可能態(tài)。波函數(shù)應(yīng)遵從線性方程第15頁2、自由粒子薛定諤方程分別對時間求一階偏導(dǎo)數(shù)，對空間求二階偏導(dǎo)數(shù)考慮到E=p2/2m把波函數(shù)與方程E=p2/2m相乘，并用代替即可。第16頁3、勢場中運動粒子薛定諤方程當粒子在勢場中運動4、粒子在三維空間中薛定諤方程哈密頓算符第17頁5、關(guān)于薛定諤方程說明薛定鄂方程是量子力學(xué)最基本方程，是量子力學(xué)一個基本原理；薛定鄂方程解滿足波函數(shù)性質(zhì)；因而在求解薛定鄂方程時，還要加上一些條件：波函數(shù)平方可積，且滿足歸一化條件；波函數(shù)及其對空間一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)；波函數(shù)為單值函數(shù)。第18頁6、定態(tài)薛定鄂方程若粒子在勢場中勢能只是坐標函數(shù)，與時間無關(guān)，即Ep=Ep(r)不顯含時間，則薛定鄂方程一個特解能夠?qū)憺榉匠套筮呏慌c時間相關(guān)，而右邊是空間坐標函數(shù)。因為空間坐標與時間是相互獨立變量，所以只有當兩邊都等于同一個常量時，該等式才成立，以E表示該常量，則第19頁因而薛定鄂方程特解為ΨE(r)滿足以下方程該方程稱為定態(tài)薛定鄂方程E——能量本征值ΨE(r)——本征函數(shù)定態(tài)薛定鄂方程也稱為本征方程。滿足定態(tài)薛定鄂方程波函數(shù)，稱為定態(tài)。在定態(tài)下，能夠證實：①粒子分布概率不變；②能量不變；③其它力學(xué)量平均值不變。第20頁三、一維勢阱問題以一維定態(tài)為例，求解已知勢場定態(tài)薛定諤方程。了解怎樣確定定態(tài)能量E，從而看出能量量子化是薛定諤方程自然結(jié)果。已知粒子所處勢場為：粒子在勢阱內(nèi)受力為零，勢能為零。在阱外勢能為無窮大，在阱壁上受極大斥力。稱為一維無限深方勢阱。其定態(tài)薛定諤方程：x=0x=axEP(x)第21頁令1、解方程A,B是積分常數(shù)，可由邊界條件確定。x=0時，Ψ=0可得B=0，所以Ψ(x)=Asinkxx=a時，Ψ=0可得Ψ(a)=Asinka

因為A≠0，所以有sinka=0第22頁2、能量(1)粒子能量只能取分立值，這表明能量含有量子化性質(zhì)。(2)n叫做主量子數(shù)，每一個可能能量稱為一個能級，n=1稱為基態(tài)，粒子處于最低狀態(tài)，E1=h2/(8ma2)，稱為零點能；3、波函數(shù)表示式歸一化條件xOaE第23頁粒子在各處出現(xiàn)概率密度一維無限深方勢阱中粒子能級、波函數(shù)和概率密度討論：量子數(shù)n對運動結(jié)果影響勢阱寬度a對運動結(jié)果影響粒子質(zhì)量m對運動結(jié)果影響n=4n=3n=2n=1第24頁四、對應(yīng)原理在一些極限情況下，量子力學(xué)規(guī)律能夠轉(zhuǎn)化為經(jīng)典力學(xué)規(guī)律，這就是量子力學(xué)對應(yīng)原理。1、能級差對于微觀粒子，a小，所以ΔE大，量子效應(yīng)顯著。若在普通宏觀尺度范圍內(nèi)，能級之間間隔很小，能量量子化就不顯著。即使n值較大，相鄰能級之間間隔依然是很小，這時能夠把能量看成是連續(xù)分布。2、能級相對間隔當n→∞時，能量量子化效應(yīng)不顯著，能夠認為能量是連續(xù)分布。所以經(jīng)典物理能夠看成是量子物理中量子數(shù)n→∞時近似。第25頁五、一維方勢壘隧道效應(yīng)在經(jīng)典力學(xué)中,若E<EP0，粒子動能為正，它只能在I區(qū)中運動。OIIIIII第26頁令：三個區(qū)間薛定諤方程化為：第27頁若考慮粒子是從I區(qū)入射，在I區(qū)中有入射波和反射波；粒子從I區(qū)經(jīng)過II區(qū)穿過勢壘到III區(qū)，在III區(qū)只有透射波。粒子在x=0處幾率要大于在x=a處出現(xiàn)幾率。其解為：依據(jù)邊界條件第28頁解結(jié)果如圖所表示定義粒子穿過勢壘貫通系數(shù)：隧道效應(yīng)當E-EP0=5eV時，勢壘寬度約50nm以上時，貫通系數(shù)會小六個數(shù)量級以上。隧