第15講信號與系統課件

信號與線性系統第15講教材位置:第6章連續(xù)時間系統的系統函數§6.6內容概要:系統的穩(wěn)定性信號與線性系統第15講開講前言-前講回顧系統函數的定義系統函數的表示方法頻率特性、復軌跡、極點零點圖重點介紹極零圖的表示方法系統函數極點零點分布與系統穩(wěn)定性右半平面極點系統不穩(wěn)定左半平面極點系統穩(wěn)定虛軸極點特殊考慮系統函數極點零點分布與系統頻率特性系統函數極點零點的矢量表示極點零點附近的幅度、相位特征9/17/20232信號與線性系統－第15講開講前言-前講回顧系統函數的定義8/7/20232信號與線性開講前言－本講導入系統穩(wěn)定性判斷的意義無源系統穩(wěn)定有源系統不一定穩(wěn)定有源反饋系統，穩(wěn)定性是設計中重要問題穩(wěn)定性的定義從直觀感性的認識到嚴格數學的定義穩(wěn)定性的判定響應形式的分析工程判定方法9/17/20233信號與線性系統－第15講開講前言－本講導入系統穩(wěn)定性判斷的意義8/7/20233信號§6.6系統的穩(wěn)定性1、系統的穩(wěn)定及其條件時域分析穩(wěn)定系統的定義：對于有限（有界）的激勵只能產生有限（有界）的響應。若|e(t)|Me0t<則|r(t)|Mr0t<其中Me和Mr為有限的正實數。根據卷積積分r(t)=h(t)e(t)

|r(t)|＝|h(t)e(t)|有限，所以也有限，于是對穩(wěn)定系統，沖激響應函數滿足絕對可積條件。|h(t)e(t)|Me=9/17/20234信號與線性系統－第15講§6.6系統的穩(wěn)定性1、系統的穩(wěn)定及其條件|h(t)§6.6系統的穩(wěn)定性頻域分析穩(wěn)定系統：若H(s)全部極點落于s左半平面（不含虛軸），則可以滿足，系統穩(wěn)定；不穩(wěn)定系統：若H(s)極點落于s右半平面或在虛軸上具有二階以上的極點，則在足夠長時間以后，h(t)仍繼續(xù)增長，系統是不穩(wěn)定的；臨界穩(wěn)定系統：若H(s)的極點位于s平面的虛軸上,且只有一階,則在足夠長時間以后,h(t)趨于一個非零的有限值或形成一個等幅振蕩,此為臨界穩(wěn)定系統。穩(wěn)定系統的一個重要性質穩(wěn)定系統的H(s)分子多項式的冪次m最多只能比分母多項式的冪次n高一次，即mn+1。若m>n，s在無窮大處有（m–n）階極點，而無窮大在虛軸上，穩(wěn)定系統在虛軸上不能有重階極點，故有m–n1，既得mn+1。9/17/20235信號與線性系統－第15講§6.6系統的穩(wěn)定性頻域分析8/7/20235信號與線性系統§6.6系統的穩(wěn)定性反饋系統E(s)G(s)=Y(s)[R(s)–H(s)Y(s)]G(s)=Y(s)R(s)G(s)=Y(s)[1+H(s)G(s)]這里T(s)是整個反饋系統的系統函數，G(s)H(s)為開環(huán)轉移函數。

G(s)H(s)R(s)+-E(s)Y(s)9/17/20236信號與線性系統－第15講§6.6系統的穩(wěn)定性反饋系統G(s)H(s)R(s)+-E§6.6系統的穩(wěn)定性2、通過轉移函數，初步判定系統的穩(wěn)定性穩(wěn)定系統的極點必須位于S的左半平面內極點位于虛軸上—稱為臨界穩(wěn)定.極點位于S右半平面上—不穩(wěn)定.穩(wěn)定系統在虛軸上只能有單階極點.在復變函數理論中,s=0,s=∞的點都落在虛軸上.當m>n時,s→∞時,虛軸上就會有m-n階極點,為保證系統穩(wěn)定m-n=1,只有一階極點。9/17/20237信號與線性系統－第15講§6.6系統的穩(wěn)定性2、通過轉移函數，初步判定系統的穩(wěn)定性8§6.6系統的穩(wěn)定性多項式分解，用系數判定系統的穩(wěn)定性（必要條件）將H(s)的分母D(s)多項式分解，穩(wěn)定系統只出現：(s+a)—實根，(s2+bs+c)—復根，(s2+d)—虛根。（a、b、c、d為正）多項式系數an～a0都應為正值(或全部為負值）D(s)多項式從最高次冪排列到最低次冪應無缺項，僅允許a0=0。此時有一零根－－系統臨界穩(wěn)定的必要條件若D(s)缺全部的偶次項(包括a0項)，或缺全部的奇次項。－－系統臨界穩(wěn)定的必要條件9/17/20238信號與線性系統－第15講§6.6系統的穩(wěn)定性多項式分解，用系數判定系統的穩(wěn)定性（必要§6.6系統的穩(wěn)定性特征多項式系數進行的判定是必要性判定不滿足上述條件的，系統肯定不穩(wěn)定滿足上述條件，系統不能保證穩(wěn)定舉例2s3+s2+s1+6=0符合第一條件，全部系數同號，沒有缺失項但是此方程的三個根分別為9/17/20239信號與線性系統－第15講§6.6系統的穩(wěn)定性特征多項式系數進行的判定是必要性判定8/§6.6系統的穩(wěn)定性3、羅斯---霍維茨(R—H)判據若D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0

