2020-2021學年華東師大版初中數(shù)學全部知識點大全

七年級上

第二章有理數(shù)

I比較切

1.相反意義的量向東和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，買進和賣出。

2.正數(shù)和負數(shù)

1

像+一，+12,1.3,258等大于0的數(shù)（“+”通常不寫）叫正數(shù)。

2

3

像-5,-2.8,-一等在正數(shù)前面加“一”（讀負）的數(shù)叫負數(shù)。

4

【注】0既不是正數(shù)也不是負數(shù)。

3.有理數(shù)

（1）整數(shù)：正整數(shù)、零和負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。

分數(shù)：正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù)。

有理數(shù)：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。

（2）有理數(shù)分類

1）按有理數(shù)的定義分類2）按正負分類

廠f正整數(shù)‘正整數(shù)

整數(shù)《0

正有理數(shù)T

有理數(shù)乂〔負整數(shù)

有理數(shù)、正分數(shù)

二負整數(shù)

正分數(shù)0

負有理數(shù)T

K負分數(shù)一負分數(shù)

1

4.數(shù)軸

(1)規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。

【注】1)數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度缺一不可。

2)數(shù)軸能形象地表示數(shù)，所有的有理數(shù)都可用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點所表示的數(shù)并不都是有理數(shù).

(2)在數(shù)軸上比較有理數(shù)的大小

1)在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

2)由正、負數(shù)在數(shù)軸上的位置可知：正數(shù)都有大于0,負數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負數(shù)。

5.相反數(shù)

(1)只有符號不同的兩個數(shù)稱互為相反數(shù)，如一5與5互為相反數(shù)。

(2)從數(shù)軸上看，位于原點兩旁，且與原點距離相等的兩點所表示的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。(幾何意義)

(3)0的相反數(shù)是0。也只有0的相反數(shù)是它的本身。

(4)相反數(shù)是表示兩個數(shù)的相互關(guān)系，不能單獨存在。

(5)數(shù)a的相反數(shù)是一a。

(6)多重符號化簡

多重符號化簡的結(jié)果是由“一”號的個數(shù)決定的。如果“一”號是奇數(shù)個，則結(jié)果為負；如果是偶數(shù)個，則結(jié)果為

正?？珊唽憺椤捌尕撆颊?/p>

6.絕對值

(1)在數(shù)軸上表示數(shù)a的點離開原點的距離，叫做數(shù)a的絕對值。

(2)一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零.

a,a>0

|a|-<0,a=0

-a,a<0

(3)絕對值的主要性質(zhì)

一個數(shù)的絕對值是一個非負數(shù)，即a>0,因此，在實數(shù)范圍內(nèi)，絕對值最小的數(shù)是零.

(4)兩個相反數(shù)的絕對值相等.

(5)運用絕對值比較有理數(shù)的大小

兩個負數(shù)，絕對值大的反而小.

(6)比較兩個負數(shù)的方法步驟是：

1)先分別求出兩個負數(shù)的絕對值;

2

2)比較這兩個絕對值的大小；

3)根據(jù)“兩個負數(shù)，絕對值大的反而小'’作出正確的判斷.

7.有理數(shù)的加法

(1)有理數(shù)加法法則

1)同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

2)絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。

3)互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得零。

4)一個數(shù)與0相加，仍得這個數(shù)。

(2)有理數(shù)加法的運算律

加法交換律：a+b=b+a

加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

8.有理數(shù)的減法

減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

a-b=a+(-b)

9.有理數(shù)的加減混合運算

(1)省略加號和的形式：在一個和式里，通常把各個加數(shù)的括號和它前面的加號省略不寫。例如：把-8+(+10)

+(-6)+(-4)寫成省略加號和的形式為-8+10-6-4。讀作“負8,正10,負6,負4的和”也可讀作“負8加10

減6減4。

(2)適當?shù)膽?yīng)用加法運算律。

10.有理數(shù)的乘法

(1)有理數(shù)的乘法法則

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；任何數(shù)與零相乘都得零。

(2)幾個不等于零的數(shù)相乘，積的正負號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負號的個數(shù)為奇數(shù)時，積為負；當負號的個

數(shù)為偶數(shù)時，積為正。

幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為零，積就為零。

(3)乘法運算律

乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)分配律：a(b+c)=ab+ac

11.有理數(shù)的除法

(1)倒數(shù)：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。【注】0沒有倒數(shù)。

(2)有理數(shù)除法法則1：除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。

3

【注】0不能做除數(shù)。

a+b=a」(b*0)

b

12.有理數(shù)的乘方

(1)求幾個相同因數(shù)積的運算，叫做乘方。

a'a'a......a=an

n個

(2)乘方的結(jié)果叫做幕，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。

(3)有理數(shù)乘方法則：

正數(shù)的任何次基都是正數(shù)，負數(shù)的奇次基是負數(shù)，負數(shù)的偶次基是正數(shù)，0的任何非0次暴都是零。

13.科學記數(shù)法

(1)一般的，10的n次幕，在1的后面有n的0。

(2)一個大于0的數(shù)就記成axlO"的形式。其中1<10,n是正整數(shù)。像這樣的記數(shù)法叫做科學記數(shù)法。

(3)用科學記數(shù)法表示一個數(shù)時，10的指數(shù)等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減k(或等于小數(shù)點向右移動的位數(shù)。

