廣東省江門市臺山市名校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（Word版含答案）

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數(shù)學(xué)參考答案

1~8DBBACBAC9.ACD10.ABC11.BCD12.BC

13.14.15.16.

3.解：由方程有正實數(shù)根，則等價于函數(shù)有正零點，

由二次函數(shù)的對稱軸為，則函數(shù)只能存在一正一負的兩個零點，

則，解得，，

”是“方程有正實數(shù)根”的必要不充分條件．故選：．

6.解：若小王在號路口，小李在號路口，則剩余個人分到兩個路口，

兩個路口為人分布，共有種方案，

兩個路口為人分布，共有種方案，此時共有種方案；

同理若小王在號路口，小李在號路口，也共有種方案．

所以一共有種不同的安排方案種數(shù)．故選：．

7.解：當(dāng)時，設(shè)，則，

則在上單調(diào)遞增，所以，

可得，可得，即

，

設(shè)，則，因為，

當(dāng)時，．所以在上單調(diào)遞增，所以，即，

所以．故選A．

8.解：令，則在上單調(diào)遞減

令，則．

由，得或

由，得，

所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

于是，的極大值為，極小值為．

在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)和的圖象，如下圖：

顯然由，得由的解析式，得

若，當(dāng)時，，不符合題意

若，當(dāng)時，，不符合題意

若，

時，

當(dāng)時，，即

由，時符合題意．

此時，結(jié)合圖象可知，當(dāng)時，在上沒有零點，在上有個零點

當(dāng)時，在上有個零點，在上有個或個零點．

綜上，最多有個零點．故選C．

9.【答案】

解：項：由圖可知眾數(shù)為，故A正確；

項：均值為，故B錯誤

項：占比，占比，占比，占比為，

，，所以中位數(shù)為，故C正確；

項：成績大于或等于的占比為，

所以全部大一新生中有資格的約為人，故D正確．故選ACD．

10.【答案】

解：，一定成立

，一定成立

又，故，一定成立

令，，即可推得不一定成立．故選ABC．

11.【答案】

解：兩個變量的相關(guān)系數(shù)為，則越小，與之間的相關(guān)性越弱，A錯誤；

B.設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，則，若，則，B正確；

C.在回歸分析中，越接近于，模型的擬合效果越好，所以為的模型比為的模型擬合的更好，C正確；

D.某人在次答題中，答對題數(shù)為，，則數(shù)學(xué)期望，說明答對題的概率最大，D正確．

另解：假設(shè)答對題的概率最大，則，解得，因為，故，即答對題的概率最大，D正確．故選：．

12.【答案】

解：由函數(shù)，

令，則，可得，

可得，

所以為偶函數(shù)，即函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，

又由，令，

可得，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，且，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增，即時，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，即時，單調(diào)遞減，

由不等式，可得，即

所以不等式恒成立，即恒成立，

所以的解集為，所以且，

解得，結(jié)合選項，可得適合．故選：．

13.【答案】

解：由題知命題的否定“，”是真命題．

令，

則解得，故實數(shù)的最大值為．故答案為：．

14.【答案】

解：由，

設(shè)與的夾角為，則，

因為，所以．故答案為：．

15.【答案】

解：，，成等差數(shù)列，，

即，．故答案為．

16.【答案】

解：用和分別表示取一人是來自甲學(xué)院與乙學(xué)院，表示抽取一人恰好是女生，

則根據(jù)已知有，，且，，

所以．故答案為．

17.【答案】解：根據(jù)正弦定理，，．

可得；

當(dāng)時，由，

，，角為銳角，，

在中，

，

．

18.【答案】解：，

則，得．

由題意，可得曲線在點處的切線方程為，即；

由已知得，又由知，所以．

故，，，

由，得或由，得，

故在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和單調(diào)遞減區(qū)間為

19.【答案】證明：取的中點，連接，．

，．

又平面平面，且平面平面，平面，

平面，而平面，則．

在菱形中，，為等邊三角形，

的中點為，，

，

，，平面，

平面，

平面，C.

