第五章 頻率特性法

第五章頻率特性法第1頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月2數(shù)學本質R1C1i1(t)5.1頻率特性的概念第2頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月3擴展為一般系統(tǒng)系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量為第3頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月4其中G(jw)和G(－jw)為復數(shù)，可用復數(shù)的模和相角的形式表示為第4頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月5

注意：反應了系統(tǒng)在不同頻率的正弦輸入信號作用下，穩(wěn)態(tài)輸出的幅值和輸入信號幅值之比。反應了系統(tǒng)在不同頻率的正弦輸入信號作用下，輸出信號相對于輸入信號的相位位移。第5頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月6物理意義第6頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月7比較系統(tǒng)的頻率特性和傳遞函數(shù)、微分方程可知，它們之間存在右述關系由實驗方法獲得根據(jù)穩(wěn)態(tài)輸出的幅值比和相位差得到不能針對不穩(wěn)定系統(tǒng)，因為會存在振蕩和發(fā)散系統(tǒng)的頻率特性的獲取由傳遞函數(shù)（或微分方程）可以得到系統(tǒng)的頻率特性：第7頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月8基本思想將控制系統(tǒng)的各個變量看成一些信號，而這些信號又是由不同頻率的正弦信號合成的；各個變量的運動就是系統(tǒng)對各個不同頻率的信號的響應的總和。特點物理意義鮮明，有很大的實際意義。計算量小。它與過渡過程的性能指標有對應關系，不必解出特征根。由于采用作圖，使用這種做法有很強的直觀性。應用對象廣泛。不僅適用于二階系統(tǒng)，也適用于高階系統(tǒng)；不僅適用于線性定常系統(tǒng)，也可推廣應用于某些非線性系統(tǒng)。尤其系統(tǒng)在某些頻率范圍存在嚴重的噪聲時，應用頻率特性法可以比較滿意地抑制噪聲。第8頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月第9頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月105.2典型環(huán)節(jié)頻率特性幅相頻率特性曲線簡稱幅相曲線，又稱極坐標圖。在復平面上，以角頻率w為自變量，把頻率特性的幅頻特性——模和相頻特性——相角同時在復平面上表示出來的圖就是幅相曲線。開環(huán)對數(shù)頻率特性圖(對數(shù)坐標圖或Bode圖)包括開環(huán)對數(shù)幅頻曲線和開環(huán)對數(shù)相頻曲線橫坐標為w，以對數(shù)分度，十倍頻程，單位是rad/s頻率w每擴大10倍，橫軸上變化一個單位長度。因此，對于w坐標分度不均勻，對于lgw則是均勻的。5.2.1常用于描述頻率特性的幾種曲線第10頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月11幅頻特性是w

的偶函數(shù)相頻特性是w

的奇函數(shù)性能分析（尤其是穩(wěn)定性）時不需要繪制精確的幅相特性曲線，只需繪制大致形狀即可第11頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月12伯德（Bode）圖又叫對數(shù)頻率特性曲線，它是將幅頻特性和相頻特性分別繪制在兩個不同的坐標平面上，前者叫對數(shù)幅頻特性，后者叫對數(shù)相頻特性。兩個坐標平面橫軸（ω軸）用對數(shù)分度，對數(shù)幅頻特性的縱軸用線性分度，它表示幅值的分貝數(shù)，即；對數(shù)相頻特性的縱軸也是線性分度，它表示相角的度數(shù)，即。通常將這兩個圖形上下放置（幅頻特性在上，相頻特性在下），且將縱軸對齊，便于求出同一頻率的幅值和相角的大小，同時為求取系統(tǒng)相角裕度帶來方便。第12頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月13對數(shù)分度：對數(shù)相頻特性的縱坐標為對數(shù)相頻特性的函數(shù)值，單位是度。表示為對數(shù)幅頻特性的縱坐標為對數(shù)幅頻特性的函數(shù)值，采用線性分度，單位是dB。表示為L(w)=20lg|G(jw)|第13頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月14線性分度(弧度/秒)線性分度(弧度/秒)第14頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月15對數(shù)頻率特性優(yōu)點展寬頻率范圍對于不含不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，可由對數(shù)頻率特性得到系統(tǒng)的傳函。典型環(huán)節(jié)可用直線或折線近似表示幾個頻率特性相乘，對數(shù)幅、相曲線相加

