全國各地2015年中考數(shù)學試卷解析分類匯編(第1期)專題13-二次函數(shù)(常用版)

全國各地2015年中考數(shù)學試卷解析分類匯編（第1期）專題13二次函數(shù)（常用版）(可以直接使用，可編輯完整版資料，歡迎下載）

二次函數(shù)全國各地2015年中考數(shù)學試卷解析分類匯編（第1期）專題13二次函數(shù)（常用版）(可以直接使用，可編輯完整版資料，歡迎下載）一.選擇題1.（2021?山東萊蕪,第9題3分）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過() A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】 試題分析：先根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，又開口方向得a＞0，由對稱軸x=＜0可得b＞0，所以一次函數(shù)y=bx+a的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限. 故選D 考點：二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，一次函數(shù)的性質 2．（2021·湖南省益陽市，第8題5分）若拋物線y=（x﹣m）2+（m+1）的頂點在第一象限，則m的取值范圍為（） A． m＞1 B． m＞0 C． m＞﹣1 D． ﹣1＜m＜0 考點： 二次函數(shù)的性質．分析： 利用y=ax2+bx+c的頂點坐標公式表示出其頂點坐標，根據(jù)頂點在第一象限，所以頂點的橫坐標和縱坐標都大于0列出不等式組．解答： 解：由y=（x﹣m）2+（m+1）=x2﹣2mx+（m2+m+1），根據(jù)題意，，解不等式（1），得m＞0，解不等式（2），得m＞﹣1；所以不等式組的解集為m＞0．故選B．點評： 本題考查頂點坐標的公式和點所在象限的取值范圍，同時考查了不等式組的解法，難度較大3．(2021?江蘇蘇州,第8題3分)若二次函數(shù)y=x2＋bx的圖像的對稱軸是經(jīng)過點(2，0)且平行于y軸的直線，則關于x的方程x2＋bx=5的解為 A． B． C． D． 【難度】★★ 【考點分析】二次函數(shù)與一元二次方程綜合，考察二次函數(shù)的圖像性質及解一元二次方程。 是中考?？碱}型，難度不大。 【解析】由題意得：二次函數(shù)的對稱軸為直線：x2，所以由對稱軸公式得：， 即：b=-4；代入一元二次方程易得：。故選D。 4．（2021?廣東梅州,第10題4分）對于二次函數(shù)y=﹣x2+2x．有下列四個結論：①它的對稱軸是直線x=1；②設y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，則當x2＞x1時，有y2＞y1；③它的圖象與x軸的兩個交點是（0，0）和（2，0）；④當0＜x＜2時，y＞0．其中正確的結論的個數(shù)為（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考點： 二次函數(shù)的性質． 分析： 利用配方法求出二次函數(shù)對稱軸，再求出圖象與x軸交點坐標，進而結合二次函數(shù)性質得出答案． 解答： 解：y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，故①它的對稱軸是直線x=1，正確； ②∵直線x=1兩旁部分增減性不一樣，∴設y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，則當x2＞x1時，有y2＞y1，錯誤； ③當y=0，則x（﹣x+2）=0，解得：x1=0，x2=2， 故它的圖象與x軸的兩個交點是（0，0）和（2，0），正確； ④∵a=﹣1＜0， ∴拋物線開口向下， ∵它的圖象與x軸的兩個交點是（0，0）和（2，0）， ∴當0＜x＜2時，y＞0，正確． 故選：C． 點評： 此題主要考查了二次函數(shù)的性質以及一元二次方程的解法，得出拋物線的對稱軸和其交點坐標是解題關鍵． 5.（2021?四川樂山,第6題3分）二次函數(shù)的最大值為（） A．3B．4C．5D．6 【答案】C． 【解析】 試題分析：，∵＜0，∴當x=1時，y有最大值，最大值為5．故選C． 考點：二次函數(shù)的最值． 6.（2021湖北荊州第4題3分）將拋物線y=x2﹣2x+3向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后，得到的拋物線的解析式為（） A． y=（x﹣1）2+4 B． y=（x﹣4）2+4 C． y=（x+2）2+6 D． y=（x﹣4）2+6 考點： 二次函數(shù)圖象與幾何變換． 分析： 根據(jù)函數(shù)圖象向上平移加，向右平移減，可得函數(shù)解析式． 解答： 解：將y=x2﹣2x+3化為頂點式，得y=（x﹣1）2+2． 