4

第三章整式的加減

1.用字母表示數(shù)

3.單項式

(1)如100t、6a、2.5x、vt、-n,它們都是數(shù)或字母的積，像這樣的式子叫做單項式，單獨的一個數(shù)或一個

字母也是單項式。

(2)單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)。

(3)單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。

【注】1)當一個單項式的系數(shù)是1或-1時，“1”通常省略不寫。

2)單項式的系數(shù)是帶分數(shù)時，通常寫成假分數(shù)。

4.多項式

(1)幾個單項式的和，叫做多項式。其中每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項。

(2)多項式的次數(shù)：多項式里次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。

2

(3)一個多項式含有幾項，就叫幾項式；例如：x+2x+18是一個二次三項式。

【注】1)多項式的次數(shù)不是所有項的次數(shù)和。

2)多項式的每一項都包括它前面的正負號。

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6.升基排列與降基排列

為便于多項式的運算，可以用加法交換律將多項式各項的位置按某個字母的指數(shù)的大小順序重新排列。若

按某個字母的指數(shù)從大到小的順序排列，叫做這個多項式按這個字母降基排列。

若按某個字母的指數(shù)從小到大的順序排列，叫做這個多項式按這個字母升累排列。

(3)角的分類

銳角0°v/a<9(T

直角Za=90°

鈍角90°<Za<180°

平角Za=180°

周角Za=360"

(5)角的度量

1周角=360°1平角=180°1°=601=60”。

第五章相交線和平行線

直線1截直線a、b得到八個角。

—

b^5/

7

同位角：如/I與/5,N2與N6,N3與N7,/4與/8。

內(nèi)錯角：如N5與23,N6與N4。

同旁內(nèi)角：如N3與N6,24與N5。

(4)平行線的判定

同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

6

(5)平行線的性質(zhì)

兩直線平行，同位角相等兩直線平行，內(nèi)錯角相等兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

七年級下

第六章一元一次方程

1.解一元一次方程

(2)移項將方程的某些項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊的變形叫做移項。

(3)一元一次方程：一個未知數(shù)，是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1

(4)解一元一次方程的一般過程

去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1

第七章一次方程組

(1)代入消元法

代入消元，即將變形后的關(guān)系式代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程。

解這個一元一次方程，求出未知數(shù)的值。

回代求解，即將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個未知數(shù)的值。

{x-a

把求得的未知數(shù)的值聯(lián)立寫成\,的形式。

?y=b

(2)加減消元法

[x-a

把求得的未知數(shù)的值聯(lián)立寫成\,的形式。

[y=b

7

第八章兀次不等式

1.不等式

用不等號或表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。

【注】常見的不等號有：“4"、五種。

2.不等式的解

能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

3.不等式的解集

一個不等式的所有解，組成這個不等式的解的集合，簡稱為這個不等式的解集。

【注】不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀的表示出來，大于向右，小于向左，有等號畫實心圓，無等號畫空心圓。

x>ax<a

4.不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)1不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變。

如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c?

性質(zhì)2不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。

如果a>b,并且c>0,那么ac>bc。

性質(zhì)3不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變。

如果a>b,并且c<0,那么ac<bc。

5.一元一次不等式

一個未知數(shù)，是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1

6.一元一次不等式的解法

乘以或除以的數(shù)是負數(shù)，不等號需要改變方向。

7.一元一次不等式組把兩個一元一次不等式和在一起，就得到了一元一次不等式組。解

集的確定方法

口訣：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小解不見。

8

第九章多邊形

三角形的分類

(1)按內(nèi)角的大小分類

‘直角三角形

三角形T

、斜三角町銳角三角形

［鈍角三角形

(2)按邊分類

‘不等邊三角形

三角形一

、等腰三角形r等邊三角形(正三角形)

［底和腰不相等的等腰三角形

3.三角形的三種重要線段

(1)三角形的角平分線

三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。

(2)三角形的中線

在三角形里，連結(jié)一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線。

(3)三角形的高線

從三角形的一個頂點向它的對邊引垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高線。

4.三角形內(nèi)外角關(guān)系

(1)三角形的內(nèi)角和是180°

(2)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。

(3)三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角。

(5)三角形的外角和是360°。

5.三角形的三邊關(guān)系

(1)三角形的任意兩邊之和大于第三邊。

(2)三角形的任意兩邊之差小于第三邊。

6.多邊形

(1)一般的，在一個平面內(nèi)，有n條不在一條直線上的線段首尾順次相接組成的圖形叫做n邊形，又稱為多邊

形。

〃(〃一3)