兩個頻率特性互為倒數(shù)，幅、相特性反號，關于軸對稱第15頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月164.2.2.典型環(huán)節(jié)的頻率特性比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)延時環(huán)節(jié)不穩(wěn)定環(huán)節(jié)第16頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月17比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)G(s)=k

頻率特性G(jw)=k

k1）幅相曲線幅頻特性|G(jw)|=k相頻特性幅相曲線如右圖所示第17頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月18由圖可看出比例環(huán)節(jié)的幅頻特性為常數(shù)K，相頻特性等于零度，它們都與頻率無關。理想的比例環(huán)節(jié)能夠無失真和無滯后地復現(xiàn)輸入信號。第18頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月192)對數(shù)頻率特性曲線若k=10第19頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月20比例環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性如圖所示，它是一條與角頻率ω無關且平行于橫軸的直線，其縱坐標為20lgk。當有n個比例環(huán)節(jié)串聯(lián)時，即

幅值的總分貝數(shù)為

比例環(huán)節(jié)的相頻特性是

如圖所示，它是一條與角頻率ω無關且與ω軸重合的直線。第20頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月21積分環(huán)節(jié)幅頻特性|G(jw)|=1/w相頻特性幅相曲線如右圖所示1）幅相曲線第21頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月22積分環(huán)節(jié)2）對數(shù)頻率特性這是一條在w=1處穿過橫軸的直線，其斜率為即頻率變化10倍，對數(shù)幅值下降－20dB第22頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月23思考題：如果有n個積分環(huán)節(jié)，那么它們的頻率特性如何？第23頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月當有n個積分環(huán)節(jié)串聯(lián)時，即

其對數(shù)幅頻特性為

是一條斜率為-n×20，且在ω=1（弧度/秒）處過零分貝線（ω軸）的直線。相頻特性是一條與ω無關，值為-n×900且與ω軸平行的直線。兩個積分環(huán)節(jié)串聯(lián)的Bode圖如圖所示。兩個積分環(huán)節(jié)串聯(lián)的Bode圖第24頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月25慣性環(huán)節(jié)第25頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月26

當時，當時，當時，當ω由零至無窮大變化時，慣性環(huán)節(jié)的頻率特性在平面上是正實軸下方的半個圓周，證明如下：

令

第26頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月27

則有

這是一個標準圓方程，其圓心坐標是，半徑為。且當ω由時，由，說明慣性環(huán)節(jié)的頻率特性在平面上是實軸下方半個圓周，如圖所示。慣性環(huán)節(jié)是一個低通濾波環(huán)節(jié)和相位滯后環(huán)節(jié)。在低頻范圍內，對輸入信號的幅值衰減較小，滯后相移也小，在高頻范圍內，幅值衰減較大，滯后相角也大，最大滯后相角為90゜。第27頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月281）幅相曲線如圖。慣性環(huán)節(jié)為相位滯后環(huán)節(jié)，最大的滯后相角為90度。第28頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月當時，當時，

用兩條直線近似描述慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性。（2）對數(shù)頻率特性曲線慣性環(huán)節(jié)的頻率特性是

其對數(shù)幅頻特性是第29頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月30討論：用漸近線表示：第30頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月31很明顯，距離轉折頻率愈遠愈能滿足近似條件，用漸近線表示對數(shù)幅頻特性的精度就愈高；反之，距離轉折頻率愈近，漸近線的誤差愈大。等于轉折頻率時，誤差最大，最大誤差為漸近特性精確特性圖慣性環(huán)節(jié)的Bode圖第31頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月32

