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第五章平面向量、復(fù)數(shù)補上一課向量中的最值(范圍)問題平面向量中的范圍、最值問題是熱點問題,也是難點問題,此類問題綜合性強,體現(xiàn)了知識的交匯組合,其基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值,比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等,解決思路是建立目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)解析式,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,同時向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份,所以解決平面向量的范圍、最值問題的另外一種思路是數(shù)形結(jié)合.題型分析內(nèi)容索引分層精練鞏固提升題型一與系數(shù)有關(guān)的最值(范圍)問題A解析設(shè)BD,AE交于點O,因為DE∥AB,所以△AOB∽△EOD,
因為x>0,y>0,此類問題的一般解題步驟是第一步:利用向量的運算將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系;第二步:運用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)求其最值.感悟提升B解析由題意,以O(shè)為原點,OA為x軸的正向,建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè)C(cosθ,sinθ),0°≤θ≤120°,∵0°≤θ≤120°,∴30°≤θ+30°≤150°,∴當(dāng)θ=60°時,x+y的最大值為2,此時C為弧AB的中點.所以x+y的最大值是2.題型二與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問題A解析法一如圖,取A為坐標(biāo)原點,AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,數(shù)量積最值(范圍)的解法:(1)坐標(biāo)法,通過建立直角坐標(biāo)系,運用向量的坐標(biāo)運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題處理.(2)向量法,運用向量數(shù)量積的定義、不等式、極化恒等式等有關(guān)向量知識解決.感悟提升A解析取線段AB的中點O,連接OC,則OC⊥AB,以O(shè)為坐標(biāo)原點,OB,OC所在直線分別為x,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.題型三與模有關(guān)的最值(范圍)問題解析法一由題意可設(shè)a=(0,1),b=(2,0),c=(x,y),則a+b-2c=(2-2x,1-2y),由|a+b-2c|=1,可得(2-2x)2+(1-2y)2=1,
法二由|a|=1,|b|=2,a·b=0,求向量模的最值(范圍)的方法,通常有:(1)代數(shù)法,把所求的模表示成某個變量的函數(shù),或通過建立平面直角坐標(biāo)系,借助向量的坐標(biāo)表示;需要構(gòu)造不等式,利用基本不等式,三角函數(shù),再用求最值的方法求解;(2)幾何法(數(shù)形結(jié)合法),弄清所求的模表示的幾何意義,注意題目中所給的垂直、平行
,以及其他數(shù)量關(guān)系,合理的轉(zhuǎn)化,使得過程更加簡單;結(jié)合動點表示的圖形求解.感悟提升B題型四與夾角有關(guān)的最值(范圍)問題D解析因為平面向量a,b滿足|a-b|=3,|a|=2|b|,所以(a-b)2=a2-2a·b+b2=4b2-2a·b+b2=9,
因為0≤〈a-b,a〉≤π,求夾角的最值(范圍)問題要根據(jù)夾角余弦值的表達式,采用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)進行.感悟提升
當(dāng)st≤0時,(st-2)2≥4,當(dāng)st>0時,由2t+s=2,故s>0,t>0,極化恒等式拓展視野
解析設(shè)A,B,C三點所在圓的圓心為O,取AB中點D,因為A,B,C三點在圓上,所以CD長度最大為r+d,其中d為圓心O到弦AB的距離,
D解析法一以C為坐標(biāo)原點,CA,CB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略),則A(3,0),B(0,4).設(shè)P(x,y),
FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分層精練鞏固提升3A【A級
基礎(chǔ)鞏固】解析設(shè)a+b,c的夾角為θ,B解析由題設(shè),知a·b=0且(a+b)·(2a-b)=2a2-a·b+2a·b-b2=2a2-b2=2,當(dāng)|b|=0時等號成立,∴|a+b|min=1.CB解析因為點M在△ABC內(nèi)部(包括邊界),C又|c-a|=1,于是有|c-b|=|(c-a)+(a-b)|≤|c-a|+|a-b|=4,當(dāng)且僅當(dāng)c-a與a-b同向共線時取“=”,所以|c-b|的最大值為4.
CCC因為A,C不重合,所以-1≤cos∠AOC<1,所以cos∠AOC=-1,1又m,n∈[0,1],又向量a,b的夾角為θ,[-2,2]因為四邊形ABCD是邊長為2的菱形,且∠ABC=60°,所以∠BAD=120°,AB=AD=2,法二因為四邊形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,記AC,BD的交點為O,以O(shè)為坐標(biāo)原點,AC,BD所在直線分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.因為菱形ABCD的邊長為2,且∠ABC=60°,因為點P在線段BC上,B【B級
能力提升】C∵
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