(2)從n邊形的一個頂點出發(fā)，可以引出(n-3)對角線。所有對角線的數(shù)量是一-

2

(4)n邊形的內(nèi)角和是(〃一2>180°。

(5)任意多邊形的外角和是360°。

9

7.用正多邊形拼地板

（2）鋪滿平面的條件

當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角時，就拼成了一個平面圖形。用相同

的正多邊形進行鑲嵌時，可以實現(xiàn)鑲嵌的正多邊形有正方形、正三角形、正六邊形。

第十章軸對稱平移與旋轉(zhuǎn)

1.軸對稱圖形

如果一個圖形沿著某條直線對折，對折的兩部分是完全重合的，我們稱這樣的圖形為軸對稱圖形，這條直線

叫做這個圖形的對稱軸。

【注】一個軸對稱圖形的對稱軸不一定只有一條。

2.軸對稱

把一個圖形沿著某一條直線翻折過去，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形成軸對稱，這條直

線就是對稱軸，兩個圖形中的對應(yīng)點（即兩個圖形重合時互相重合的點）叫做對稱點。

3.軸對稱的性質(zhì)

（1）軸對稱圖形（或關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形）沿對稱軸折疊后兩部分是完全重合的，所以它的對應(yīng)線段

相等，對應(yīng)角相等。

（2）關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。

（3）如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線。

（4）如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一直線垂直平分，那么，這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱。

4.簡單的軸對稱圖形一一線段和角

（1）垂直平分線：把垂直并且平分一條線段的直線稱為這條線段的垂直平分線。垂直平分線又稱為中垂線。

（2）垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。

（3）線段的對稱軸是本身所在的直線和它的垂直平分線。

（4）角的對稱軸是它的角平分線所在的直線。

（5）角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

5.畫軸對稱圖形

（1）畫某點關(guān)于某條直線的對稱點的方法

1）過已知點作已知直線的垂線，標出垂足。

2）在這條直線的另一側(cè)從垂足出發(fā)截取與已知點到垂足距離相等的線段，那么截點就是這點關(guān)于該直線的對

稱點。

（2）畫已知圖形關(guān)于某直線的對稱圖形

1）畫出圖形的特殊點的對稱點

2）連結(jié)對稱點，即可。

6.等腰三角形

（1）兩條邊相等的三角形叫等腰三角形。相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和

底邊的夾角叫做底角。

（2）等腰三角形的性質(zhì)

1）等腰三角形是軸對稱圖形，其頂角的平分線，底邊的高線，底邊的中線所在的直線是對稱軸。

2）等腰三角形兩底角相等。（等邊對等角）。

3）等腰三角形的頂角的平分線，底邊的高線，底邊的中線重合。（三線和一）。

10

7.等邊三角形

(1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形。(正三角形)。

(2)等邊三角形的性質(zhì)

1)等邊三角形的各個內(nèi)角都相等，并且每一個內(nèi)角都等于60°。

2)等邊三角形是特殊的等腰三角形，有三條對稱軸。

(3)等邊三角形的判定

1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形。

2)三個角都相等的三角形是等邊三角形。

3)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

1.平移：圖形的平行移動，簡稱為平移。它由移動的方向和距離所決定。

如下圖：把點A與點A'叫做對應(yīng)點，把線段AB與線段A'B'叫做對應(yīng)線段，NA與NA'叫做對應(yīng)角。4ABC

平移的方向就是由點B到點B'的方向，平移的距離就是線段86'的長度。

2.平移的特征

(1)平移后的圖形與原來的圖形的對應(yīng)線段平行并且相等，圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化。

【注】在平移過程中，對應(yīng)線段也可能在一條直線上。

(2)平移后對應(yīng)點所連的線段平行并且相等。

【注】在平移過程中，對應(yīng)點所連的線段也可能在一條直線上。

3.旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)某一個或幾個基本的圖形繞一個定點沿某一個方向(順時針或逆時針)轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖

形運動叫做旋轉(zhuǎn)，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，這個角度叫做旋轉(zhuǎn)角。顯然，旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)過程中保持不動，圖形的

旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)的角度、旋轉(zhuǎn)的方向所決定。

4.旋轉(zhuǎn)的特征

(1)圖形中每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心按同一旋轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)同樣大小的角度。

(2)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心距離相等。對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。

(3)圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化。

5.旋轉(zhuǎn)對稱圖形

如果一個圖形繞著某一定點旋轉(zhuǎn)一定角度后能與自身重合，那么這種圖形就叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，其中的定點叫