時的誤差是時的誤差是誤差曲線對稱于轉折頻率，如圖所示。由圖可知，慣性環(huán)節(jié)漸近線特性與精確特性的誤差主要在交接頻率上下十倍頻程范圍內。轉折頻率十倍頻以上的誤差極小，可忽略。經(jīng)過修正后的精確對數(shù)幅頻特性如圖所示。第32頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月33慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性誤差修正曲線第33頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月34

慣性環(huán)節(jié)的相頻特性為

當時，當時，當時，對應的相頻特性曲線如下圖所示。它是一條由00至-900范圍內變化的反正切函數(shù)曲線，且以和的交點為斜對稱。

第34頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月35第35頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月36振蕩環(huán)節(jié)1）幅相曲線第36頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月37

當時，，當時，，當時，，

振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性和相頻特性均與阻尼比ξ有關，不同阻尼比的頻率特性曲線如圖所示。

當阻尼比較小時，會產(chǎn)生諧振，諧振峰值和諧振頻率由幅頻特性的極值方程解出，諧振時幅值大于1第37頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月38其中稱為振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率，它是振蕩環(huán)節(jié)頻率特性曲線與虛軸的交點處的頻率。將代入得到諧振峰值為

將代入得到諧振相移φr為圖振蕩環(huán)節(jié)的頻率響應其中稱為振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率，它是振蕩環(huán)節(jié)頻率特性曲線與虛軸的交點處的頻率。將代入得到諧振峰值為

將代入得到諧振相移φr為第38頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月39振蕩環(huán)節(jié)的幅值特性曲線如圖所示。在的范圍內，隨著ω的增加，緩慢增大；當時，達到最大值；當時，輸出幅值衰減很快。當阻尼比時，此時振蕩環(huán)節(jié)可等效成兩個不同時間常數(shù)的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，即圖振蕩環(huán)節(jié)的頻率響應T1，T2為一大一小兩個不同的時間常數(shù)，小時間常數(shù)對應的負實極點離虛軸較遠，對瞬態(tài)響應的影響較小。振蕩環(huán)節(jié)為相位滯后環(huán)節(jié)，最大的滯后相角為180度。第39頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月40平方項4次方項轉折頻率2）對數(shù)頻率特性第40頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月41當時，當時，漸近線的第一段折線與零分貝線（ω軸）重合，對應的頻率范圍是0至；第二段折線的起點在處，是一條斜率為-40（dB/dec）的直線，對應的頻率范圍是至∞。兩段折線構成振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性的漸近線，它們的轉折頻率為。對數(shù)幅頻特性曲線的漸近線如圖所示。

高頻漸近線低頻漸近線第41頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月42漸近線與精確對數(shù)幅頻特性曲線的誤差分析如下：它是阻尼比ξ的函數(shù)；當ξ=1時為-6（dB），當ξ=0.5時為0(dB)，當ξ=0.25時為+6(dB)；誤差曲線如圖4-18所示。高頻漸近線低頻漸近線

圖4-17振蕩環(huán)節(jié)漸進線對數(shù)幅頻特性圖4-18振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性誤差修正曲線第42頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月43由圖知，振蕩環(huán)節(jié)的誤差可正可負，它們是阻尼比ξ的函數(shù)，且以的轉折頻率為對稱，距離轉折頻率愈遠誤差愈小。通常大于（或小于）十倍轉折頻率時，誤差可忽略不計。經(jīng)過修正后的對數(shù)幅頻特性曲線如圖所示。由圖可看出，振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性在轉折頻率附近產(chǎn)生諧振峰，這是該環(huán)節(jié)固有振蕩性能在頻率特性上的反映。前面已經(jīng)分析過，諧振頻率ωr和諧振峰Mr分別為

圖振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻率特性圖第43頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月44

其中稱為振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼（ξ=0）自然振蕩頻率，它也是漸近線的轉折頻率。由式可知，當阻尼比ξ愈小諧振頻率ωr愈接近無阻尼自然振蕩頻率ωn，當ξ=0時，ωr=ωn振蕩環(huán)節(jié)的相頻特性是