將拋物線y=x2﹣2x+3向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后，得到的拋物線的解析式為y=（x﹣4）2+4， 故選：B． 點評： 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，函數(shù)圖象的平移規(guī)律是：左加右減，上加下減． 7.（2021?福建泉州第7題3分）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y=ax2+bx與y=bx+a的圖象可能是（） A． B． C． D． 解：A、對于直線y=bx+a來說，由圖象可以判斷，a＞0，b＞0；而對于拋物線y=ax2+bx來說，對稱軸x=﹣＜0，應在y軸的左側，故不合題意，圖形錯誤． B、對于直線y=bx+a來說，由圖象可以判斷，a＜0，b＜0；而對于拋物線y=ax2+bx來說，圖象應開口向下，故不合題意，圖形錯誤． C、對于直線y=bx+a來說，由圖象可以判斷，a＜0，b＞0；而對于拋物線y=ax2+bx來說，圖象開口向下，對稱軸y=﹣位于y軸的右側，故符合題意， D、對于直線y=bx+a來說，由圖象可以判斷，a＞0，b＞0；而對于拋物線y=ax2+bx來說，圖象開口向下，a＜0，故不合題意，圖形錯誤． 故選：C． 8.（2021?四川樂山,第9題3分）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，記，．則下列選項正確的是（） A．B．C．D．m、n的大小關系不能確定 【答案】A． 考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系． 9.（2021?浙江嘉興，第10題4分）如圖，拋物線y=－x2+2x+m+1交x軸于點A（a，0）和B（B，0），交y軸于點C，拋物線的頂點為D.下列四個判斷：①當x>0時，y>0；②若a=－1，則b=4；③拋物線上有兩點P（x1,y1）和Q（x2,y2），若x1<1<x2，且x1+x2>2，則y1>y2；④點C關于拋物線對稱軸的對稱點為E，點G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，當m=2時，四邊形EDFG周長的最小值為，其中正確判斷的序號是（▲） （A）① （B）② （C）③ （D）④考點：二次函數(shù)綜合題．. 分析：①根據(jù)二次函數(shù)所過象限，判斷出y的符號； ②根據(jù)A、B關于對稱軸對稱，求出b的值； ③根據(jù)＞1，得到x1＜1＜x2，從而得到Q點距離對稱軸較遠，進而判斷出y1＞y2； ④作D關于y軸的對稱點D′，E關于x軸的對稱點E′，連接D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長的最小值．求出D、E、D′、E′的坐標即可解答． 解答：解：①當x＞0時，函數(shù)圖象過二四象限，當0＜x＜b時，y＞0；當x＞b時，y＜0，故本選項錯誤； ②二次函數(shù)對稱軸為x=﹣=1，當a=﹣1時有=1，解得b=3，故本選項錯誤； ③∵x1+x2＞2， ∴＞1， 又∵x1＜1＜x2， ∴Q點距離對稱軸較遠， ∴y1＞y2，故本選項正確； ④如圖，作D關于y軸的對稱點D′，E關于x軸的對稱點E′， 連接D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長的最小值． 當m=2時，二次函數(shù)為y=﹣x2+2x+3，頂點縱坐標為y=﹣1+2+3=4，D為（1，4），則D′為（﹣1，4）；C點坐標為C（0，3）；則E為（2，3），E′為（2，﹣3）； 則DE==；D′E′==； ∴四邊形EDFG周長的最小值為+，故本選項錯誤． 故選C． 點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及函數(shù)與不等式的關系、二次函數(shù)的對稱軸、函數(shù)圖象上點的坐標特征、軸對稱﹣﹣最短路徑問題等，值得關注． 0 10.（2021?浙江寧波，第11題4分）二次函數(shù)的圖象在2<<3這一段位于軸的下方，在6<<7這一段位于軸的上方，則的值為【】 A.1B.－1C.2D【答案】A. 【考點】二次函數(shù)的性質；解一元一次不等式組；特殊元素法的應用. 【分析】∵二次函數(shù)的圖象在2<<3這一段位于軸的下方，在6<<7這一段位于軸的上方， ∴當時，二次函數(shù)的圖象位于軸的下方；當時，二次函數(shù)的圖象位于軸的上方. ∴. ∴的值為1. 故選A. 11.（2021?四川涼山州,第12題4分）二次函數(shù)（）的圖象如圖所示，下列說法： ①，②當時，，③若（，）、（，）在函數(shù)圖象上，當時，，④，其中正確的是（） A．①②④B．①④C．①②③D．③④ 【答案】B． ③∵拋物線的對稱軸為x=1，開口方向向上，∴若（，）、（，）在函數(shù)圖象上，當時，；當時，；故③錯誤； ④∵二次函數(shù)的圖象過點（3，0），∴x=3時，y=0，即，故④正確． 故選B． 考點：1．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系；2．