數(shù)學人教A版（2023）必修第一冊2.2基本不等式課件（共35張ppt）

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第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式

2.2基本不等式

我們知道，乘法公式在代數(shù)式的運算中有重要作用，那么，是否也有一些不等式，它們在解決不等式問題時有著與乘法公式類似的重要作用呢？下面就來研究這個問題．

【素養(yǎng)目標】

1．了解基本不等式的代數(shù)和幾何背景．(數(shù)學抽象)

2．理解并掌握基本不等式及其變形．(邏輯推理)

3．會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題．(數(shù)學運算)

4．會用基本不等式進行代數(shù)式大小的比較及證明不等式．(邏輯推理)

5．會用基本不等式求最值問題和解決簡單的實際問題．(數(shù)學運算)

前面我們利用面積法和完全平方公式得出了一類重要不等式：

，有：當且僅當時，等號成立.

特別地，如果，我們用分別代替上式中的

，可得：，當且僅當時，等號成立

通常稱為基本不等式.其中，叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)的幾何平均數(shù)

兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．

問題1：基本不等式及其推導

【證法一】當時，，

，

，所以

由重要不等式可得：

問題1：基本不等式及其推導

問題1：基本不等式及其推導

【證法二】當然我們也可以利用分析法：

把這個過程倒過來，就是證明的過程.

只要證；

只要證；

只要證.

要證，去分母并調(diào)換方向，

而此式顯然成立.

當且僅當時，等號成立.

.

所以

所以

所以

綜合法

（1）基本不等式成立的條件是.

①若，如，此時是不成立的；

②若中有一個小于0，如如，則無意義

③若等于0，雖然該不等式也成立，但一般不研究這種情況

（2）基本不等式的常見變形式：

①②

基本不等式鏈

問題1：基本不等式及其推導

【答】可證，因此CD=，由于CD小于或等于圓的半徑，所以用不等式表示為：

如圖，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=，BC=.過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD.你能利用這個圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？

A

B

D

C

E

顯然，當且僅當點C與圓心重合，

即當時，等號成立.

問題2：基本不等式的幾何意義

【例1】

【解】因為，

已知，求的最小值.

當且僅當，即時，等號成立，

的最小值是2

一正：各項必須為正

二定：各項之和或各

項之積為定值

三相等：必須驗證取等號

時的條件十分具備

問題3：利用基本不等式求最值

思考

問題3：利用基本不等式求最值

【例2】已知都是正數(shù)，求證：

（1）如果等于定值P，那么當時，有最小值

【證明】所以

（1）等于定值P時，，所以

當且僅當時，上式等號成立，此時有最小值

（2）如果等于定值S，那么當時，有最大值

（2）時，，兩邊平方，所以

，當且僅當時，上式等號成立，此時有最大值

問題4：最值定理及其應用

①當時，，，

當且僅當時，等號成立.

②當時，，

當且僅當時，等號成立.

問題4：最值定理及其應用

練習1：已知，求證：.

【證明】

，即.

練習2：已知都是正數(shù)，且，求證：

（1）（2）

（1）∵，

∴，

由于，等號取不到，

所以

（2）∵，，，

∴，

∴

∴

∴

∴，

【證明】

本題可拓展到求，等同類式子的最小值.

練習3：取何值時，取得最小值？最小值是多少？

【解】由題意∵，所以，

∴,

當且僅當，即時，取得最小值，最小值為

【例題】(1)用籬笆圍成一個面積為100平方米的矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，所用的籬笆最少，最短長度是多少？

【解】由題意設(shè)籬笆的長和寬分別為米，且

所以米

當且僅當米，即圍成正方形時，有最短長度40米

問題5：基本不等式的實際應用

【例題】(2)用一段長為36米的鐵絲網(wǎng)圍成一個矩形菜園，當這個矩形的長和寬各為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？

【解】由題意設(shè)籬笆的長和寬分別為米，且

所以為平方米，根據(jù)基本不等式，

，即

當且僅當，即圍成正方形時，有最大面積81平方米.

問題5：基本不等式的實際應用

【例題】（3）某工廠要建造一個長方體形狀的無蓋蓄水池，其容積為4800立方米，深為3米.如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，那么怎樣設(shè)計水池才能使總造價最低？最低造價是多少？

【解】設(shè)水池底面的長和寬分別為米，且，總造價元，

根據(jù)題意，有

因為容積為，所以，，

當且僅當米時，取得最低總造價

元

，

問題5：基本不等式的實際應用

練習4：已知直角三角形的面積為50，當兩條直角邊的長度各為多少時，

兩條直角邊的和最??？最小值是多少？.

【解】由題意設(shè)兩條直角邊的長度分別為，且

則面積為，即，

所以，

當且僅當時，兩條直角邊的和有最小值20

練習（第48頁）

1．用20cm長的鐵絲折成一個面積最大的矩形，應當怎樣折？

因為周長等于20，所以

所以

當且僅當a=b=5時取等號。

答：當矩形的長與寬均為5cm時，面積最大。最大值為25cm2.

2．用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m．當這個矩形的邊長為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？

3．做一個體積為32m3，高為2m的長方體紙盒，當?shù)酌娴倪呴L取什么值時，用紙最少？

解：設(shè)底面的長與寬分別為am,bm.a>0,b>0,因為體積等于32m3,高2m,所以底面積為16m2,即：

所以用紙面積是

當且僅當a=b=4時取等號。

答：當?shù)酌娴拈L與寬均為4m時，用紙最少。

4．已知一個矩形的周長為36cm？矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱．當矩形的邊長為多少時，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積最大？

當矩形的長和寬分別為9時，圓柱的側(cè)面積最大。

習題2.2

（第48頁）

2．（1）把36寫成兩個正數(shù)的積，當這兩個正數(shù)取什么值時，它們的和最??？

答：當這兩個正數(shù)均為6時，它們的和最小。

2．（2）把18寫成兩個正數(shù)的和，當這兩個正數(shù)取什么值時，它們的積最大？

答：當這兩個正數(shù)均為96時，它們的積最大。

3．某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為48m2，房屋正面每平方米的造價為1200元，房屋側(cè)面每平方米的造價為800元，屋頂?shù)脑靸r為5800元．如果墻高為3m，且不計屋脊面和地面的費用，那么怎樣設(shè)計房屋使總造價最低？最低總造價是多少？

當3600y=4800x,即x=6,y=8時，z有最小值，最低造價為63400元。

6．一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費y1（單位：元）與倉庫到車站的距離x（單位：km）成反比，每月庫存貨物費用y2（單位：元）與x成正比；若在距離車站10km處建倉庫，則y1和y2分別為2萬元和8萬元．這家公司應該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項費用之和最??？

所以倉庫應建在距離車站5km處，才能使兩項費用之和最小，最小費用為8萬元．

7．一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金．一位顧客到店里購買10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客．你認為顧客購得的黃金是小于10g，等于10g，還是大于10g？為什么？