做旋轉(zhuǎn)對稱圖形的旋轉(zhuǎn)中心。

6.中心對稱

(1)在平面內(nèi)，一個圖形繞著中心點旋轉(zhuǎn)180°后，與自身重合，我們把這種圖形叫做中心對稱圖形.這個中心

點叫做對稱中心。

【注】中心對稱圖形是旋轉(zhuǎn)角度為180°的旋轉(zhuǎn)對稱圖形。

(2)把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°,如果它能夠和另一個圖形重合，那么，我們就說這兩個圖形成中心對稱。，這

個點叫做對稱中心，這兩個圖形的對應(yīng)點，叫做關(guān)于中心的對稱點。

7.中心對稱的特征

(1)在成中心對稱的兩個圖形中，連結(jié)對稱點的線段都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。反過來，如果兩

個圖形的所有對稱點連成的的線段都經(jīng)過某一點，并且都被該點平分，那么這兩個圖形一定關(guān)于這一點成中心對

11

稱。

(2)在成中心對稱的兩個圖形中，對應(yīng)線段平行且相等或在同一條直線上且相等，對應(yīng)角相等。

8.圖形的全等

(1)能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形。

(2)一個圖形經(jīng)過翻折、平移和旋轉(zhuǎn)等變換所得到的新圖形一定與原圖形全等；反過來，兩個全等的圖形經(jīng)過

上述變換后一定能夠互相重合。

(3)全等多邊形經(jīng)過變換而重合，互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點。相互重合的邊叫做對應(yīng)邊。相互重合的角叫

做對應(yīng)角。

(4)符號“三”表示全等，讀作“全等于”

(5)全等多邊形的性質(zhì)

全等多邊形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。

(6)判斷全等多邊形全等的方法

邊、角分別對應(yīng)相等的兩個多邊形全等。

(7)全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。

(8)如果兩個三角形的邊、角分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等。

第十一章體驗不確定現(xiàn)象

1.可能還是確定

(1)必然事件無需通過實驗就能夠預(yù)先確定他們在每一次試驗中都一定發(fā)生的事件。發(fā)生的機會100%。

不可能事件在每一次實驗中都一定不會發(fā)生的事件。發(fā)生的機會是0

確定事件指必然事件和不可能事件。

不確定事件(隨機事件)無法預(yù)先確定在一次實驗中會不會發(fā)生的事件。發(fā)生的機會在0到100%之間。

(2)區(qū)別“很有可能發(fā)生與必然發(fā)生”、“不大可能發(fā)生與不可能發(fā)生”。

2.游戲的公平性

公平的游戲是指對游戲雙方來說，參與游戲的成功的機會都相等，游戲是公平的，否則是不公平。

3.在反復(fù)實驗中觀察不確定現(xiàn)象

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(1)不確定事件發(fā)生的可能性有大有小，我們就用平穩(wěn)時的頻率估計這一隨機事件在每一次實驗時發(fā)生機會的

大小。

(2)通過實驗方法用穩(wěn)定時的頻率估計機會的大小，必須要求實驗在相同條件下進行，并且，在相同條件下，

實驗次數(shù)越多，就越有可能得到較好的估計值。

八年級上

第十一章數(shù)的開方

1.平方根

(1)如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的平方根。

(2)一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)。

其中正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根，記作讀作“根號a”，另一個平方根是它的相反數(shù),

即-因此，正數(shù)a的平方根可以記作土右。a稱為被開方數(shù)。

0的平方根只有一個，就是0,記作VO=0o

負數(shù)沒有平方根。

nNO(aNO)

(3)求一個非負數(shù)的平方根的運算，叫做開平方。

2.立方根

(1)如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)叫做a的立方根。

(2)求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方。

(3)數(shù)a的立方根，記作3匹，讀作“三次根號a"，其中a稱為被開方數(shù)，3稱為根指數(shù)。

(4)任何數(shù)(正數(shù)、負數(shù)、0)都有立方根，并且只有一個。

正數(shù)有一個正的立方根。

負數(shù)有一個負的立方根。

0的立方根是0。

4.無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。

5.實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。

6.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)。

第十二章整式的乘除

1.塞的運算

2.