第44頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月45當時，當時，當時，除上面三種特殊情況外，振蕩環(huán)節(jié)相頻特性還是阻尼比ξ的函數(shù)，隨阻尼比ξ變化，相頻特性在轉折頻率附近的變化速率也發(fā)生變化，阻尼比ξ越小，變化速率越大，反之愈小。但這種變化不影響整個相頻特性的大致形狀。不同阻尼比ξ的相頻特性如圖所示。圖振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)相頻特性圖第45頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月46相頻特性也是關于的函數(shù)，關于－90度斜對稱。精確值和近似值之間存在的誤差和相關；并且越小，誤差越大。第46頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月47一階微分環(huán)節(jié)幅頻特性相頻特性11）幅相曲線

兩個頻率特性互為倒數(shù)，幅、相特性反號，關于軸對稱第47頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月48

頻率特性如圖所示。它是一條過點（1，j0）與實軸垂直相交且位于實軸上方的直線。純微分環(huán)節(jié)的頻率特性與正虛軸重合。1圖一階微分環(huán)節(jié)的頻率響應第48頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月49其對數(shù)幅頻特性是

當時，當時，一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性如圖所示，漸近線的轉折頻率為，轉折頻率處漸近特性與精確特性的誤差為，其誤差均為正分貝數(shù)，誤差范圍與慣性環(huán)節(jié)類似。相頻特性是當時，；

2）對數(shù)頻率特性第49頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月50當時，；當時，。一階微分環(huán)節(jié)的相頻特性如圖所示，相角變化范是00至900，轉折頻率處的相角為450。比較可知，一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性是以橫軸（ω軸）為對稱的。

一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖第50頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月51第51頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月52二階微分環(huán)節(jié)1）幅相曲線第52頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月53由上可見，二階微分環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性互為鏡像。2）對數(shù)頻率特性第53頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月54振蕩環(huán)節(jié)的bode圖第54頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月55延時環(huán)節(jié)幅相曲線和對數(shù)頻率特性曲線分別是第55頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月56其對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為延時環(huán)節(jié)伯德圖如圖所示。其對數(shù)幅頻特性與ω無關，是一條與ω軸重合的零分貝線。滯后相角分別與滯后時間常數(shù)τ和角頻率ω成正比。圖延時環(huán)節(jié)的Bode圖第56頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月57不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

不穩(wěn)定環(huán)節(jié)有一個正實極點，對應的頻率特性是不穩(wěn)定環(huán)節(jié)第57頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月58

幅頻特性和相頻特性分別為

當時，，當時，，當時，，

不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的頻率特性如右圖。比較圖可知，它與慣性環(huán)節(jié)的頻率特性相比，是以平面的虛軸為對稱的。0ImRe圖不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的頻率特性第58頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月59不穩(wěn)定單元以上模相等，都是且與慣性環(huán)節(jié)相同，相頻特性則不同，分別如下所示第59頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月60幅相曲線都是半圓,分別為思考題：畫出它們的對數(shù)頻率特性圖。不穩(wěn)定的振蕩環(huán)節(jié)推導類似。不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性圖和穩(wěn)定環(huán)節(jié)相同，相頻特性變化范圍不同。第60頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月614.3繪制頻率特性圖繪制幅相曲線由典型環(huán)節(jié)的幅相曲線得到一般系統(tǒng)的幅相曲線一般用于分析穩(wěn)定性由w