由平面，，平面，

，，又，

以，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

，，．

設(shè)平面的法向量為，

由，取，得．

設(shè)平面的法向量為，

由，取，得．

設(shè)二面角的大小為，由圖可知為鈍角，

，則．

二面角的正弦值為．

20.【答案】解：，

，

數(shù)列為首項為，公比為等比數(shù)列

由可得

即

而隨著的增大而增大

要使，即，則

的最小值為．

21.【答案】解：橢圓：與軸的正半軸相交于點，點，為橢圓的焦點，且是邊長為的等邊三角形，

，，，

橢圓：

聯(lián)立，得，

，解得或，

設(shè)，，則，，

．

直線，的斜率之積為定值．

，

到直線：的距離，

的面積

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的面積取最大值．

22.【答案】解：由題意可知的可能取值有、、、，

，，

，

所以隨機變量的分布列如下表所示：

所以；

他們在每輪答題中取得勝利的概率為：

，

由，，，得，

則，因此，

令，，

于是當(dāng)時，，

要使答題輪數(shù)取最小值，則每輪答題中取得勝利的概率取最大值，

設(shè)他們小組在輪答題中取得勝利的次數(shù)為，則，，

由，即，解得，

而，則，

所以理論上至少要進行輪答題．臺山市名校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考

數(shù)學(xué)試題

一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.設(shè)集合，，則()

A.B.C.D.

2.已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則()

A.B.C.D.

3.“”是“方程有正實數(shù)根”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知，則的最小值為()

A.B.C.D.

5.的展開式中含的系數(shù)是()

A.B.C.D.

6.年某地馬拉松于月日舉行，組委會決定派小王、小李等名志愿者到甲乙兩個路口做引導(dǎo)員，每位志愿者去一個路口，每個路口至少有兩位引導(dǎo)員，若小王和小李不能去同一路口，則不同的安排方案種數(shù)為()

A.B.C.D.

7.設(shè)，，，則()

A.B.C.D.

8.設(shè)函數(shù)的值域為，若，則的零點個數(shù)最多是()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20分。在每小題有多項符合題目要求）

9.《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》是國家學(xué)校教育工作的基礎(chǔ)性指導(dǎo)文件和教育質(zhì)量基本標(biāo)準(zhǔn)，它適用于全日制普通小學(xué)、初中、普通高中、中等職業(yè)學(xué)校、普通高等學(xué)校的學(xué)生，某高校組織名大一新生進行體質(zhì)健康測試，現(xiàn)抽查大一新生的體測成績，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組區(qū)間為，，，，，則下列說法正確的是()

A.估計該樣本的眾數(shù)是

B.估計該樣本的均值是

C.估計該樣本的中位數(shù)是

D.若測試成績達到分方可參加評獎，則有資格參加評獎的大一新生約為人

10.已知非零實數(shù)，滿足，則下列不等關(guān)系一定成立的是()

A.B.C.D.

11.下列關(guān)于概率統(tǒng)計說法中正確的是．()

A.兩個變量的相關(guān)系數(shù)為，則越小，與之間的相關(guān)性越弱

B.設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則

C.在回歸分析中，為的模型比為的模型擬合的更好

D.某人在次答題中，答對題數(shù)為，，則答對題的概率最大

12.已知函數(shù)，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值可能是()

A.B.C.D.

三、填空題（本大題共4小題，共20分）

13.若命題“”是假命題，則實數(shù)的最大值為．

14.已知向量滿足，則與的夾角為．

15.已知，為橢圓的兩個焦點，為上一點，若，，成等差數(shù)列，則的離心率為．

16.某大學(xué)決定從甲、乙兩個學(xué)院分別抽取人、人參加演出活動，其中甲學(xué)院中女生占，乙學(xué)院中女生占從中抽取一人恰好是女生的概率為．

四、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

在中，，．

求的值；

若，求的面積

18.本小題2分

設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，已知，且的圖象經(jīng)過點．

求曲線在點處的切線方程；

求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間．

19.本小題分

已知圖是由等腰直角三角形和菱形組成的一個平面圖形，其中菱形邊長為，，將三角形沿折起，使得平面平面如圖．

求證：；

求二面角的正弦值．

20.本小題2分

已知數(shù)列的首項，且滿足，設(shè)．

求證：數(shù)列為等比數(shù)列

若，求滿足條件的最小正整數(shù)．

本小題分

已知橢圓：與軸的正半軸相交于點，點，為橢圓的焦點，且是邊長為的等邊三角形，若直線：與橢圓交于不同的兩點、．

直線，的斜率之積是否為定值；若是，請求出該定值．若不是．請說明理由．

求的面積的最大值．

22.本小題分

“英才計劃”最早開始于年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實施，到年已經(jīng)培養(yǎng)了多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從武漢市的中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、信息技術(shù)學(xué)科夏令營活動．

若化學(xué)組的名學(xué)員中恰有人來自同一中學(xué)