D(s)方程式的根全部位于s左半平面的必要條件是：多項式的全部系數都是正值（或均為負值）且無缺項.充分必要條件是：羅斯陣列中第一列數字（或稱元素）符號相同。羅斯陣列的排寫規(guī)則：（1）將D(s)的所有系數按如下順序排成兩行。anan-1an-2an-3an-4an-5an-6an-7依此類推排到a0止9/17/202310信號與線性系統－第15講§6.6系統的穩(wěn)定性3、羅斯---霍維茨(R—H)判據a§6.6系統的穩(wěn)定性（2）羅斯陣列SnAnBnCnDn------Sn-1An-1Bn-1Cn-1Dn-1----Sn-2An-2Bn-2Cn-2-----

----Sn-3An-3Bn-3Cn-3----------S2A2B20S1A100S0A000頭兩行為An=an,An-1=an-1,Bn=an-2,Bn-1=an-3,Cn=an-4,---------下面各行按如下公式計算：11121112112------------=-=-=nnnnnnnnnnnnnnn-1nnnADADACACACABABABAA---9/17/202311信號與線性系統－第15講§6.6系統的穩(wěn)定性（2）羅斯陣列SnAn§6.6系統的穩(wěn)定性這樣構成的陣列共有（n+1）行，且最后兩行都只有一個元素。第一列稱為羅斯數列。觀察羅斯陣列中第一列數字有無符號變化，若有，則系統不穩(wěn)定；反之，系統是穩(wěn)定的。羅斯定理：在羅斯數列中，若各數字符號不盡相同，則順次計算符號變化的次數等于方程所具有的實部為正的根數。221123221123-------------=-=nnnnnnnnnnnnACACABABABAA--各元素的一般遞推式為iiiiiiiiiiiiACACABABABAA111111++-++--=-=--9/17/202312信號與線性系統－第15講§6.6系統的穩(wěn)定性這樣構成的陣列共有（n+1）行，且最后兩§6.6系統的穩(wěn)定性例題：判斷下列方程是否有實部為正的根。解：該方程的羅斯陣列為可見方程有兩個具有正實部的根，且可判定此特征方程對應的系統不穩(wěn)定。2s3+s2+s+6=0S321S216S1-110s0609/17/202313信號與線性系統－第15講§6.6系統的穩(wěn)定性例題：判斷下列方程是否有實部為正的根。2§6.6系統的穩(wěn)定性例題：有反饋系統如圖所示，其中H(s)=1時，稱為全反饋。問K為何值系統穩(wěn)定？解：該反饋系統的系統函數為

G(s)H(s)R(s)+-E(s)Y(s)9/17/202314信號與線性系統－第15講§6.6系統的穩(wěn)定性例題：有反饋系統如圖所示，其中G(s)§6.6系統的穩(wěn)定性所以，系統的特征方程為：它的羅斯陣列為：分析陣列知系統穩(wěn)定條件為：合并兩個不等式，得到s3+5s2+4s+K=0S314S25K0S0K0S1>0及K>00<K<209/17/202315信號與線性系統－第15講§6.6系統的穩(wěn)定性所以，系統的特征方程為：s3+5s§6.6系統的穩(wěn)定性4、羅斯陣列排寫過程的兩種特殊情況（1）羅斯陣列中出現某一行的第一列元素為零（即Ai=0），而其余元素又不全為零。例：s5+s4+4s3+4s2+2s+1=0求解：S5142S4142S3010此行用ε10來代替010，ε10繼續(xù)排列羅斯表S210S100S0100符號改變9/17/202316信號與線性系統－第15講§6.6系統的穩(wěn)定性4、羅斯陣列排寫過程的兩種特殊情況符號改§6.6系統的穩(wěn)定性（2）羅斯陣列未排完時出現某一行元素全部為零，系統不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定，具體確定還要采用輔助多項式分析。全零行前一行的元素組成輔助多項式輔助多項式的導數的系數代替全零行再繼續(xù)排列羅斯陣列增加判斷虛軸上面的極點是否單極點，才能最后決定系統穩(wěn)定性例題：D(s)=s3+4s2+2s+8=0S312S248S100利用全零行上一行系數組成輔助多項式80P(s)=4s2+8求導得到P’(s)=8s+0S08解P(s)=0，得到s=±jR－H數列無符號變化，S右半平面無極點，虛軸上面為共軛單極點系統臨界穩(wěn)定29/17/202317信號與線性系統－第15講§6.6系統的穩(wěn)定性（2）羅斯陣列未排完時出現某一行元素全部本講小結穩(wěn)定性定義穩(wěn)定性時域分析沖擊響應滿足絕對可積條件穩(wěn)定性復頻域分析系統函數極點在復頻域位置與系統穩(wěn)定根據系統函數判斷穩(wěn)定性特征方程系數與系統穩(wěn)定的必要性條件R-H判斷方法系統穩(wěn)定性的充要條件9/17/202318信號與線性系統－第15講本講小結穩(wěn)定性定義8/7/202318信號與線性系統－第15信號與線性系統第