從，首先計算起點和終點的情況，其次分析w變化的趨勢，繪出相應的幅相曲線。第61頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月62解：開環(huán)頻率特性為例4-1.繪制如下開環(huán)傳遞函數(shù)的幅相曲線幅頻特性和相頻特性分別為第62頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月63曲線與虛軸相交時，相角為90度第63頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月64幾個頻率特性相乘，對數(shù)幅、相曲線相加若系統(tǒng)增加一個積分環(huán)節(jié)（1型系統(tǒng)）則第64頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月65幅相曲線如圖所示為求曲線范圍和其與實軸的交點將頻率特性寫成實部和虛部的形式:因此在起點，w=0，可得到求曲線和實軸的交點（對系統(tǒng)的穩(wěn)定性很重要）第65頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月66若系統(tǒng)再增加一個積分環(huán)節(jié)（2型系統(tǒng)）幅相曲線如圖所示第66頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月67若系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)，曲線起點為無窮遠處，相角為v×(-900)，其中v積分環(huán)節(jié)個數(shù)。2）終點開環(huán)傳函分母的階數(shù)n大于分子的階數(shù)m時，即n>m時，終點在原點，進入角度為(n-m)×(-900)n=m時，終點在正實軸上某點，坐標和各參數(shù)有關。綜上所述，對于開環(huán)傳遞函數(shù)只含有左半平面的零極點的系統(tǒng)，其幅相曲線的起點和終點滿足以下規(guī)律：1）起點若系統(tǒng)不含有積分環(huán)節(jié)，起點為（K,0）。第67頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月68作業(yè)P1084-2(1,4),P1104-10(4)第68頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月69繪制對數(shù)頻率特性圖疊加法：將各典型環(huán)節(jié)的圖疊加。因此一般系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性圖可由典型環(huán)節(jié)疊加。由前述，可得第69頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月70比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)震蕩環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性圖第70頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月71一階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)延時環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性圖s/rad)(Lww0.1110100dB第71頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月72分段法：第一步：確定轉折頻率（慣性、振蕩、比例微分環(huán)節(jié))，標注在ω軸上；第二步：確定低頻段Bode圖位置，包括高度和斜率。

第三步：依次畫轉折頻率以后部分，增減斜率。在交接頻率處，曲線斜率發(fā)生改變,改變多少取決于典型環(huán)節(jié)種類.在慣性環(huán)節(jié)后,斜率減少20dB/dec;而在振蕩環(huán)節(jié)后,斜率減少40dB/dec斜率由積分環(huán)節(jié)決定v＝00dB/decv=1-20dB/decv=2-40dB/dec第四步：在轉折頻率附近進行修正，得到較為精確的曲線。最左端直線斜率為:-20ν·dB/dec,這里ν是積分環(huán)節(jié)數(shù)。第72頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月73例4-2：繪制對數(shù)頻率特性圖解：采用分段法。系統(tǒng)包括以下5個環(huán)節(jié)(1)比例(2)積分(3)比例微分第73頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月74(5)振蕩(4)慣性ω1＝1.414－40ω2＝2－20ω3＝3＋20總結轉折頻率和相應斜率，得到第74頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月75)(Lww0.1110dB2040600.01(1)(2)(3)(5)-20+20-20-40-60-60-80-20-40-601.41423第75頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月76對數(shù)相頻特性：1）將積分、慣性、比例微分、振蕩環(huán)節(jié)分別畫出相頻特性曲線2）確定幾個點（查表等），光滑連接第76頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月77什么是剪切頻率？

開環(huán)幅頻特性曲線（折線）過0分貝的頻率。也叫剪切頻率或穿越頻率。記為wc。s/rad)(Lww0.1110dB2040600.01-20-60-60-80-20-40-6017.51.41423wc第77頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月78

剪切頻率求法1)作圖法——作精確的幅頻特性圖來求得2）計算法通過比例關系求得

11.41423-20-60-80wc20lgk可以斷定wc在2和3之間第78頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月79例4-3繪制幅相曲線和對數(shù)頻率特性圖1)討論幅相曲線大致形狀：解：系統(tǒng)的頻率特性為第79頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月802）對數(shù)頻率特性圖相頻特性：見下頁圖計算剪切頻率0.11210-40-20wc第80頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月81第81頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月82一般說來，如果系統(tǒng)穩(wěn)定且極點數(shù)多于零點數(shù)那么,如果幅頻特性的斜率為如果幅頻特性的斜率為當系統(tǒng)不含有不穩(wěn)定環(huán)節(jié)時（即系統(tǒng)只有左半平面的零極點），系統(tǒng)的相頻特性隨幅頻特性的增加（或減少）而增加（或減少).所以只需要畫它的對數(shù)幅頻特性圖即可。精確的頻率特性圖是在近似圖基礎上，在轉折頻率附近描點，然后連成光滑的曲線即可第82頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月83最小相角系統(tǒng)和非最小相角系統(tǒng)的區(qū)別

