知識講解-全稱量詞與存在量詞-基礎(chǔ)

全稱量詞與存在量詞【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解全稱量詞、存在量詞和全稱命題、特稱命題的概念；2．能準(zhǔn)確地使用全稱量詞和存在量詞符號“”“

”來表述相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容；3．掌握判斷全稱命題和特稱命題的真假的基本原則和方法；4.能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定.【要點梳理】要點一、全稱量詞與全稱命題全稱量詞全稱量詞：在指定范圍內(nèi)，表示整體或者全部的含義的量詞稱為全稱量詞.常見全稱量詞：“所有的”、“任意一個”、“每一個”、“一切”、“任給”等.通常用符號“”表示，讀作“對任意”.全稱命題全稱命題：含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題.一般形式：“對中任意一個，有成立”，記作：，（其中為給定的集合，是關(guān)于的語句）.要點詮釋：有些全稱命題在文字?jǐn)⑹錾峡赡軙÷粤巳Q量詞，例如：（1）“末位是0的整數(shù)，可以被5整除”；（2）“線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”；（3）“負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)”；都是全稱命題.要點二、存在量詞與特稱命題存在量詞定義：表示個別或一部分的含義的量詞稱為存在量詞.常見存在量詞：“有一個”，“存在一個”,“至少有一個”，“有的”,“有些”等.通常用符號“

”表示，讀作“存在

”.特稱命題特稱命題：含有存在量詞的命題，叫做特稱命題.一般形式：“存在中一個元素，有成立”，記作：，（其中為給定的集合，是關(guān)于的語句）.要點詮釋：（1）一個特稱命題中也可以包含多個變量，例如：存在使.（2）有些特稱命題也可能省略了存在量詞.（3）同一個全稱命題或特稱命題，可以有不同的表述要點三、含有量詞的命題的否定對含有一個量詞的全稱命題的否定全稱命題：，的否定：，；從一般形式來看，全稱命題“對M中任意一個x，有p（x）成立”，它的否定并不是簡單地對結(jié)論部分p(x)進(jìn)行否定，還需對全稱量詞進(jìn)行否定，使之成為存在量詞，也即“任意”的否定為“，”.對含有一個量詞的特稱命題的否定

特稱命題：，的否定：，；從一般形式來看，特稱命題“，”，它的否定并不是簡單地對結(jié)論部分進(jìn)行否定，還需對存在量詞進(jìn)行否定，使之成為全稱量詞，也即“，”的否定為“，”.要點詮釋：(1)全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題；(2)命題的否定與命題的否命題是不同的.

