2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末測試卷01（人教A版）（理）（全解全析）

期末測試卷01

(本卷滿分150分，考試時間120分鐘)

測試范圍：集合與命題、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、統(tǒng)計概率、參數(shù)方程、不等式選講

一、單項選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是

符合題目要求的.

X

1.已知全集。=/?,集合A={x[——NO},B={x|log2(x+l)<l},那么(QA)DB=()。

x-l

A、(-1,1)

B、(0,1)

C、(0,1]

D、(-oo,l)

【答案】B

【解析】A={x|x40或x>l},Q4=(0，l]，S={X|-1<X<1},(QA)DB=(O,1),故選B。

2.命題“V〃eN+，使得〃2<x”的否定形式是()。

A、Vrte7V+,Hxe/?,使得/Zx

B,V鹿wN+，Vxe/?,使得/wx

C、立”，BxeR,

2

D^BneN+,VxeT?,使得n>x

【答案】D

【解析】命題的否定是條件不變，結(jié)論否定，同時存在量詞與全稱量詞要互換,

，其否定是VxwR,使得“2之x”，故選D。

3.函數(shù)/。)=/一吐爐的圖像大致是()。

【答案】B年J

【解析】構(gòu)造函數(shù)％=/和必=x-e*,則兇=%，1',J

則x=0或畫g(x)=x"和〃(x)=e*的圖像，r/|>

2I2x

則x4和e”在(-3,3)上有兩個解，

其中一個在(-1,0)之間，一個在(1,2)之間，故選B。

4.(4、2一')6的展開式中的常數(shù)項是()。

A、\

B、6

C、15

D、20

【答案】C

【解析】。+1=品?(4,)6工(2->為常數(shù)項則12—3r=O,r=4,，C；=15,故選C。

5.若函數(shù)/(x)=lg(依2-2x+a)的定義域為R,則實數(shù)。的取值范圍為()。

A、(-1,0)

B、(0,1)

C、［0,1］

D、(l,+oo)

【答案】D

［解析］等價于g(x)=ar2一2x+a>0恒成立,

若a=0,則g(x)=-2x,不可取，

若。工0,則需a>0，A=4-4?2<0,解得a>l,

，〃的范圍為(1,+8),故選D。

6.某公司為了調(diào)查產(chǎn)品在A、8、C三個城市的營銷情況，派甲、乙、丙、丁四人去調(diào)研，每人只去一個

城市每個城市必須有人去，且甲乙不能去同一個城市，則不同的派遣方法有()。

A,6種

B、18種

C、24種

D、30種

【答案】D

【解析】4人不同組合方案有：

①若甲、乙各自單獨為一組，有國=6種，

②若甲與丙、丁之一為一組，有C；A：=12種，

③若乙與丙、丁之一為一組，有=12利"

故不同的派遣方法有30種，故選D。

7.已知曲線〃幻=33+3/，則曲線/*)在點用(1,〃1))處的切線方程是()。

A、3x-y-2=0

B、3x+y-2=0

C、9x-3y-5=0

D、9x-3y+5=0

【答案】C

【解析】："x)=gx3+x.ei,二〃1)=；><13+］*/-1=3，；.知(1,$,

又f'{x}=Y+e*T+X-e'T,；./((I)=12+e'-'+1xe'-'=3,

44

故曲線/(x)在點M(《)處的切線方程為y-§=3(l),即9%-3丁一5=0,故選C。

8.已知函數(shù)/'(x)=x+sinx,且對于任意的xe［2,4］,/(-)</［---7---------］恒成立，則加的取值范

x-\(x-1)(7-x)

圍為()。

A、(2,16)

B、(4,36)

C、(36,+oo)

D、(45,+oo)

【答案】D

【解析】/(x)的定義域為R,f(-x)=-f(x),???/(x)為奇函數(shù)，又了⑴在(0,+8)上單調(diào)遞增，

/.由/(-)</［----?------］得包<-----7--------在［2,4］恒成立，

X-1*-1)2(7—x)x-1(X-1)2(7-X)

又x-l<0,7-x>0,.*.*+1)?！?)(7-/<加在［2,4］上恒成立；

設(shè)g(x)=(x+1)(工-1)(7-x)=-x3+7x2+x-7，

7<2

則g\x)=3X2+14X+1=-3(X--)2+y,

當(dāng)xe［2,4］時恒g'(x)>0,???g(x)為遞增函數(shù)，

g(x)max=g(4)=45，?,?6>45，綜上加的取值范圍為(45,+8),故選D。

9.若函數(shù)/(x)、g(x)滿足巴?"(x>g(x)心=0(m>0),則稱/(X)、g(x)為區(qū)間［-機(jī)，加］上的一組可

積零函數(shù)。給出三組函數(shù)：①/(x)=sinx、g(x)=2cosx；?f(x)=av+a~x>g(x)=ax-a~x(a>0且

+2xx>0

awl);③/(x)=/、g(x)=,'一，其中為區(qū)間［―如網(wǎng)上可積零函數(shù)的有().