最小相角(相位)系統(tǒng)的零點、極點均在s平面的左半閉平面，在s平面的右半平面有零點或極點的系統(tǒng)是非最小相角系統(tǒng)。20-20ωL(dB)10L(dB)50-20-40100ω幅頻特性相同，但對數(shù)相頻曲線卻不相同。最小相角系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性一一對應，只要根據(jù)其對數(shù)幅頻曲線就能寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。如：第83頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月84最小相角系統(tǒng)和非最小相角系統(tǒng)的區(qū)別

最小相角(相位)系統(tǒng)的零點、極點均在s平面的左半閉平面，在s平面的右半平面有零點或極點的系統(tǒng)是非最小相角系統(tǒng)。L(dB)ω-40-40-20ω1ωcω2第84頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月854.4奈氏穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特(Nyquist，簡稱奈氏)穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)開環(huán)頻率特性對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行判斷。作圖分析，計算量小，信息量大。不但判穩(wěn)定，也能給出不穩(wěn)定根的個數(shù)和穩(wěn)定裕量。1932年，美國Bell實驗室的奈奎斯特提出了這樣一種方法。這種方法是以系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，稱為奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。

第85頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月864.4.1數(shù)學基礎復變函數(shù)映射概念例：若在S平面上，任取一封閉軌跡，且使其不通過F(s)的奇點，則在F平面上就有一封閉軌跡與之對應。第86頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月87柯西幅角原理對于復變函數(shù)在s平面上封閉曲線C域內共有P=n個極點和Z=m個零點，且封閉曲線C不穿過F(s)的任一個極點和零點。當s順時針沿封閉曲線C變化一周時，函數(shù)F(s)在F平面上的軌跡將按逆時針包圍原點

N=P–Z次。(零點個數(shù)考慮重根數(shù)，N>0逆時針，N<0順時針。)第87頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月88即幅角原理的表達式為：

N=P-Z其中N為曲線按逆時針繞原點的圈數(shù)，P為內包含的F(s)的極點數(shù)，Z為內包含的F(s)的零點數(shù)。N=1-3=-2第88頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月89N＝0-1=-1N=1-0=1第89頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月904.4.2奈氏穩(wěn)定判據(jù)利用柯西復角原理判斷穩(wěn)定的思路：使封閉曲線與頻率特性相聯(lián)系使F(s)與系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)相聯(lián)系封閉曲線域為右半平面（或左半平面）第90頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月91D形圍線和Nyquist圖：沿虛軸順時針包圍右半平面的閉曲線稱為D形圍線。半徑無限大第91頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月92開環(huán)傳遞函數(shù)DC(s)閉環(huán)特征多項式；D0(s)開環(huán)特征多項式閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)分母(輔助函數(shù))G(s)H(s)+-第92頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月93DC(s)閉環(huán)特征多項式D0(s)開環(huán)特征多項式閉環(huán)傳遞函數(shù)分母(輔助函數(shù))F(s)三個特點：1.零、極點分別為閉、開環(huán)特征根;2.零、極點個數(shù)相等（分子分母階數(shù)相同）;對于穩(wěn)定的最小相角系統(tǒng)，從0時F(s)應不包圍原點。3.與G(s)H(s)相差為1。如果輔助函數(shù)F(s)的零點都具有負的實部，即都位于S平面左半部，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)便不穩(wěn)定。第93頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月94已知F(s)=1+G0(s)，s平面上的D形圍線在F平面上映射的有向閉曲線稱為在F平面的奈奎斯特圖。

