2024屆山東省泰安市南關(guān)中學(xué)數(shù)學(xué)九上期末考試試題含解析

2024屆山東省泰安市南關(guān)中學(xué)數(shù)學(xué)九上期末考試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，⊙是的外接圓，已知平分交⊙于點，交于點，若，，則的長為（）A． B． C． D．2．如圖，一圓弧過方格的格點A、B、C，在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點A的坐標(biāo)為（﹣3，2），則該圓弧所在圓心坐標(biāo)是（）A．（0，0） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（0，﹣1）3．小蘇和小林在如圖所示①的跑道上進(jìn)行米折返跑．在整個過程中，跑步者距起跑線的距離單位：與跑步時間單位：的對應(yīng)關(guān)系如圖所示②．下列敘述正確的是（）A．兩人從起跑線同時出發(fā)，同時到達(dá)終點；B．小蘇跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度；C．小蘇前15s跑過的路程大于小林前15s跑過的路程；D．小林在跑最后100m的過程中，與小蘇相遇2次；4．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，點E在邊CD的延長線上，若∠ABC＝110°，則∠ADE的度數(shù)為（）A．55° B．70° C．90° D．110°5．反比例函數(shù)與在同一坐標(biāo)系的圖象可能為（）A． B． C． D．6．從一副完整的撲克牌中任意抽取1張，下列事件與抽到“”的概率相同的是（）A．抽到“大王” B．抽到“2” C．抽到“小王” D．抽到“紅桃”7．下列對拋物線y=-2(x-1)2+3性質(zhì)的描寫中，正確的是(

)A．開口向上 B．對稱軸是直線x=1 C．頂點坐標(biāo)是(-1，3) D．函數(shù)y有最小值8．一個不透明的布袋里裝有5個只有顏色不同的球，其中2個紅球，3個白球，從布袋中隨機摸出一個球，摸出紅球的概率是()A． B． C． D．9．如圖，在半徑為的中，弦與交于點，，，則的長是（）A． B． C． D．10．若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則下列各點在該函數(shù)圖像上的為（）A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．計算：=________．12．如圖，已知中，，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，點、分別為、的中點，若點剛好落在邊上，則______.13．如圖，的直徑垂直弦于點，且，，則弦__________．14．某種商品每件進(jìn)價為20元，調(diào)查表明：在某段時間內(nèi)若以每件x元（20≤x≤30，且x為整數(shù)）出售，可賣出（30﹣x）件．若使利潤最大，每件的售價應(yīng)為______元．15．若二次函數(shù)的對稱軸為直線，則關(guān)于的方程的解為______．16．在△ABC中，已知（sinA-）2+│tanB-│=1．那么∠C=_________度．17．如圖，正方形ABCO與正方形ADEF的頂點B、E在反比例函數(shù)的圖象上，點A、C、D在坐標(biāo)軸上，則點E的坐標(biāo)是_____.18．已知⊙半徑為，點在⊙上，，則線段的最大值為_____．三、解答題(共66分)19．（10分）解方程：（1）（x2）（x3）12（2）3y212y20．（6分）如圖，，D、E分別是半徑OA和OB的中點，求證：CD＝CE．21．（6分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點，交軸于點，，點的坐標(biāo)是．（1）如圖1，求直線的解析式；（2）如圖2，點在第一象限內(nèi)，連接，過點作交延長線于點，且，過點作軸于點，連接，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，的而積為S，求S與的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點作軸，連接、，若，時，求的值．22．（8分）為了響應(yīng)政府提出的由中國制造向中國創(chuàng)造轉(zhuǎn)型的號召，某公司自主設(shè)計了一款成本為40元的可控溫杯，并投放市場進(jìn)行試銷售，經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)該產(chǎn)品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系：y=﹣10x+1．（1）求出利潤S（元）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系式（利潤=銷售額﹣成本）；（2）當(dāng)銷售單價定為多少時，該公司每天獲取的利潤最大？最大利潤是多少元？23．（8分）如圖（1），某數(shù)學(xué)活動小組經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點P,此時PA·PB=PC·PD（1）如圖（2），若AB與CD相交于圓外一點P,上面的結(jié)論是否成立？請說明理由．