—x+2,x,x<0

A、0組

B、1組

C、2組

D、3組

【答案】D

【解析】/(x)-g(x)為奇函數(shù)時為可積零函數(shù)，則①②③均為奇函數(shù)，故選D。

10.直線x=t(f>0)與函數(shù)/(*)=彳2+1、g(x)=lnx的圖像分別交于A、3兩點，當(dāng)|A8|最小時，f為

()。

A.1

2

B

3

C6

2

D、I

【答案】C

【解析】令/i(x)=/(x)-g(x)=x2-inx+l,(x>0),

則〃(x)=2x—工=主二L令〃'(x)=0,解得了=衛(wèi)，

xx2

當(dāng)0<x<等時，h'(x)<0,.."(x)在(O,*)上單調(diào)單減，

當(dāng)時，"(x)>0,；"(x)在(立,+oo)上單調(diào)單增，

22

.?"(X)在尤=42處取得極小值也是最小值，，版x)W/?(，2)=，-111受+1=3+111夜>0,

22222

則宜線x=，與函數(shù)/(x)、g(x)的交點間距離|A8|=/z(x)之打(手)，

當(dāng)且僅當(dāng)x=4Z時，A3最小，故選C。

2

11.已知InX]—玉—y+2=0,x2+2y2—4—2In2=0,記M=(再—々了+(M—%)**,則M的最小值為()°

5

【答案】B

【解析】設(shè)A(x，必)、B?,當(dāng))，點A在函數(shù)y=lnx—x+2上，點5在直線x+2y—4—21n2=0上,

M的最小值為函數(shù)y=lnx-x+2上的點到

直線x+2y—4—21n2=0的距離的最小值的平方，

函數(shù)y=lnx-x+2的導(dǎo)數(shù)為y'=工一1,

x

與直線x+2y—4—21n2=0平行的直線的斜率為-g,

令y=_L—l=-_L,解得x=2,切點的坐標(biāo)為(2,In2),

x2

切點到立線x+2)—4—21n2=0的距離d=12+21n2-4-21n21=2,

Vl2+22V5

,4

:.M=d°=—,故選B。

5

12.對于函數(shù)/(x)=耳，下列說法錯誤的是()。

A、/(幻在x=人處取得極大值

2e

B、/(x)有兩個不同的零點

C、/(72)</(V^)</(V3)

IZ?

D、若J(x)<k—在(0,+co)上恒成立，則k>—

x2

【答案】B

【解析】A選項，/(x)=警，定義域為(0,+8)，r(x)J2；nx,令八x)=0,解得x=五，

XX

當(dāng)0vx<五時，/(工)>0,，函數(shù)/(x)在(0,正)匕單調(diào)遞增，

當(dāng)x>總時，/'(x)v0,.??函數(shù)/(%)在(石+⑹上單調(diào)遞減，

...函數(shù)在％=及時取得極大值也是最大值/(五)=」-,對，

2e

B選項，0+時/(X)<0,/(l)=0,f(X)max=/(")=《>0，Xf+8時/(X)>0,

函數(shù)/(X)有且只有唯一一個零點，錯，

C選項，、?當(dāng)元〉正時/(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，，/(五)</(6)，

?.?〃偽=酎1=螞，/(五)=過=皿，

24兀2兀

”而①揚(yáng)=等-等=*產(chǎn)

；n2>2\:./(V2)</(?)，即/(V2)</而</(V3)，對,

D選項，；故k>/(x)+二7="匕L由于函數(shù)在(0,+8)上恒成立，

X"X"X

”>(手/，設(shè)g(M審’定義域為。+如則g'⑶=烏尸’

解得，

令g'(x)=0,x=N0<x<-j=函數(shù)單調(diào)遞增,函數(shù)單調(diào)遞減,

X吐

二g-)max=g(9)=e_"|="|'故%W，對，

故選B。

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)"r)=-x2+4x+a(xe[0,l]),若/(x)有最小值一2,則f(x)的最大值為。