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征． 12．(2021·貴州六盤水，第10題3分)如圖5，假設籬笆（虛線部分）的長度 16m，則所圍成矩形ABCDA．60m2B．C．64m2D． 考點：二次函數(shù)的應用．. 專題：應用題． 分析：設BC=xm，表示出AB，矩形面積為ym2，表示出y與x的關系式，利用二次函數(shù)性質求出面積最大值即可． 解答：解：設BC=xm，則AB=（16﹣x）m，矩形ABCD面積為ym2， 根據(jù)題意得：y=（16﹣x）x=﹣x2+16x=﹣（x﹣8）2+64， 當x=8m時，ymax=64則所圍成矩形ABCD的最大面積是64m故選C． 點評：此題考查了二次函數(shù)的應用，熟練掌握二次函數(shù)性質是解本題的關鍵． 13.（2021?山東臨沂,第13題3分）要將拋物線平移后得到拋物線，下列平移方法正確的是（） (A)向左平移1個單位，再向上平移2個單位. (B)向左平移1個單位，再向下平移2個單位. (C)向右平移1個單位，再向上平移2個單位. (D)向右平移1個單位，再向下平移2個單位. 【答案】D 考點：二次函數(shù)的平移 14．（2021?山東日照，第12題4分）如圖是拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，拋物線的頂點坐標A（1，3），與x軸的一個交點B（4，0），直線y2=mx+n（m≠0）與拋物線交于A，B兩點，下列結論： ①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有兩個相等的實數(shù)根；④拋物線與x軸的另一個交點是（﹣1，0）；⑤當1＜x＜4時，有y2＜y1其中正確的是（） A． ①②③ B． ①③④ C． ①③⑤ D． ②④⑤考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系；拋物線與x軸的交點．.專題： 數(shù)形結合．分析： 根據(jù)拋物線對稱軸方程對①進行判斷；由拋物線開口方向得到a＜0，由對稱軸位置可得b＞0，由拋物線與y軸的交點位置可得c＞0，于是可對②進行判斷；根據(jù)頂點坐標對③進行判斷；根據(jù)拋物線的對稱性對④進行判斷；根據(jù)函數(shù)圖象得當1＜x＜4時，一次函數(shù)圖象在拋物線下方，則可對⑤進行判斷．解答： 解：∵拋物線的頂點坐標A（1，3），∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1，∴2a+b∵拋物線開口向下，∴a＜0，∴b=﹣2a∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②錯誤；∵拋物線的頂點坐標A（1，3），∴x=1時，二次函數(shù)有最大值，∴方程ax2+bx+c=3有兩個相等的實數(shù)根，所以③正確；∵拋物線與x軸的一個交點為（4，0）而拋物線的對稱軸為直線x=1，∴拋物線與x軸的另一個交點為（﹣2，0），所以④錯誤；∵拋物線y1=ax2+bx+c與直線y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B點（4，0）∴當1＜x＜4時，y2＜y1，所以⑤正確．故選C．點評： 本題考查了二次項系數(shù)與系數(shù)的關系：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒攁＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac15．（2021·四川甘孜、阿壩，第9題4分）二次函數(shù)y=x2+4x﹣5的圖象的對稱軸為（） A． x=4 B． x=﹣4 C． x=2 D． x=﹣2考點： 二次函數(shù)的性質．.分析： 直接利用拋物線的對稱軸公式代入求出即可．解答： 解：二次函數(shù)y=x2+4x﹣5的圖象的對稱軸為：x=﹣=﹣=﹣2．故選：D．點評： 此題主要考查了二次函數(shù)的性質，正確記憶拋物線對稱軸公式是解題關鍵． 16．（2021?四川廣安，第10題3分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（c≠0）過點（﹣1，0）和點（0，﹣3），且頂點在第四象限，設P=a+b+c，則P的取值范圍是（） A． ﹣3＜P＜﹣1 B． ﹣6＜P＜0 C． ﹣3＜P＜0 D． ﹣6＜P＜﹣3考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．.分析： 利用二次函數(shù)圖象的開口方向和對稱軸求出a＞0，b＜0，把x=﹣1代入求出b=a﹣3，把x=1代入得出P=a+b+c=2a﹣6，求出2解答： 解：∵拋物線y=ax2+bx+c（c≠0）過點（﹣1，0）和點（0，﹣3），∴0=a﹣b+c，﹣3=c，∴b=a﹣3，∵當x=1時，y=ax2+bx+c=a+b+c，∴P=a+b+c=a+a﹣3﹣3=2a∵頂點在第四象限，a＞0，∴b=a﹣3＜0，∴a＜3，∴0＜a＜3，∴﹣6＜2a即﹣6＜P＜0．