（3）正面詞：等于

、大于

、小于、

是、

都是、

至少一個

、至多一個、

小于等于

否定詞：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、

一個也沒有、

至少兩個

、

大于等于.要點四、全稱命題和特稱命題的真假判斷①要判定全稱命題“，”是真命題，必須對集合M中的每一個元素x，證明成立；要判定全稱命題“，”是假命題，只需在集合M中找到一個元素x0，使得不成立，即舉一反例即可.②要判定特稱命題“，”是真命題，只需在集合M中找到一個元素x0，使得成立即可；要判定特稱命題“，”是假命題，必須證明在集合M中，使成立得元素不存在. 【典型例題】類型一：量詞與全稱命題、特稱命題【高清課堂：全稱量詞與存在量詞395491例1】例1.判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題.（1）xR，x2+1≥1；（2）所有素數(shù)都是奇數(shù)；（3）存在兩個相交平面垂直于同一條直線；（4）有些整數(shù)只有兩個正因數(shù).【解析】（1）有全稱量詞“任意”，是全稱命題；（2）有全稱量詞“所有”，是全稱命題；（3）有存在量詞“存在”，是特稱命題；（4）有存在量詞“有些”；是特稱命題?！究偨Y(jié)升華】通過量詞來確定命題是全稱命題還是特稱命題.判斷一個命題是否含有全稱量詞和存在量詞，關(guān)鍵是看命題中是否有“所有”，“任意”，“任何”，“存在”，“有的”，“至少有”等詞語，或隱含有這些詞語的意思.舉一反三：【變式】下列命題中全稱命題的個數(shù)為()①平行四邊形的對角線互相平分②梯形有兩邊平行③存在一個菱形，它的四條邊不相等A．0 B．1C．2 D．3【答案】C【解析】①②是全稱命題，③是特稱命題．類型二：判斷全稱命題、特稱命題的真假例2.判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并判斷其真假.（1）對數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；（2）至少有一個整數(shù)，它既能被2整除，又能被5整除；（3），是無理數(shù)；（4），.【解析】（1）全稱命題，真命題.（2）特稱命題，真命題.（3）全稱命題，假命題，例如，但是有理數(shù).（4）特稱命題，真命題.【總結(jié)升華】（1）要判斷一個全稱命題是真命題，必須對限定的集合M中的每一個元素，驗證成立；要判斷全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個，使不成立即可；（2）要判斷一個特稱命題的真假，依據(jù)：只要在限定集合M中，至少能找到一個，使成立，則這個特稱命題就是真命題，否則就是假命題.舉一反三：【變式1】下列全稱命題中真命題的個數(shù)為（）①末位是0的整數(shù)，可以被2整除；②角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；③正四面體中相鄰兩側(cè)面的夾角相等.A．1B．2C．3D．0【答案】C【高清課堂：全稱量詞與存在量詞395491例2】【變式2】判斷下列命題的真假.（1）p：xR，；（2）p：xN，.【答案】（1）命題為真；（2）命題為假；類型三：含有一個量詞的全稱命題與特稱命題的否定例3.寫出下列命題的否定并判斷真假（1）p：所有末位數(shù)字是0或5的整數(shù)都能被5整除；（2）p：每一個非負(fù)數(shù)的平方都是正數(shù)；（3）p：存在一個三角形，它的內(nèi)角和大于；（4）p：有的四邊形沒有外接圓；（5）p：某些梯形的對角線互相平分.【解析】（1）存在未位數(shù)字是0或5的整數(shù)但它不能被5整除，假命題；（2）存在一個非負(fù)數(shù)的平方它不是正數(shù)，真命題；（3）任何一個三角形它的內(nèi)角和都不大于180°，真命題；（4）所有的四邊形都有外接圓，假命題；（5）任一梯形的對角線都不互相平分，真命題【總結(jié)升華】命題的否定要與否命題區(qū)別開來，全稱命題的否定是特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題.舉一反三：【變式1】(2015浙江)命題“且的否定形式是（）A.且B.或C.且D.或【答案】D.【解析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，可知選D.【變式2】（2016浙江理）命題“，使得”的否定形式是A．，使得B．，使得C．，使得D．，使得【答案】D【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故選D．【變式3】寫出下列命題的否定，并判斷真假.（1）；（2）所有的正方形都是矩形；（3）；（4）至少有一個實數(shù)x0，使得.【答案】（1）：（假命題）；（2）：至少存在一個正方形不是矩形（真命題）；（3）：（真命題）；（4）：（真命題）.類型四：含有量詞的命題的應(yīng)用例4．已知，，若是的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.【解析】q:x2-2x+1-m2≤0[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0又∵m>0∴不等式的解為1-m≤x≤1+m∵是的必要而不充分條件”的等價命題即逆否命題為“p是q的充分不必要條件”∴不等式的解集是x2-2x+1-m2≤0(m>0)的解集的子集.∴實數(shù)m的取值范圍是【總結(jié)升華】本題以含絕對值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對象，同時考查了充分必要條件及四種命題中等價命題的應(yīng)用，強調(diào)了知識點的靈活性，使用的技巧與方法是利用等價命題先進(jìn)行命題的等價轉(zhuǎn)化，搞清晰命題中條件與結(jié)論的關(guān)系，再去解不等式，找解集間的包含關(guān)系，進(jìn)而使問題解決.