【答案】1

【解析】：=+4x+a=-(x-2)2+。+4開口向下，對稱軸x=2,

.../(X)在[0,1]上單調(diào)遞增，最小值為/(0)=a=—2,最大值為/⑴=一1+4+。=1。

14.為響應(yīng)國家脫貧攻堅的號召，某縣抽調(diào)甲、乙、丙等六名大學(xué)生村官到A、3、C三個村子進(jìn)行扶貧,

每個村子去兩人，且甲不去A村，乙和丙不能去同一個村，則不同的安排種數(shù)為。

【答案】48

【解析】有三種情況，當(dāng)甲、乙、丙3人在不同村，且甲不在A村時，有C；-A〉A(chǔ)；=24種安排方法,

當(dāng)甲和乙在同村且不在A村時，有C；?C；?C；=12種安排方法，

當(dāng)甲和丙在同村且不在A村時，有C；?C；?C；=12種安排方法，

故總共有24+12+12=48種安排方式。

15.若函數(shù)f(x)=2/+。-2a>|x-a|在區(qū)間(-3,1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是。

【答案】(一6,2)

4〃、2,5/

3(x----)4------,xNa

3x2-2ax+2a2,x>a24

【解析】f(x)=<

x2+3ax-2a2,x<a/3a、2I7”

(x+—)---------,XCl

24

一3a2

當(dāng)420時，一3<——<1=>一一<6/<2=>0<t7<2,

23

當(dāng)a<0時,—3<一<1—-6<Q<2—i>—6<a<0,

2

綜上一6<。<2。

16.若關(guān)于x的不等式Inx-ax>0有且僅有一個整數(shù)解，則實數(shù)。的取值范圍是。

【答案】0〈”火

2

【解析】設(shè)f(x)=Inx-or，定義域為(0,+8),則fr(x)=--a=-——，

xx

當(dāng)々=0時，不等式為lnx>0,則x>l,不符合只有一個整數(shù)解，

當(dāng)〃<0時，不等式為((外>0,則函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

/(1)=0-<2>0,x>l時，/(%)>0,不符合只有一個整數(shù)解，

當(dāng)。>0時，f(x)在(()」)上單調(diào)遞增，在(L+8)上單調(diào)遞減，/(x)mix=/(l)=-lna-l>(),

aaa

則e>Q>0,/(l)=0-a<0,/(2)=ln2—2Q>0,解得0<々<等，

11。>e時，f(一)二—In。一l<0,無解，

a

綜上所述，0<。<曲2。

2

三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本題滿分12分)已知函數(shù)〃x)=log；x-31og2X+c(c是常數(shù))。

(1)若當(dāng)xw［2,8］時，恒有/(x)<0成立，求實數(shù)c的取值范圍；

(2)若存在瓦€［2,8］時，使得/(無)<0成立，求實數(shù)c的取值范圍；

(3)若方程/(x)=c-log2X在［2,8］上有唯一實數(shù)解，求實數(shù)c的取值范圍。

39

【解析】(1)令唾2%=1,則g(f)="—3f+c=(-5)2—w+c，當(dāng)xw[2,8]時,2分

3

gQ)的對稱軸為x=］,fw［1,3］時的最大值為g(3)=c<0.

則實數(shù)c的取值范圍是(-oo,0)；4分

(2)若存在封€［2,8］時,恒有/(與)<0成立，

則存在%e［1,3］時,使得g(幻<0成立,6分

丁是只需rG［1,3］時H勺最小值為g(―)=——+c<0.c<—>

Q

則實數(shù)C的取值范圍是(-00,力；8分

(3)若方程/(x)=c-log2x在［2,8］上有唯一實數(shù)解，

則產(chǎn)-(3+c)r+c=()在［1,3］上有唯一實數(shù)解,

故「一（3+ck+c=0在［1,3］上不可能有兩個相等的實數(shù)解,10分

令〃⑺=?-（3+c）f+c,?.?/?⑴=一2<0,故只需〃（3）=-2-0,解得c40,

二實數(shù)c的取值范圍是（-oo,0］。12分

18.（本題滿分12分）自從開始實施生活垃圾分類，這一舉措對改善環(huán)境污染起到了積極的作用，但其是

一個需要長期落實的過程，只有堅持落實，才能持續(xù)減少對環(huán)境的污染。為了解垃圾分類的落實情況，現(xiàn)

