第九章 三重積分及應(yīng)用

第九章重積分

知識總結(jié)二重積分的計算三重積分的計算重積分的運用二.三重積分的計算1、投影法(“先單后重”“先一后二”)2、截面法(“先重后單”“先二后一”)3、柱坐標(biāo)代換4、球坐標(biāo)代換5、利用三重積分的對稱性關(guān)鍵：正確的判斷上、下曲面;找對投影區(qū)域.1、投影法

(“先單后重”“先一后二”)方法一:根據(jù)圖形:方法二:根據(jù)方程:②投影區(qū)域可由含z的某曲面與其它曲面交線的投影曲線所圍。即：可選定一個含z的方程然后再和其它所有方程（包含柱面方程和另一個含z的方程）相交。①利用平行于z軸的直線穿曲面，穿出和穿入點就對應(yīng)上、下曲面，注：中間所夾立體的邊界應(yīng)為柱面。②投影點的全體即為投影區(qū)域。①已給邊界曲面方程中含z的若只有兩個，則其必分別為上、下曲面,其它不含z的方程必對應(yīng)柱面。例.計算積分其中

由曲面法一:

積分域為原式及平面所圍.例.計算積分其中

由曲面法二:原式及平面所圍.找上下半曲面：找投影區(qū)域：適用范圍：積分區(qū)域介于兩個平行于坐標(biāo)面的平面之間;在平行于坐標(biāo)面的截面上二重積分易算典型題目：被積函數(shù)只為某一變量的函數(shù);且截面面積易求2、截面法(“先重后單”“先二后一”)例(截面法):計算積分其中是兩個球(R>0)的公共部分.提示:

被積函數(shù)缺x,y原式=①柱面坐標(biāo)本質(zhì)：投影法中的二重積分利用了極坐標(biāo)計算3、柱坐標(biāo)代換②柱面坐標(biāo)適用范圍：例.

計算三重積分解:

在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中

由拋物面原式=就稱為點M

的球坐標(biāo).4、球坐標(biāo)代換確定r,

,

的變化范圍的方法:例.例.所圍立體.與球面例.由球面x2+y2+z22Rz=0和圓錐面cot2

(x2+y2)=z2圍成的立體。0yzx

x2+y2+z22Rz=0:

r=2Rcos

cot2

(x2+y2)=z2:

=.0r2Rcos

0

2

，0

例.解:兩球面方程分別為:r=b和r=a,(a<b).0ar=azyxbr=b例(球坐標(biāo)法):計算積分其中是兩個球(R>0)的公共部分.提示:原式=或=例(球坐標(biāo)法)的公共部分.解:對稱性或=例(球坐標(biāo)法):計算積分例.解:

在球坐標(biāo)系下利用洛必達(dá)法則與導(dǎo)數(shù)定義,得其中5、

利用三重積分的對稱性當(dāng)區(qū)域關(guān)于yoz軸對稱,函數(shù)關(guān)于x有奇偶性時,當(dāng)區(qū)域關(guān)于xoz軸對稱,函數(shù)關(guān)于y有奇偶性時,仍有類似結(jié)果.例.計算其中解:利用對稱性重積分計算的基本方法1.選擇合適的坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡潔或變量分離.2.選擇易計算的積分序積分域分塊要少,累次積分易算為妙.根據(jù)圖形根據(jù)方程3.掌握確定積分限的方法——

累次積分法小結(jié)：三、重積分的應(yīng)用1.幾何方面面積(平面域或曲面域),體積,形心質(zhì)量,轉(zhuǎn)動慣量,質(zhì)心,引力證明某些結(jié)論等2.物理方面3.其它方面注：一定要用對稱性結(jié)論一、幾何方面

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

的立體的體積為例.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:

設(shè)由對稱性可知的面積公式：曲面的面積公式：曲面的面積公式：曲面曲面的面積注：如果圖不好畫則可根據(jù)方程：1．先利用對稱性：所有方程中若某個變量都是平方形式，則圖形一定關(guān)于相應(yīng)坐標(biāo)面對稱，利用對稱性后只需考慮正半部分2．求投影區(qū)域應(yīng)利用所求曲面和其它相交含于球面例.

求圓柱面部分的面積.分析：找投影區(qū)域：例.計算雙曲拋物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影為則出的面積A.二、物體的質(zhì)心設(shè)空間有n個質(zhì)點,其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點系的質(zhì)心坐標(biāo)分別位于為為若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,(S為D

的面積)得D

的形心坐標(biāo):可導(dǎo)出則它的質(zhì)心坐標(biāo)為:其面密度采用“分割,