F(s)平面上的原點即G0(s)平面上的(－1，j0)點(-1,j0)F(s)=1+G0(s)第94頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月95根據(jù)柯西復角原理，對于復變函數(shù)F(s)=1+G0(s)，當s平面上順時針沿D形圍線連續(xù)變化一周時，則在F平面上和G0(s)平面上的奈奎斯特圖逆時針包圍原點和(-1,j0)點N次。N=P―ZD0(s)=0的根，G0(s)在右半平面的極點，開環(huán)極點DC(s)=0的根，系統(tǒng)特征方程的極點，閉環(huán)極點注意：順時針轉N<0;逆時針轉N>0。P:在右半平面開環(huán)特征根數(shù);Z:在右半平面閉環(huán)特征根數(shù);N:在[G0]平面，從-

，幅相曲線繞（-1，j0)點逆時針轉過的圈數(shù)。第95頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月96

應用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性，需要繪制或者由實驗得到奈氏曲線，并確定奈氏曲線繞G0平面的（-1，j0）點的圈數(shù)N，在右半S平面的開環(huán)極點數(shù)P以及在右半S平面的閉環(huán)極點數(shù)Z=P-N。

1）確定P：開環(huán)傳遞函數(shù)在右半S平面的極點數(shù)P是容易看出的。對于最小相位系統(tǒng)，P=0。第96頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月97

2）確定N的方法:為了確定N,將奈氏曲線從平面的下半部穿過負實軸的段,到平面的上半部1次,定義為1次負穿越;反之,奈氏曲線從的上半部穿過負實軸的段,到平面的下半部1次,定義為1次

正穿越,如圖4.7所示。

[G0]0圖4.7正，負穿越-1負穿越正穿越第97頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月98若奈氏曲線正穿越次，負穿越次，則奈氏曲線繞平面的（-1，j0）點的圈數(shù)為：

3）奈氏曲線的畫法：因為奈氏曲線的精確形狀，對于N值的確定并不重要，所以，只要根據(jù)一些特征畫出奈氏曲線的大致形狀即可。事實上，要在的范圍內精確畫出奈氏曲線也是不可能的，因為通常有無窮大，顯然不可能畫無窮大的坐標圖。

第98頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月99開環(huán)頻率特性G0(jω)和奈奎斯特圖開環(huán)傳遞函數(shù)G0(s)，令s=jω，即開環(huán)頻率特性G0(jω)當ω由0∞(負頻部分無物理意義)幅頻特性相頻特性D形圍線（分為3段）在G0(s)平面上的映射就是系統(tǒng)在G0(s)平面上的奈奎斯特圖，也就是ω從-∞到+∞時系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線。wjsS平面D形圍線

-j

j半徑無限大123第99頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月100注意域的映射關系N=-2N=0第100頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月101Nyquist穩(wěn)定判據(jù)(在G0(s)平面上):必須使得Z=0(Z為不穩(wěn)定閉環(huán)特征根的個數(shù))。1.若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是Nyquist圖不包圍(-1,j0)點。（N=P－Z=0－0＝0)2.閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是N=P

(N=P－Z=P所以Z=0)3.如果Nyquist圖經(jīng)過(-1,j0)，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。4.如果Nyquist圖的w的變化范圍為0到＋∞，那么Z＝P－2N推論：若Nyquist圖順時針包圍(-1,j0)點，則系統(tǒng)一定不穩(wěn)定。(N=P－Z,若N<0，P不會為負值，則必有Z≥1)第101頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月102Nyquist圖畫法(示意圖)(1)特殊點例4-6已知開環(huán)傳遞函數(shù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性第102頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月103Nyquist判據(jù)(已知N,P求Z)P=0(由G0(s)表達式)N＝0(由Nyquist圖)因為N＝P－Z,所以Z=0，故系統(tǒng)穩(wěn)定。單調遞減單調遞減由正頻部分（Nyquist圖)負頻部分(與正頻對稱)(2)趨勢：第103頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月104單調變化與實軸有交點，為－7.9(分母有理化，按虛實部討論)例4-7畫Nyquist圖：第104頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月105Nyquist判據(jù)：N＝-2，P=0,N=P－Z，故Z=2。

因此，k=100時，有兩個極點在右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定。-7.9(-1,j0)本系統(tǒng)是否穩(wěn)定主要取決于奈氏曲線和實軸的交點是否小于－1。不穩(wěn)定可能穩(wěn)定所以經(jīng)計算可得，交點與k相關，k越大，交點的坐標離虛軸越遠。第105頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月106積分環(huán)節(jié)個數(shù)v=1從從從單調變化問題：N＝?