（2）如圖（3）,將PD繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)至與⊙O相切于點C,直接寫出PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖（3），直接利用（2）的結(jié)論，求當(dāng)PC=,PA=1時,陰影部分的面積．24．（8分）如圖，在ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，且AE·AB＝AD·AC，連接DE，BD.（1）求證：ADE~ABC.（2）若點E為AB為中點，AD：AE＝6：5，ABC的面積為50，求BCD面積.25．（10分）根據(jù)2019年莆田市初中畢業(yè)升學(xué)體育考試內(nèi)容要求，甲、乙、丙在某節(jié)體育課他們各自隨機分別到籃球場A處進(jìn)行籃球運球繞桿往返訓(xùn)練或到足球場B處進(jìn)行足球運球繞桿訓(xùn)練，三名學(xué)生隨機選擇其中的一場地進(jìn)行訓(xùn)練．（1）用列表法或樹形圖表示出的所用可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）求甲、乙、丙三名學(xué)生在同一場地進(jìn)行訓(xùn)練的概率；（3）求甲、乙、丙三名學(xué)生中至少有兩人在B處場地進(jìn)行訓(xùn)練的概率．26．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙C與y軸相切，且C點坐標(biāo)為（1，0），直線過點A（—1，0），與⊙C相切于點D，求直線的解析式．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【分析】先根據(jù)角平分線的定義、圓周角定理可得，再根據(jù)相似三角形的判定定理得出，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【題目詳解】平分弧BD與弧CD相等又，即解得故選：A．【題目點撥】本題考查了角平分線的定義、圓周角定理、相似三角形的判定定理與性質(zhì)，利用圓周角定理找到兩個相似三角形是解題關(guān)鍵．2、C【解題分析】如圖：分別作AC與AB的垂直平分線，相交于點O，則點O即是該圓弧所在圓的圓心．∵點A的坐標(biāo)為（﹣3，2），∴點O的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1）．故選C．3、D【分析】依據(jù)函數(shù)圖象中跑步者距起跑線的距離y（單位：m）與跑步時間t（單位：s）的對應(yīng)關(guān)系，即可得到正確結(jié)論．【題目詳解】解：由函數(shù)圖象可知：兩人從起跑線同時出發(fā)，先后到達(dá)終點，小林先到達(dá)終點，故A錯誤；根據(jù)圖象兩人從起跑線同時出發(fā)，小林先到達(dá)終點，小蘇后到達(dá)終點，小蘇用的時間多，而路程相同，所以小蘇跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B錯誤；小蘇前15s跑過的路程小于小林前15s跑過的路程，故C錯誤；小林在跑最后100m的過程中，兩人相遇時，即實線與虛線相交的地方，由圖象可知2次，故D正確；

故選：D．【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)圖象的讀圖能力，要能根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)和圖象上的數(shù)據(jù)分析得出函數(shù)的類型和所需要的條件，結(jié)合實際意義得到正確的結(jié)論．4、D【解題分析】∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠ADC=180°，又∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠ABC=110°.故選D.點睛：本題是一道考查圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的題，解題的關(guān)鍵是知道圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：“圓內(nèi)接四邊形對角互補”.5、B【分析】根據(jù)反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)逐個對選項進(jìn)行分析即可．【題目詳解】A根據(jù)反比例函數(shù)的圖象可知，k>0,因此可得一次函數(shù)的圖象應(yīng)該遞減，但是圖象是遞增的，所以A錯誤；B根據(jù)反比例函數(shù)的圖象可知，k>0,，因此一次函數(shù)的圖象應(yīng)該遞減，和圖象吻合，所以B正確；C根據(jù)反比例函數(shù)的圖象可知，k<0,因此一次函數(shù)的圖象應(yīng)該遞增，并且過（0,1）點，但是根據(jù)圖象，不過（0,1），所以C錯誤；D根據(jù)反比例函數(shù)的圖象可知，k<0,因此一次函數(shù)的圖象應(yīng)該遞增，但是根據(jù)圖象一次函數(shù)的圖象遞減，所以D錯誤．故選B【題目點撥】本題主要考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵點在于系數(shù)的正負(fù)判斷，根據(jù)系數(shù)識別圖象.6、B【分析】根據(jù)撲克牌的張數(shù),利用概率=頻數(shù)除以總數(shù)即可解題.【題目詳解】解：撲克牌一共有54張,所以抽到“”的概率是,A.