某市從人口數(shù)量在兩萬人左右的320個社區(qū)中隨機(jī)抽取50個社區(qū)，對這50個社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量（單位:

噸）進(jìn)行了調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表，并將產(chǎn)生的垃圾量在28噸/天及以上的社區(qū)確定為“超標(biāo)”社區(qū)：

垃圾量X[16,18)[18,20)[20,22)[22,24)[24,26)[26,28)[28,30)[30,32)

頻數(shù)467911643

（以區(qū)間中點值作為該組產(chǎn)生的垃圾量）

（1）通過頻數(shù)分布表估算出這50個社區(qū)這一天產(chǎn)生的垃圾量的平均值；

（2）市政府決定從樣本中的“超標(biāo)”社區(qū)中選取4個檢驗分類成果，經(jīng)統(tǒng)計，垃圾量不超過30噸/天時可回收

率為28%,垃圾量在30噸/天及以上時可回收率為25%。記丫為選取社區(qū)回收資源量（單位：噸），求丫的

分布列和數(shù)學(xué)期望（結(jié)果精確到0.01）。

17x4+19x6+21x7+23x9+25x11+27x6+29x4+31x3=23,64,

【解析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表得:

5

...這50個社區(qū)這?天產(chǎn)生的垃圾量的平均值為23.64噸；3分

（2）由頻數(shù)分布表可知，有7個“超標(biāo)”社區(qū)，

其中4個社區(qū)一天產(chǎn)生的垃圾量為29噸，回收資源量為29x28%=8.12噸,

3個社區(qū)一天產(chǎn)生的垃圾量為31噸，回收資源量為31x25%=7.75噸，5分

y可取32.48、32.11、31.74、31.37,

112

二尸(丫=32.48)=-..,p(y=32.ii)=Qf.

G35C；~35

產(chǎn)(Y=31.74)=Jf_18_4_

——>P(Y=32.37)=0；￥8分

c；3535

y的分布列為:10分

Y32.4832.1131.7431.37

112184

P

35353535

1in124

,￡(r)=32.48x—+32.11X—+31.74x—+31.37X—?31.85.12分

35353535

19.（本題滿分12分）某社區(qū)計劃開展一項“猜燈謎，獲積分，換禮品”的活動，該活動的規(guī)則是①每人至多

參加三次；②參與者前兩次每猜對一次，則獲得100積分，猜錯沒有積分；③如果前兩次沒有都猜對，則參

與者不能參加第三次，如果前兩次都猜對，則參與者可以自愿選擇是否猜第三個燈謎，第三個燈謎猜對獲

得200積分，猜錯扣100積分。（每人每次猜一個燈謎）

（1）為了了解喜歡猜燈謎活動是否與性別有關(guān)，社區(qū)工作人員從該社區(qū)的居民中隨機(jī)抽取50人，得到的數(shù)

據(jù)如下表。請完善表格，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為喜歡猜燈謎活動與性別有關(guān)。

喜歡猜燈謎不喜歡猜燈謎合計

男9

女30

合計35

（2）小明準(zhǔn)備參加猜燈謎活動，若小明猜對前兩個燈謎的概率均為p,猜對第三個燈謎的概率為q,小明

41

在前兩次猜燈謎中共獲得100積分的概率為1,其中p嗎,1）,q

①求p的值;

②小明準(zhǔn)備從以下兩種方案中選擇一種，其中方案一是無論前兩次猜燈謎結(jié)果如何，均不參與猜第三個燈

謎；方案二是前兩次若沒有全部猜對，則不參與猬第三個燈謎，前兩次若全部猜對，則選擇猜第三個燈謎。

若選擇方案二所獲得的積分的期望值大于選擇方案一所獲得的積分的期望值的-倍，則q應(yīng)該滿足什么條

q

件？

n{ad-bey,,

參考公式:K2--------------------------------,n=a+b+c-\-a,

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

臨界值表:

Pg>k0)0.1000.0500.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解析】⑴木、全的2x2列聯(lián)表如下:

喜歡猜燈謎不喜歡猜燈謎合計

男11920

女24630

合計351550

片250x(11X6-24X9)225,

K=-------------------------=—a3.3/1,3分

35x15x30x207

,/3.571<3.841?.沒有95%的把握認(rèn)為喜歡猜燈謎活動與性別有關(guān):4分

(2)①根據(jù)題意得—=又pe4,l),p=g

6分

②記選擇方案一所獲得的積分為x,選擇方案二所獲得的積分為y,

8分

則丫可取o、loo、400,y的分布列為:

