補上一課 向量中的最值（范圍）問題

第五章平面向量、復(fù)數(shù)補上一課向量中的最值(范圍)問題平面向量中的范圍、最值問題是熱點問題，也是難點問題，此類問題綜合性強，體現(xiàn)了知識的交匯組合，其基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等，解決思路是建立目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，同時向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份，所以解決平面向量的范圍、最值問題的另外一種思路是數(shù)形結(jié)合.題型分析內(nèi)容索引分層精練鞏固提升題型一與系數(shù)有關(guān)的最值(范圍)問題A解析設(shè)BD，AE交于點O，因為DE∥AB，所以△AOB∽△EOD，

因為x＞0，y＞0，此類問題的一般解題步驟是第一步：利用向量的運算將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系；第二步：運用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)求其最值.感悟提升B解析由題意，以O(shè)為原點，OA為x軸的正向，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)C(cosθ，sinθ)，0°≤θ≤120°，∵0°≤θ≤120°，∴30°≤θ＋30°≤150°，∴當(dāng)θ＝60°時，x＋y的最大值為2，此時C為弧AB的中點.所以x＋y的最大值是2.題型二與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問題A解析法一如圖，取A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，數(shù)量積最值(范圍)的解法：(1)坐標(biāo)法，通過建立直角坐標(biāo)系，運用向量的坐標(biāo)運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題處理.(2)向量法，運用向量數(shù)量積的定義、不等式、極化恒等式等有關(guān)向量知識解決.感悟提升A解析取線段AB的中點O，連接OC，則OC⊥AB，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB，OC所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.題型三與模有關(guān)的最值(范圍)問題解析法一由題意可設(shè)a＝(0，1)，b＝(2，0)，c＝(x，y)，則a＋b－2c＝(2－2x，1－2y)，由|a＋b－2c|＝1，可得(2－2x)2＋(1－2y)2＝1，

法二由|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，求向量模的最值(范圍)的方法，通常有：(1)代數(shù)法，把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，或通過建立平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)表示；需要構(gòu)造不等式，利用基本不等式，三角函數(shù)，再用求最值的方法求解；(2)幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，注意題目中所給的垂直、平行

，以及其他數(shù)量關(guān)系，合理的轉(zhuǎn)化，使得過程更加簡單；結(jié)合動點表示的圖形求解.感悟提升B題型四與夾角有關(guān)的最值(范圍)問題D解析因為平面向量a，b滿足|a－b|＝3，|a|＝2|b|，所以(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4b2－2a·b＋b2＝9，

因為0≤〈a－b，a〉≤π，求夾角的最值(范圍)問題要根據(jù)夾角余弦值的表達式，采用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)進行.感悟提升

當(dāng)st≤0時，(st－2)2≥4，當(dāng)st＞0時，由2t＋s＝2，故s＞0，t＞0，極化恒等式拓展視野

解析設(shè)A，B，C三點所在圓的圓心為O，取AB中點D，因為A，B，C三點在圓上，所以CD長度最大為r＋d，其中d為圓心O到弦AB的距離，

D解析法一以C為坐標(biāo)原點，CA，CB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(3，0)，B(0，4).設(shè)P(x，y)，

FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分層精練鞏固提升3A【A級

基礎(chǔ)鞏固】解析設(shè)a＋b，c的夾角為θ，B解析由題設(shè)，知a·b＝0且(a＋b)·(2a－b)＝2a2－a·b＋2a·b－b2＝2a2－b2＝2，當(dāng)|b|＝0時等號成立，∴|a＋b|min＝1.CB解析因為點M在△ABC內(nèi)部(包括邊界)，C又|c－a|＝1，于是有|c－b|＝|(c－a)＋(a－b)|≤|c－a|＋|a－b|＝4，當(dāng)且僅當(dāng)c－a與a－b同向共線時取“＝”，所以|c－b|的最大值為4.

CCC因為A，C不重合，所以－1≤cos∠AOC＜1，所以cos∠AOC＝－1，1又m，n∈[0，1]，又向量a，b的夾角為θ，[－2，2]因為四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，AB＝AD＝2，法二因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，記AC，BD的交點為O，以O(shè)為坐標(biāo)原點，AC，BD所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.因為菱形ABCD的邊長為2，且∠ABC＝60°，因為點P在線段BC上，B【B級

能力提升】C∵