舉一反三：【變式1】已知p：x≠2或y≠3；q：x+y≠5，判斷p是q的什么條件.【答案】；q∴p是q的必要不充分條件.【變式2】(2015山東)若“，”是真命題，則實數(shù)m的最小值為?！敬鸢浮?【解析】若“，”是真命題則，其中函數(shù)的最大值為1即的最小值為1，所以答案應(yīng)填1.【變式3】（2016江蘇模擬）若函數(shù)，g（x）=a（x－a+3）同時滿足以下兩條件：①，f（x）＜0或g（x）＜0；②，f（x）g（x）＜0。則實數(shù)a的取值范圍為________。【答案】∵已知函數(shù)，g（x）=a（x－a+3），根據(jù)①，f（x）＜0，或g（x）＜0，即函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）不能同時取非負(fù)值，由f（x）≥0，求得x≤－1，即當(dāng)x≤－1時，g（x）＜0恒成立，故，解得：a＞2；根據(jù)②，使f（x）·g（x）＜0成立，∴g（1）=a（1－a+3）＞0，解得：0＜a＜4，綜上可得：a∈（2，4），故答案為：（2，4）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1．將“x2＋y2≥2xy”改寫成全稱命題，下列說法正確的是()A．任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xyB．存在x，y∈R，都有x2＋y2≥2xyC．任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xyD．存在x＜0，y＜0，都有x2＋y2≤2xy2．下列特稱命題中真命題的個數(shù)是()①?x∈R，x≤0②至少有一個整數(shù)，它既不是合數(shù)，也不是素數(shù)③?x∈{x|x是整數(shù)}，x2是整數(shù)A．0 B．1C．2 D．33．（2015河南模擬）已知函數(shù)，，則下列命題為真命題的是()A．都有B．都有C．使得D．使得4．（2016衡水校級模擬）命題“對任意x∈R都有x2≥1”的否定是（）A．對任意x∈R，都有x2＜1B．不存在x∈R，使得x2＜1C．存在x0∈R，使得x02≥1D．存在x0∈R，使得x02＜15．(2015河南)設(shè)命題,則為A．B．，C．D．，6．下列命題中，是真命題且是全稱命題的是()A．對任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的兩條對角線相等C．?x，D．對數(shù)函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)二、填空題7．命題“末位是0的整數(shù)，可以被5整除”________全稱命題．(填“是”或“不是”)8．命題“存在實數(shù)x，y，使得x＋y>1”，用符號表示為________；此命題的否定是________(用符號表示)，是________(填“真”或“假”)命題．9．下列命題中真命題為________，假命題為________．①末位是0的整數(shù)，可以被2整除②角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等③正四面體中兩側(cè)面的夾角相等④有的實數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)⑤有些三角形不是等腰三角形⑥所有的菱形都是正方形10．（2016湛江二模）若（a＞0且a≠1），則實數(shù)a的取值范圍是________。三、解答題11．寫出下列命題的否定．(1)所有自然數(shù)的平方是正數(shù)；(2)任何實數(shù)x都是方程5x－12＝0的根；(3)對任意實數(shù)x，存在實數(shù)y，使x＋y>0；(4)有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)．12．判斷命題的真假，并寫出命題的否定．(1)存在一個三角形，它的內(nèi)角和大于180°.(2)所有圓都有內(nèi)接四邊形．13．寫出下列命題的否定：(1)若2x>4，則x>2；(2)若m≥0，則x2＋x－m＝0有實數(shù)根；(3)可以被5整除的整數(shù)，末位是0；(4)被8整除的數(shù)能被4整除；(5)若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等．14.命題“存在x∈R,2x2－3ax＋9＜0”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．15.設(shè)有兩個命題：p：不等式|x|+|x－1|≥m的解集為R；q：函數(shù)是減函數(shù).若這兩個命題中有且只有一個真命題，求實數(shù)m的范圍.【答案與解析】1.【答案】A【解析】全稱命題是任意x，y∈R，x2＋y2≥2xy都成立，故選A.2.【答案】D【解析】①②③都是真命題．3.【答案】B【解析】函數(shù)顯然都有f(x)>g(x),故選：B.4.【答案】D．【解析】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“對任意x∈R都有x2≥1”的否定是：存在x0∈R，使得x02＜1。故選D。5.【答案】C【解析】∵命題的否定，∴為：，n2≤2n，故選C6.【答案】D【解析】A中含有全稱量詞“任意的”，因為a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0；故是假命題．B、D在敘述上沒有全稱量詞，但實際上是指“所有的”，菱形的對角線不一定相等，所以B是假命題，C是特稱命題，故選D.7.【答案】是【解析】所有末位為0的整數(shù)都可以被5整除．8