Y0100400

444

P_+_(j)-q

9999

￡(y)=0x-+100x[-+-(l-^)J+200x-^^^i^^,10分

99999

>日百z匕一3,800+1200g1400

由題意可知---------->-x——,

9q3

解得q<T；師(不合題意,舍去)或“>二^叵，

故q應(yīng)該滿足的條件是一?市<夕<1。12分

20.(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)/(x)=ov/nx,其中aeR,曲線y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線經(jīng)過點(3,2)。

(1)求函數(shù)/(x)=ar?ln犬的極值；

(2)證明：/(%)>---?

e'e

【解析】(1)f(x)的定義域為(0,+8),f'(x)=a-]nx+a,1分

則/⑴=0,(⑴=。，故y=/(x)在(1,/⑴)處的切線方程y=a(x—l),2分

?.?該切線經(jīng)過點(3,2),代入得2=。(3-1),解得a=l,3分

/(x)=x-lnx,/'(x)=lnx+l.

當(dāng)O<X<L時，/(幻<0,函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x>!時，/,(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，5分

ee

故當(dāng)X=J時，函數(shù)取得極小值/(1)=?!?,無極大值；6分

eee

(2)f(x)>±-2等價于：xlnx---+—>0,

exeexe

由(1)可得/(%)=%?InxN-，(當(dāng)且僅當(dāng)x時等號成立)①，

ee

Ax-lnx-—+,故只要證明二20即可，(需驗證等號不同時成立)，9分

exeeexeex

設(shè)g*)=4_W，I>。，則

eee

當(dāng)Ovxvl時，，g'")<0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x>l時，g'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

???g(x)Ng(l)=O,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時等號成立②，

Y2

?.?①②等號不同時成立，，當(dāng)x>0時，/(%)>-----o12分

exe

21.(本題滿分12分)已知函數(shù)/。)=0一'+(1-辦-

(1)若4=0,求函數(shù)/(X)的極值；

(2)若函數(shù)/(X)無零點，求實數(shù)。的取值范圍。

【解析】(1)當(dāng)a=0時，f{x)=e-x+x,定義域為R,八幻=-二+1=,

e

令廣(幻=0,解得x=0,1分

當(dāng)x<0時，f(x)<0,則/(x)在(—8。)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x>0時，/'(x)>0,則/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

二/(x)在x=0處取得極小值為/(0)=1,無極大值；3分

(2)f(x)^e-x+(l-a)-x,定義域為R,f'(x)=-e-x+(1-a)=,4分

ex

①當(dāng)a=l時，/(x)=e~x>0,此時/(x)無零點，符合要求，5分

②當(dāng)a>l時，_f(x)<0,二/(幻在R上單調(diào)遞減，

又/(0)=1>0且/(二一)=」一一1<0,.Xx)有唯一一個零點，不符合要求，7分

a-1e

③當(dāng)a<l時，，令/"(x)=(i)/T=0,則x=—ln(l—a),

ex

當(dāng)x<-ln(l-a)時,，f\x)<0.則/(x)在(一8,-111(1-4))上單調(diào)遞減，

當(dāng)x>—ln(l—a)時，/(x)>0,則/(x)在(一ln(l—a),+oo)上單調(diào)遞增，9分

二/(幻在x=-ln(l-a)處取得極小值也是最小值，

/(x)min=/(-ln(l-a))=(l-a)[l-ln(l-a)],

若函數(shù)f(x)沒有零點,則需/?(—，

即(1一。)皿一山(l-a)]>0,解得1一e<a<l,11分

綜上所述，若函數(shù)/(幻無零點，則實數(shù)a的取值范圍為(1-e,l]。12分

請考生在第22、23兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一個題目計

分.

22.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為■X=-5+fcosf,。為參數(shù))，在以原點。為極點，》軸的

y=3+v2sinr

非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線/的極坐標(biāo)方程為p-cos@+；)=-V^,A、3兩點的極坐標(biāo)分別

為A(2,T1T)、BQ兀)。

(1)求圓C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程;

(2)點P是圓C上任一點，求APAB面積的最小值。

【解析】⑴由卜=-5+18St化簡得：卜+5=fss。消去參數(shù),得Q+5)2+(y_3)2=2,

y=3+V2sinr[y-3=J2