例4-8積分環(huán)節(jié)下的奈氏穩(wěn)定判據(jù)第106頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月107+=0w-=0weCBAq放大由于不能通過F(s)的奇點，所以改造D形圍線，增加第4部分，即以原點為圓心，無窮小為半徑的半園繞過虛軸上的極點（0，0）。這樣就把s=0的極點歸到左半平面4第107頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月108在原點附近令當從時ABCA’B’C’第108頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月109N＝0，P=0所以Z=0系統(tǒng)穩(wěn)定則上述的無窮小圓弧4映射為從0－到0＋順時針旋轉的無窮大圓弧，繞行的角度為π。依次類推，當v>1時，4部分將映射為繞行角度為的無窮大圓弧第109頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月110

s的第（4）部分無窮小半圓弧在GH平面上的映射為順時針旋轉的無窮大圓弧，旋轉的弧度為弧度。圖4-9（a）、（b）分別表示當

v=1和v=2時系統(tǒng)的奈氏曲線，其中虛線部分是

s的無窮小半圓弧在GH平面上的映射。虛軸上有開環(huán)極點時的奈氏軌跡時的奈氏曲線

s第110頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月111小結：積分環(huán)節(jié)數(shù)v=1在無窮遠處順時針繞行

v=2在無窮遠處順時針繞行

v=n在無窮遠處順時針繞行Nyquist判據(jù)：已知開環(huán)極點數(shù)P

積分環(huán)節(jié)數(shù)r

Nyquist圖繞(-1,j0)點N求閉環(huán)極點數(shù)Z意味必須已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)第111頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月112

應用奈氏判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性時，可能會遇到下列三種情況：(i)當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的全部極點都位于S平面左半部時（P=0），如果系統(tǒng)的奈氏曲線

不包圍GH平面的點（N=0），則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的（Z=P-N=0），否則是不穩(wěn)定的；（ii)當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有p個位于S平面右半部的極點時，如果系統(tǒng)的奈氏曲線逆時針包圍點的周數(shù)等于位于S平面右半部的開環(huán)極點數(shù)（N=P），則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的（Z=P-N=0），否則是不穩(wěn)定的；(iii)如果系統(tǒng)的奈氏曲線順時針包圍點（N<0），則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定（Z=P-N>0）。（iv）當

曲線恰好通過GH平面的點（注意不是包圍），此時如果系統(tǒng)無位于S平面右半部的開環(huán)極點，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。綜上，奈氏曲線

是否包圍GH平面的點是判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定的重要依據(jù)。第112頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月113作業(yè)P1114-4,4-7((b),(d)),

第113頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月1144.5.相對穩(wěn)定性相對穩(wěn)定性——穩(wěn)定裕度求穩(wěn)定裕度:解析法,奈氏曲線增加穩(wěn)定裕度的方法4.5.1相對穩(wěn)定性——穩(wěn)定裕度Routh判據(jù)和Nyquist判據(jù)給出系統(tǒng)絕對穩(wěn)定的信息，但穩(wěn)定程度如何，離不穩(wěn)定邊緣還有多遠？這是工程上最關心的。由此引出穩(wěn)定裕度

相對穩(wěn)定性——穩(wěn)定裕度幅值裕度相角裕度第114頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月115ImRe-1cwggw)j(Ggw0??ImRecwgw-1g)j(Ggw0??幅值穿越頻率對于奈氏曲線，在GH平面上，可以用奈氏曲線與(-1,j0)的靠近程度來表征系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。離(-1,j0)越近，穩(wěn)定程度越低。相位穿越頻率第115頁，課件共128頁，創(chuàng)作于2023年2月116其中，ωg為相位穿越頻率。其定義的含義：如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞系