第二講隨機變量的定義及分布

第二講隨機變量的定義及分布第1頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月本章學習的目標：復習概率與隨機變量的理論加深隨機變量函數(shù)的理論（重點）深化一些重要概念的理解加深多維正態(tài)隨機變量的理論增加Matlab的統(tǒng)計分析函數(shù)(自主學習）第2頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1概率的基本術語

隨機試驗(RandomExperiment):滿足下列三個條件的試驗稱為隨機試驗：(1)在相同條件下可重復進行；(2)試驗的結果不止一個，所有可能的結果能事先明確；(3)每次試驗前不能確定會出現(xiàn)哪一個結果。例：投擲硬幣(Tossacoin)Theoutcomevariesinanunpredictablefashionwhentheexperimentisrepeatedunderthesameconditions.第3頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機事件(RandomEvent):在隨機試驗中，對試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)、而在大量重復試驗中卻具有某種規(guī)律性的事情，稱為隨機事件，簡稱為事件。如投擲硬幣出現(xiàn)正面就是一個隨機事件。第4頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月基本事件(ElementaryEvent):隨機試驗中最簡單的隨機事件稱為基本事件，如投擲骰子出現(xiàn)1、2、.....、6點是基本事件，出現(xiàn)偶數(shù)點是隨機事件，但不是基本事件。(簡單事件SimpleEvent)第5頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月樣本空間(SampleSpace)隨機試驗的所有基本事件組成的集合稱為樣本空間.Tossacoin：S={Head,Tail}={H,T}Tossadie:S={1,2,3,4,5,6}第6頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月關于樣本空間的注釋：離散的樣本空間Tossadie:S={1,2,3,4,5,6}連續(xù)的樣本空間由多次子試驗構成的樣本空間－－看下例第7頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月IFwetossacointhreetimesandletthetripletxyzdenotetheoutcome“xonthefirsttoss,yonthesecondtoss,zonthethirdtoss”,thenthesamplespaceoftheexperimentisS={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}Theevent“oneheadandtwotails”isdefinedbyE={HTT,THT,TTH}第8頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月關于樣本空間的注釋：離散的樣本空間Tossadie:S={1,2,3,4,5,6}連續(xù)的樣本空間由多次子試驗構成的樣本空間可數(shù)無窮的樣本空間S=S1S1…={HH…,HT…,TH…,TT…,…}S1={H,T}第9頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月頻率和概率(FrequencyandProbability):n次重復試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA：-

事件A的頻數(shù)比值nA/n:-

事件A發(fā)生的頻率概率頻率反映了事件A發(fā)生的頻繁程度，若事件A發(fā)生的可能性大，那么相應的頻率也大，反之則較小。第10頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2隨機變量的定義(Definitionofarandomvariable)設隨機試驗E的樣本空間為S={e}，如果對于每一個eS，有一個實數(shù)X(e)與之對應，這樣就得到一個定義在S上的單值函數(shù)X(e)，稱X(e)為隨機變量，簡記為X。隨機變量是定義在樣本空間S上的單值函數(shù)1.定義第11頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Interpretationofrandomvariable:S●●eReallineRandomvariableisafunctionthatassignsanumericalvaluetotheoutcomeoftheexperiment.第12頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月AcointossS●●e1Realline1●0●e2Mappingoftheoutcomeofacointossintothesetofrealnumber第13頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Adiscreterandomvariableisarandomvariablethatcanbetakeonatmostacountablenumberofpossiblevalues根據(jù)隨機變量取值的不同可以分為：連續(xù)型隨機變量(Continuousrandomvariable)離散型隨機變量(Discreterandomvariable)第14頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月2.概率分布列Xx1x2...xnpkp1p2...pnProbabilitymassfunction(PMF)第15頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)(0,1)分布

隨機變量的可能取值為0和1兩個值，其概率分布為PMF:01第16頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月BernoullirandomvariableLetAbeaneventofinterestinsomeexperiment,e.g.,adeviceisnotdefective.Wesaythata“success”occursifAoccurswhenweperformtheexperiment.BernoullirandomvariableIAisequalto1ifAoccursandzerootherwise.第17頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)Binomial獨立地進行n次貝努利試驗，事件A發(fā)生m次的概率剛好是展開的第m+1項的系數(shù)例：雷達雙門限檢測器第18頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Example:

Transmissionerrorinabinarycommunicationschannel.LetXbethenumberoferrorsinnindependenttransmissions.FindthePMFofX.Findtheprobabilityofoneorfewererrors0101

1-1-第19頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Theprobabilityofkerrorsinnbitstransmissionsisgivenbytheprobabilityofanerrorpatternthatk1’sandn-k0’sXisabinomialrandomvariable第20頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月例：信息傳輸問題（MessageTransmissions）LetXbethenumberoftimesneedstobetransmitteduntilitarriverscorrectlyatitsdestination.FindtheprobabilitythatXisanaevennumber.XisadiscreterandomvariabletakingonvaluesfromS={1,2,3,….}(3)geometricrandomvariable第21頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Theevent{X=k}occursifk-1consecutiveerroneoustransmissions(failures)followedbyaerror-freeone(success)Xiscalledthegeometricrandomvariable第22頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月泊松分布(Poissondistribution)例：交通路口在單位時間內(nèi)通過的車輛數(shù)第23頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3分布函數(shù)和概率密度函數(shù)ProbabilityDensityFunction,（PDF）

DistributionFunctionorCumulativeDistributionFunction,(CDF)1.定義第24頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月右連續(xù)2.分布函數(shù)的性質(zhì)（PropertiesoftheCDF）第25頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月分布函數(shù)是右連續(xù)的不減函數(shù)，在負無窮處為零，正無窮處為1。對于連續(xù)型隨機變量，取某一特定值的概率是為零的。即P{X=x}=0第26頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月對于離散型隨機變量，分布函數(shù)為階梯函數(shù)，階梯的跳變點出現(xiàn)在隨機變量的取值點上，跳變的高度為隨機變量取該值的概率。第27頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月對于離散型隨機變量，PMF與CDF的關系為○第28頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月概率密度隨機變量落入(x1,x2)的概率

第29頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月對于離散型隨機變量，它的概率密度函數(shù)是一串

函數(shù)之和，

函數(shù)出現(xiàn)在隨機變量的取值點，強度為取該值的概率。第30頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月3.常見概率分布正態(tài)分布（Normal），也稱高斯（Gauss）分布-4-3-2-10123400.10.20.30.40.50.60.70.8N(0,1)正態(tài)分布概率密度標準正態(tài)分布函數(shù)第32頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月瑞利分布（Rayleigh）瑞利分布概率密度＝2

02468101200.050.10.150.20.250.30.350.4第33頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月指數(shù)（Exponential）分布指數(shù)分布概率密度0123456700.511.5第34頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月對數(shù)正態(tài)分布（LogNormal）高分辨率雷達雜波分布01234567891000.10.20.30.40.5對數(shù)正態(tài)分布概率密度為尺度參數(shù)為形狀參數(shù)第35頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月1.4多維隨機變量及其分布MultipleRandomVariablesandDistributions1.定義S●●e第36頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月2.二維分布函數(shù)和概率密度BivariateCDFandPDF二維分布函數(shù)圖解定義：第37頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月二維分布函數(shù)性質(zhì)：邊緣（Marginal）分布由二維分布函數(shù)可以求出一維分布函數(shù)第38頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月二維概率密度：由二維概率密度可以求出邊緣概率密度第39頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機變量落在某個區(qū)域的概率第40頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月3.條件分布(ConditionalDistribution)條件分布函數(shù)條件概率密度稱隨機變量X、Y獨立第41頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Example:CommunicationChannelwithDiscreteInputandContinuousOutputnoisevoltageN~U(-2,2)通信信道X:+1or-1FindP{X=+1,Y≤0}Y第42頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Solution:1/2WhentheinputX=1,theoutputYisuniformlydistributedintheintervalTherefore第43頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月1.5隨機變量的數(shù)字特征均值方差協(xié)方差與相關系數(shù)協(xié)方差矩陣舉例第44頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月1.均值（Mean)算術平均：所有可能取值等概率加權統(tǒng)計平均值：所有可能取值按概率加權連續(xù)型隨機變量：離散型隨機變量：第45頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)：如果X和Y相互獨立，如果E[XY]=0，則稱X和Y正交(Orthogonal)。第46頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月2.方差(Variance)方差反映了隨機變量X的取值偏離其均值的偏離程度或分散程度，D(X)越大，則X的取值越分散。第47頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)：如果X1,X2,...,Xn相互獨立。第48頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Varianceisanonlinearoperator第49頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月3.協(xié)方差和相關系數(shù)(CovarianceandCorrelationcoefficient)如果X和Y相互獨立，則rXY=0，|rXY|=1的充要條件是P{Y=aX+b}=1第50頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月wedefineXandYtobeuncorrelatedIf,IfXandYareindependent,thenXandYareuncorrelated.XandYareindependentXandYareuncorrelatedTrueFalse第51頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月ThecorrelationcoefficientprovidesameasureofhowgoodapredictionofthevalueofoneofthetwoRVscanbeformedbasedonanobservedvalueoftheother.1indicatesahighdegreeoflinearbetweenXandY+1meansb>0and-1meansb<0第52頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Independent:UncorrelatedOrthogonal:第53頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月不相關就認為X與Y沒有關系嗎？例：為零均值正態(tài)隨機變量，Y與X相關嗎？Y是依賴于X的(Dependence)，但Y與X不相關(Uncorrelated),線性不相關的。第54頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Independentimplieszerocovariancebutzerocovariancedoesnotimplyindependence.Example:UncorrelatedbutdependentrandomvariablesLetbeuniformlydistributedintheinterval(0,2)。LetXandYareuncorrelatedbutdependent第55頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月注意英文單詞的區(qū)別:Correlation(Uncorrelated)Dependent（Independent)Itcanbeshownthat第56頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月4.協(xié)方差矩陣（CovarianceMatrix）多維隨機變量通常用協(xié)方差矩陣來描述隨機變量之間的相互關系。第57頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月協(xié)方差矩陣是對稱（共軛對稱）的；如果變量之間是不相關的，則K是一個對角陣。第58頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月例1:(0,1)分布隨機變量，P{X=1}=p,P{X=0}=q=1-p,求X的均值和方差5.ExpectedvalueofsomeimportantrandomvariableE[X]=1·P{X=1}+0·P{X=0}=pE[X2]=12·P{X=1}+02·P{X=0}=pD(X)=E(X2)-(E[X])2=p-p2=pq解:第59頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月例2(a,b)上均勻分布的隨機變量，求均值和方差

第60頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月例3求瑞利分布隨機變量的均值和方差。第61頁，課件共6