幕的運算

<、

乘法除法13乘方

(1)同底數(shù)基相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

am-an=am+n(m、n為正整數(shù))

(2)基的乘方

事的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。

(a'")"(m、n為正整數(shù))

(3)積的乘方

積的乘方，等于把積中每一個因式分別乘方，再把所得的累相乘。

(/)"=a"?'(n為正整數(shù))

(4)同底數(shù)幕的除法

同底數(shù)基相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。(m、n為正整數(shù)，m>n,a/0)

2.整式的乘法

(1)單項式與單項式相乘將它們的系數(shù)、相同字母的寨分別相乘，對于只在一個單項式中出現(xiàn)的字母，則連

同它的指數(shù)一起作為積的一個因式。

(2)單項式與多項式相乘將單項式分別乘以多項式的每一項，再將所得的積相加。

(3)多項式與多項式相乘先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn

3.乘法公式

(1)平方差公式：兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的差，等于這兩個數(shù)的平方差。

(a+b)(a-b)-a2-b'

(2)完全平方公式：兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和加上(或減去)這兩數(shù)積的2倍。

(a+b)2-a2+lab+b~(a-b)2-a2-2ab+b2

4.整式的除法

(1)單項式除以單項式把系數(shù)、同底數(shù)塞分別相除作為商的因式，對于只在被除式中出現(xiàn)的字母，則連同它

的指數(shù)一起作為商的一個因式。

(2)多項式除以單項式先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。

14

5.因式分解

(1)把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解。

(2)公因式：多項式ma+mb+mc中的每一項都含有一個相同的因式m,我們稱之為公因式。

(3)提取公因式法：把公因式提出來，多項式ma+mb+mc就可以分解成兩個因式m和(a+b+c)的乘積，這種

因式分解的方法，叫做提取公因式法。

(4)公式法：將乘法公式反過來用，對多項式進行因式分解的，這種因式分解的方法成為公式法。

(5)十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)(a、b是常數(shù))

公式特點：1)右邊相乘的兩個因式都只含有一個相同的字母，都是一次二項式，并且一次項的系數(shù)為一。2)左邊

是二次三項式，二次項的系數(shù)是1,一次項系數(shù)是兩常數(shù)項之和，積的常數(shù)項等于兩個因式中常數(shù)項之積。

第十三章全等三角形

1.命題

判斷它是正確的或是錯誤的句子叫做命題。正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫假命題。

命題可以寫成“如果……，那么……”的形式。

15

2.定理

數(shù)學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結(jié)出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣

的真命題叫做公理。

3.公理

數(shù)學中有些命題可以從公理或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法證明它們是正確的，并且可以進一步作為

判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定公理。

4.全等三角形的判定

一般三角形SSSSASASAAAS

直角三角形SSSSASASAAASHL

5.尺規(guī)作圖

只有使用圓規(guī)和沒有刻度的直尺這兩種工具去作幾何圖形的方法稱為尺規(guī)作圖。

(1)作一條線段等于已知線段

(2)作一個角等于已知角

(3)作已知角的平分線

(4)經(jīng)過一已知點(直線上、直線外)作已知直線的垂線

(5)作已經(jīng)線段的垂直的平分線

6.逆命題

(1)對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另外一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題叫做互逆

命題，其中一個命題叫做原命題，另外一個命題叫做原命題的逆命題。

(2)原命題為真，它的逆命題不一定為真

7.等腰三角形的判定

(1)利用定義：兩條邊相等的三角形叫等腰三角形。

(2)如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等。(等角對等邊)。

8.(1)直角三角形，斜邊上的中線等于斜邊一半

(2在直角三角形中30度角所對的邊等于斜邊的一半。

9.角平分線

到一個角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。

10.線段垂直平分線

到一條線段的兩個端點的距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

第十四章勾股定理

1.對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b,斜邊為c,那么一定有a2+b2^c2

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

直角三角形的判定：如果三角形的三邊長a,b,c有關(guān)系，a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形

2.常見的勾股數(shù)3.4.56.8.105.12.13

第十五章數(shù)據(jù)的收集與表示

16

2.數(shù)據(jù)的收集

明確調(diào)查對象一確定調(diào)查對象凝麻調(diào)查方法展￥調(diào)查記錄結(jié)果得出結(jié)論

3.一頻數(shù)：表示每個對象出現(xiàn)的次數(shù)

4.頻率：表示每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值(或者百分比)。即頻率=頻數(shù)/數(shù)據(jù)總數(shù)。所有小組的頻率之

和等于1

5.頻數(shù)和頻率都能夠反映每個對象的頻繁程度。

5.數(shù)據(jù)的表示

(1)扇形統(tǒng)計圖：是用圓的面積表示一組數(shù)據(jù)的整體，用圓中扇形的面積與圓面積的比來表示各組成部分在總

體中所占的百分比的統(tǒng)計圖。它可以直觀的反映出各部分數(shù)量在總量中所占的份額。

(2)條形統(tǒng)計圖：是用寬度相同的條形的高低或長短來表示數(shù)據(jù)特征的統(tǒng)計圖。它們可以直觀的反映出數(shù)據(jù)的

數(shù)量特征。如果有兩個研究對象，常常把兩個對象的相應(yīng)數(shù)據(jù)并列表示在同一張條形統(tǒng)計圖中。

(3)折線統(tǒng)計圖：是用折線表示數(shù)量變化規(guī)律的統(tǒng)計圖。它能反映出各部分數(shù)據(jù)的變化趨勢。

(4)統(tǒng)計圖表：可以準確的反映出數(shù)據(jù)的不同特征。

八年級下

第十六章分式

1.分式

A

形如二(A、B是整式，且B中含有字母，8/0)的式子，叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分

B

式的分母。

【注】分式中。分母不能為零，否則分式無意義。

2.有理式

整式和分式統(tǒng)稱為有理式.

3.分式的基本性質(zhì)

17

分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變。

1.最簡分式

分子與分母沒有公因式的分式稱為最簡分式。

6.最簡公分母

各分母所有因式的最高次幕的積

7.分式的運算

（1）分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，如果得到的不是最簡分式，應(yīng)該通過約

分進行化簡。

（2）分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相除。

（3）分式的乘方等于分子分母分別乘方。

（4）同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。

異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p。

8.分式方程

（1）分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

（2）解分式方程，實質(zhì)上是將方程的兩邊乘以同一個整式，約去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解。所乘

的整式通常取方程中出現(xiàn)的各分式的最簡公分母。

（3）增根是指不適合原分式方程的解（或根），因此，解分式方程必須進行檢驗。

（4）解分式方程進行檢驗的關(guān)鍵是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母為零。有時為了

方便起見，可將它代入最簡公分母中，看它的值是否為零，若為零，則為增根。

9.零指數(shù)基與負整指數(shù)基

（1）任何不等于零的數(shù)的零次幕都等于1。

【注】0的零次舞沒有意義。

（2）任何不等于零的數(shù)的-n（n為正整數(shù)）次累，等于這個數(shù)的n次基的倒數(shù)。

〃是正整數(shù)）

a

8.利用10的負整指數(shù)幕，用科學記數(shù)法表示一些絕對值較小的數(shù)，即將它們表示成。xl（T〃的形式，其中n是

正整數(shù)，1<|a|<10。

第十七章函數(shù)及其圖像

1.變量與函數(shù)

（1）變量：在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量，叫做變量。

（2）一般的，如果在一變化過程中，有兩個變量，例如x和y,對于x的每一個值，y都有唯一的值與之對應(yīng)，

我們就說x是自變量，y是因變量。此時也稱y是x函數(shù)。

（3）表示函數(shù)關(guān)系的方法

1）解析法（關(guān)系式法）：兩個變量之間的關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量的等式表示，這種方法叫解析式

法。

2）列表法

3）圖像法

（4）在問題的研究過程中，還有一種量，它的取值始終保持不變，我們稱之為常量。

（5）函數(shù)自變量的取值范圍是指使函數(shù)有意義的自變量的取值全體。通常從兩方面考慮1）在實際問題中，自變

18

量x的取值會受到實際意義的限制。2）使函數(shù)的解析式有意義。

2.函數(shù)的圖像

（1）直角坐標系

1）在平面上畫兩條原點重合、互相垂直且具有相同單位長度的數(shù)軸，這就建立了平面直角坐標系。通常把其

中水平的一條數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；兩數(shù)軸的

交點0叫做坐標原點。

2）在平面直角坐標系中，任意一點都可以用一對有序?qū)崝?shù)來表示。例如點P分別向x軸和y軸作垂線，垂足

分別為M和N。這時，點M在x軸上對應(yīng)的數(shù)字是m,稱為點P的橫坐標；點N在y軸上的坐標為n,稱為點

P的縱坐標，得到一對有序?qū)崝?shù)（m,n）,稱為點P的坐標，可記為P（m,n）.

3）在平面直角坐標系中，兩條坐標軸把平面分成1、II、山、IV四個區(qū)域，分別稱為第一、二、三、四象限，坐

標軸上的點不屬于任何一個象限。

4）在平面直角坐標系中的點和有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的。

y4

橫坐標縱坐標

I

19

5）不同位置

點的標的特征

X軸0任意實數(shù)

第I象限++

第11象限—+

第H1象限——

第IV象限+—

y軸任意實數(shù)0

（2）函數(shù)的圖像

1）一般來說，函數(shù)的圖像是由直角坐標系中的一系列點組成。圖像上的每一點的坐標

（x,y）代表函數(shù)的一對對應(yīng)值，它的橫坐標x表示自變量的某一個值，縱坐標y表示與它對應(yīng)的函數(shù)值。

2）畫函數(shù)圖像的方法：描點法。即列表、描點、連線三步。

3.一次函數(shù)