抽到“大王”的概率是,B.抽到“2”的概率是,C.抽到“小王”的概率是,D.抽到“紅桃”的概率是,故選B.【題目點撥】本題考查了概率的實際應(yīng)用,屬于簡單題,熟悉概率的計算方法是解題關(guān)鍵.7、B【分析】由拋物線的解析式可求得開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo)，再逐一進(jìn)行判斷即可．【題目詳解】解：A、∵?2＜0，∴拋物線的開口向下，故A錯誤，不符合題意；B、拋物線的對稱軸為：x＝1，故B正確，符合題意；C、拋物線的頂點為（1，3），故C錯誤，不符合題意；D、因為開口向下，故該函數(shù)有最大值，故D錯誤，不符合題意.故答案為：B.【題目點撥】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵，即在y=a(x?h)2+k中，頂點坐標(biāo)為(h,k)，對稱軸為x=h．8、C【解題分析】∵2個紅球、3個白球，一共是5個，∴從布袋中隨機摸出一個球,摸出紅球的概率是.故選C.9、C【分析】過點作于點，于，連接，由垂徑定理得出，得出，由勾股定理得出，證出是等腰直角三角形，得出，求出，由直角三角形的性質(zhì)得出，由勾股定理得出，即可得出答案．【題目詳解】解：過點作于點，于，連接，如圖所示：則，∴，在中，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴，在中，，∴；故選C．【題目點撥】考核知識點：垂徑定理.利用垂徑定理和勾股定理解決問題是關(guān)鍵.10、C【分析】將點代入求出反比例函數(shù)的解析式，再對各項進(jìn)行判斷即可．【題目詳解】將點代入得解得∴只有點在該函數(shù)圖象上故答案為：C．【題目點撥】本題考查了反比例函數(shù)的問題，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、-1【分析】根據(jù)零指數(shù)冪及特殊角的三角函數(shù)值計算即可.【題目詳解】解：原式=1-4×=-1，故答案為：-1.【題目點撥】本題考查了實數(shù)的運算、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練每部分的運算法則．12、【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，求出CD=CE=5,再根據(jù)勾股定理求DE長，的值即為等腰△CDE底角的正弦值，根據(jù)等腰三角形三線合一構(gòu)建直角三角形求解.【題目詳解】如圖，過D點作DM⊥BC，垂足為M，過C作CN⊥DE，垂足為N，在Rt△ACB中，AC=8，BC=6，由勾股定理得，AB=10，∵D為AB的中點，∴CD=,由旋轉(zhuǎn)可得，∠MCN=90°,MN=10，∵E為MN的中點，∴CE=,∵DM⊥BC,DC=DB,∴CM=BM=,∴EM=CE-CM=5-3=2，∵DM=,∴由勾股定理得，DE=，∵CD=CE=5，CN⊥DE,∴DN=EN=,∴由勾股定理得，CN=,∴sin∠DEC=.故答案為：.【題目點撥】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，能夠用等腰三角形三線合一的性質(zhì)構(gòu)建直角三角形解決問題是解答此題的關(guān)鍵.13、【分析】先根據(jù)題意得出⊙O的半徑，再根據(jù)勾股定理求出BE的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．【題目詳解】連接OB，∵，，∴OC＝OB＝（CE＋DE）＝5，∵CE＝3，∴OE＝5?3＝2，∵CD⊥AB，∴BE＝＝．∴AB＝2BE＝．故答案為：．【題目點撥】本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．14、3【解題分析】試題分析：設(shè)最大利潤為w元，則w=（x﹣30）（30﹣x）=﹣（x﹣3）3+3，∵30≤x≤30，∴當(dāng)x=3時，二次函數(shù)有最大值3，故答案為3．考點：3．二次函數(shù)的應(yīng)用；3．銷售問題．15、，【分析】根據(jù)對稱軸方程求得b，再代入解一元二次方程即可．【題目詳解】解：∵二次函數(shù)y=x2+bx-5的對稱軸為直線x=1，∴=1,即b=-2∴解得：，故答案為，．【題目點撥】本題主要考查的是拋物線與x軸的交點、一元二次方程等知識，根據(jù)拋物線的對稱軸確定b的值是解答本題的關(guān)鍵．16、2【分析】直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值求出∠A，∠B的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出答案．【題目詳解】∵(sinA)2+|tanB|=1，∴sinA1，tanB1，∴sinA，tanB，∴∠A=45°，∠B=61°，∴∠C=181°-∠A-∠B=181°-45°-61°=2°．故答案為：2．【題目點撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解答本題的關(guān)鍵．17、【分析】設(shè)點E的坐標(biāo)為，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出點B的坐標(biāo)，再將點E、B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求解即可.