（1）函數(shù)的解析式都是用自變量的一次整式表示，我們稱它們?yōu)橐淮魏瘮?shù)。

一次函數(shù)通?？梢员硎緸閥=kx+b的形式，其中k、b是常數(shù)，kWO。特

別的，當b=0時，一次函數(shù)尸kx（常數(shù)kHO）,也叫做正比例函數(shù)。

（2）一次函數(shù)的圖像

一次函數(shù)丫=1?+6（k、b是常數(shù)，kWO）的圖像是一條直線，通常也稱為直線y=kx+b。特別的，正比例函

數(shù)丫=1?（k^O）的圖像是經(jīng)過原點（0,0）。

對于直線丫=1?+5（k、b是常數(shù)，kRO）,k表示直線的傾斜程度。b是直線與y軸交點的縱坐標。

（3）一次函數(shù)的性質(zhì)

當k>0時，y隨x的增大而增大，這時函數(shù)的圖像從左到右上升。

當k<0時，y隨x的增大而減小，這時函數(shù)的圖像從左到右下降。

當k>0,b>0時,函數(shù)經(jīng)過I、II、III象限。

當k>o,b<o時，函數(shù)經(jīng)過1、in、N象限。

當kvo,b>0時，函數(shù)經(jīng)過I、II、IV象限。

當k<o,b<o時，函數(shù)經(jīng)過n、in、iv象限。

（4）求一次函數(shù)的關(guān)系式

待定系數(shù)法：先設(shè)待求函數(shù)關(guān)系式（其中含有未知數(shù)的系數(shù)），再根據(jù)條件列出方程或方程組，求出未知系

數(shù)，從而得出所求結(jié)果的方法，叫做待定系數(shù)法。

4.反比例函數(shù)

（I）一般的，形如歹=^伏工0,4是常數(shù)）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)。

X

（2）反比例函數(shù)的圖像時雙曲線。

（3）反比例函數(shù)的性質(zhì)

1）當k>0時，函數(shù)的圖像在第I、in象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左向右下降，也就是在每個象限內(nèi)y隨x

的增大而減小。

2）當k<0時，函數(shù)的圖像在第H、IV象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內(nèi)y隨x

的增大而增大。

5.二元一次方程組的圖像解法

畫出方程組對應(yīng)的兩個一次函數(shù)的圖像，找出它們的交點，這個交點的坐標就是二元一次方程組的解，這種解

方程的方法叫做二元一次方程組的圖像解法。

6.一次函數(shù)與一元一次不等式

20

使一次函數(shù)y=kx+b(kYO)的函數(shù)值y>0的自變量的所有的值，就是一元一次不等式kx+b>0的解集。

第十八章平行四邊形

1.平行四邊形：有兩組對邊分別平行的四邊形。

平行四邊形ABCD可以記作QABCD。

2.平行四邊形的性質(zhì)

(1)平行四邊形兩組對邊分別平行。

(2)平行四邊形對邊相等，對角相等。

(3)平行四邊形對角線互相平分。

(4)平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線交點。

(4)平行線之間的距離處處相等。

【注】兩條直線平行，其中一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做兩條平行線間

的距離。

3.平行四邊形的判定

(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

(5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

第十九章矩形菱形和正方形

1.矩形

(1)有一個角為直角的平行四邊形。

(2)矩形特有的性質(zhì)

1)矩形的四個角都是直角。

2)矩形的對角線相等且互相平分。

3)矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形。

2.矩形的判定

(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形。

(2)對角線相等的平行四邊形是矩形。

(3)有三個角是直角的四邊形是矩形。

3.菱形

(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形。

(2)菱形特有的性質(zhì)

1)菱形的四條邊都相等。

2)菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角。

3)菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形。

4.菱形的判定

21

(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

(2)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

(3)四條邊都相等的四邊形是菱形。

(4)每條對角線平分一組對角的四邊形是菱形。

5.正方形

(1)有一組鄰邊相等的矩形是正方形。

有一個角是直角的菱形是正方形。

(2)正方形的性質(zhì)

1)四個角都是直角，四條邊都相等。

2)正方形兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。

6.正方形的判定

(1)有一組鄰邊相等的矩形是正方形。

(2)有一個角是直角的菱形是正方形。

(3)有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形

7.梯形

(1)只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。有一個角是直角的梯形叫做直角梯

形。

(2)等腰梯形總可以看成是一個平行四邊形與一個三角形的組合。

1)等腰梯形是軸對稱圖形。只有一條對稱軸，一底的垂直平分線。

2)等腰梯形同一底邊上的兩個內(nèi)角相等。

3)等腰梯形的兩條對角線相等。

8.等腰梯形的判定

(1)兩腰相等的梯形是等腰梯形。

(2)在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形。

(3)兩條對角線相等的梯形是等腰梯形.

第二十章數(shù)據(jù)的整理與初步處理

1.算術(shù)平均數(shù)--1

X,X,X..X=(X+X+X+---+X)

若一組數(shù)據(jù)為123”，它們的平均數(shù)為X,則X一123.。平均數(shù)反映了這組數(shù)

n

據(jù)中個數(shù)據(jù)的平均大小或者是集中趨勢。

2.加權(quán)平均數(shù)

一般來說，由于各個指標在總結(jié)果中占有不同的重要性，因而會被賦予不同的權(quán)重，各指標乘以相應(yīng)的權(quán)重后

所得的平均數(shù)就是加權(quán)平均數(shù)。

_f\X]+fzX2+'"+f>,X?

x~f+f+---+/,(<+，2+…+￡=〃)

I2n

3.扇形統(tǒng)計圖的制作

(1)先計算出各部分數(shù)量占總數(shù)量的百分比。

22

(2)再算出表示各部分數(shù)量的扇形的圓心角的度數(shù)。

(3)按照圓心角度數(shù)，在圓中畫出各個扇形。

(4)在每個扇形中標出所表示各個部分數(shù)量名稱和所占的百分比。

5.中位數(shù)

把一組數(shù)據(jù)按由小到大的順序排列，若有奇數(shù)個數(shù)時，則處在正中間的數(shù)是中位數(shù)。若

有偶數(shù)個數(shù)時，則取中間兩個數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)。

中位數(shù)也反映的是一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。

6.眾數(shù)

一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)值。它也反映的是一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。

一組數(shù)據(jù)中可以不止一個眾數(shù)，也可以沒有眾數(shù)。

7.極差=最大值一最小值，反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍。

8.方差

用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均?！钡玫降慕Y(jié)果表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況，這個結(jié)果叫

做方差。

-

表

數(shù)

差

的

示

據(jù)的

方

表示

組

數(shù)據(jù)

平

0均數(shù)

.X一

1Y/

-Y

S-VX1+X1I—

-一

1+lx

7?4L-

〃一=

9.標準差

九年級上

第二十一章二次根式

1.二次根式

6(。20)表示非負數(shù)a的算術(shù)平方根，也就是說，20)是一個非負數(shù)，它的平方等于a,即有：(1)

-Ja>0(a>0)(2)=a{a>0)

形如E(a>0)的式子叫做二次根式。

,fa(a>0)

二次根式的性質(zhì)：向=彳,Q

I-a(a<0)

2.二次根式的乘法

兩個二次根式相乘，將它們的被開方數(shù)相乘。

4a?4b-y[ab(a>0,h>0)

23

3.積的算術(shù)平方根

積的算術(shù)平方根，等于各因式算術(shù)平方根的積。主要用于二次根式的化簡。

Jah=-Ja->0,b>0)

4.二次根式的除法

兩個二次根式相除，將它們的被開方數(shù)相除。

逅=F(a>0,Z>>0)

4b\b

2.商的算術(shù)平方根

商的算術(shù)平方根，等于各因式算術(shù)平方根的商。主要用于分母有理化，就是使分母中不含有二次根式，并且二

次根式中不含有分母。

講親心0,…)

7.最簡二次根式

被開方數(shù)中不含分母，并且被開方數(shù)中所有因式的幕的指數(shù)都小于2,這樣的二次根式稱為最簡二次根式。

8.二次根式化簡主要包括兩方面

(1)如果被開方數(shù)中含有分母，通?？衫梅质降幕拘再|(zhì)將分母配成完全平方，再“開方”出來。

(2)如果被開方數(shù)中含有完全平方的因式(或因數(shù))，可利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，將它“開方”出來。

9.同類二次根式

像3石與-2百，36、-2〃■與4石這樣的幾個二次根式，稱為同類二次根式。

二次根式的加減，先把各個二次根式化簡，再將同類二次根式合并。

第二十二章一元二次方程

1.一元二次方程

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣的整式方程叫做一元二次方程。

一般形式："2+bx+c=0(a,b,c是已知數(shù)，a00)。其中a,b,c分別叫做二次項的系數(shù)，一次項的系數(shù),

常數(shù)項。

2.一元二次方程的解法

(1)直接開平方法

(2)因式分解法

(3)配方法

(4)公式法X二(h-4ac>0)

i"'"4"V7

2a

3.一元二次方程的判別式，^=b2-4ac

當A〉0時，方程有兩個不等的實根。

24

當△=()時，方程有兩個相等的實根。

當△<()",方程沒書實數(shù)根。

x+x=-X=

12—a12—a

第二十三章圖形的相似

1.相似圖形

把具有相同形狀的圖形稱為相似圖形。

2.成比例線段

對于四條線段如果其中兩條線段的長度的比等于另外兩條線段的比，如(a:b=c:d),那

bd

么這四條線段叫做成比例線段。簡稱比例線段，此時也稱這四條線段成比例。

3.比例的基本性質(zhì)

(1)如果』=:，那么ad=bco

bd

ac

(2)如果ad=bc,(a,b,c,d都不等于零)，那么_=_。

bd

aca+b_c+d

4.(1)如果=