【題目詳解】設(shè)點E的坐標(biāo)為，且由圖可知則點B的坐標(biāo)為將點E、B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得：整理得：解得：或（不符合，舍去）故點E的坐標(biāo)為.【題目點撥】本題考查了反比例函數(shù)的定義與性質(zhì)，利用正方形的性質(zhì)求出點B的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.18、【分析】過點A作AE⊥AO,并使∠AEO＝∠ABC,先證明，由三角函數(shù)可得出，進(jìn)而求得，再通過證明，可得出，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得:,由勾股定理可得，求出BE的最大值，則答案即可求出.【題目詳解】解:過點A作AE⊥AO,并使∠AEO＝∠ABC,∵,∴,∴,∵,∴,∴,∴，又∵,∴,∵，∴，又∵，∴,∴,∴,在△OEB中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得:,∵，∴,∴BE的最大值為：，∴OC的最大值為：.【題目點撥】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理及三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形.三、解答題(共66分)19、（1），；（2）【分析】（1）首先把方程整理成一元二次方程的一般式，然后利用因式分解法解方程即可；（2）首先把方程整理成一元二次方程的一般式，然后利用因式分解法解方程即可．【題目詳解】（1）方程變形為：即，因式分解得：，則或，解得：，；（2）方程變形為：，因式分解得：，則，解得：．【題目點撥】本題主要考查了一元二次方程的解法，關(guān)鍵是掌握因式分解法解方程的步驟．20、證明見解析．【分析】連接OC，證明三角形△COD和△COE全等；然后利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到CD=CE．【題目詳解】解：連接OC．在⊙O中，∵，∴∠AOC=∠BOC，∵OA=OB，D．E分別是半徑OA和OB的中點，∴OD=OE，∵OC=OC（公共邊），∴△COD≌△COE（SAS），∴CD=CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．【題目點撥】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系；全等三角形的判定與性質(zhì)．21、（1）；（2）；（3）【分析】（1）求出點B的坐標(biāo)，設(shè)直線解析式為，代入A、B即可求得直線解析式；（2）過點作于點，延長交于點，通過證明≌，可得，，故點的橫坐標(biāo)為，，設(shè)，可求得，故S與的函數(shù)關(guān)系式為；（3）延長、交于點，過點作點，連接、，先證明≌，可得，通過等量代換可得，再由勾股定理可得，結(jié)合即可解得．【題目詳解】（1）∵∴，∴∴點設(shè)直線解析式為解得，∴直線解析式為（2）過點作于點，延長交于點，∵軸，軸∴∴∴四邊形是矩形，∴，∴，∴≌∴，，點的橫坐標(biāo)為，，設(shè)，則，∵∴∴∴（3）延長、交于點，過點作點，連接、由（2）可知，∴又∵∵∴∴，，延長交于點，∵，∴∵∴，，∴≌∴∵∴∴∴∵∴∵∴由勾股定理可得∵∴，∴【題目點撥】本題考查了直線解析式的幾何問題，掌握直線解析式的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及判定定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．22、y=﹣10x2+1600x﹣48000；80元時，最大利潤為16000元．【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)“總利潤=單件的利潤×銷售量”列出二次函數(shù)關(guān)系式即可；（2）將得到的二次函數(shù)配方后即可確定最大利潤試題解析：（1）S=y（x﹣20）=（x﹣40）（﹣10x+1）=﹣10x2+1600x﹣48000；（2）S=﹣10x2+1600x﹣48000=﹣10（x﹣80）2+16000，則當(dāng)銷售單價定為80元時，工廠每天獲得的利潤最大，最大利潤是16000元．考點：二次函數(shù)的應(yīng)用23、（1）成立，理由見解析；（2）；（3）【分析】（1）連接AD、BC，得到∠D=∠B，可證△PAD∽△PCB，即可求解；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論即可求解；（3）連接OC，根據(jù),PC=,PA=1求出PB=3,AO=CO=1，PO=2利用,得到AOC為等邊三角形，再分別求出，即可求解.【題目詳解】解：（1）成立理由如下：如圖，連接AD、BC則∠D=∠B∵∠P=∠P∴△PAD∽△PCB∴=∴PA·PB=PC·PD(2)當(dāng)PD與⊙O相切于點C時，PC=PD，由（1）得PA·PB=PC·PD∴(3)如圖，連接OC,PC=,PA=1PB=3,AO=CO=1，PO=2PC與⊙O相切于點CPCO為直角三角形,AOC為等邊三角形====【題目點撥】此題主要考查圓內(nèi)綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)及扇形面積的求解公式.24、(1)詳見解析；(2)14【分析】（1）根據(jù)可得，又因，由相似三角形的判定定理即可證；（2）設(shè)，根據(jù)得，由點E是AB的中點得，可求出的值，根據(jù)相似三角形的面