故選：B．點評： 此題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質，根據(jù)圖象過（﹣1，0）和點（0，﹣3）得出a與b的關系，以及當x=1時a+b+c=P是解決問題的關鍵．17．（2021·山東濰坊第12題3分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c+2的圖象如圖所示，頂點為（﹣1，0），下列結論：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．.分析： ①首先根據(jù)拋物線開口向上，可得a＞0；然后根據(jù)對稱軸在y軸左邊，可得b＞0；最后根據(jù)拋物線與y軸的交點在x軸的上方，可得c＞0，據(jù)此判斷出abc＞0即可．②根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c+2的圖象與x軸只有一個交點，可得△=0，即b2﹣4ac③首先根據(jù)對稱軸x=﹣=﹣1，可得b=2a，然后根據(jù)b2﹣4ac=0，確定出a④根據(jù)對稱軸是x=﹣1，而且x=0時，y＞2，可得x=﹣2時，y＞2，據(jù)此判斷即可．解答： 解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵對稱軸在y軸左邊，∴b＞0，∵拋物線與y軸的交點在x軸的上方，∴c+2＞2，∴c＞0，∴abc＞0，∴結論①不正確；∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c+2的圖象與x軸只有一個交點，∴△=0，即b2﹣4ac∴結論②正確；∵對稱軸x=﹣=﹣1，∴b=2a∵b2﹣4ac∴4a2﹣4∴a=c，∵c＞0，∴a＞0，∴結論③不正確；∵對稱軸是x=﹣1，而且x=0時，y＞2，∴x=﹣2時，y＞2，∴4a﹣2b+c∴4a﹣2b+c∴結論④正確．綜上，可得正確結論的個數(shù)是2個：②④．故選：B．點評： 此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒攁＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）．18．（2021·山東濰坊第11題3分）如圖，有一塊邊長為6cm A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2考點： 二次函數(shù)的應用；展開圖折疊成幾何體；等邊三角形的性質．.分析： 如圖，由等邊三角形的性質可以得出∠A=∠B=∠C=60°，由三個箏形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK，根據(jù)折疊后是一個三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK，四邊形ODEP、四邊形PFGQ、四邊形QHKO為矩形，且全等．連結AO證明△AOD≌△AOK就可以得出∠OAD=∠OAK=30°，設OD=x，則AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，由矩形的面積公式就可以表示紙盒的側面積，由二次函數(shù)的性質就可以求出結論．解答： 解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．∵箏形ADOK≌箏形BEPF≌箏形AGQH，∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．∵折疊后是一個三棱柱，∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四邊形ODEP、四邊形PFGQ、四邊形QHKO都為矩形．∴∠ADO=∠AKO=90°．連結AO，在Rt△AOD和Rt△AOK中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．∴∠OAD=∠OAK=30°．設OD=x，則AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，∴DE=6﹣2x，∴紙盒側面積=3x（6﹣2x）=﹣6x2+18x，=﹣6（x﹣）2+，∴當x=時，紙盒側面積最大為．故選C．點評： 本題考查了等邊三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，矩形的面積公式的運用，二次函數(shù)的性質的運用，解答時表示出紙盒的側面積是關鍵． 19．（2021?安徽省,第10題，4分）如圖，一次函數(shù)y1＝x與二次函數(shù)y2＝ax2＋bx＋c圖象相交于P、Q兩點，則函數(shù)y＝ax2＋(b－1)x＋c的圖象可能是（） PQOPQOOOOOyyyyyxxxxxA．B．C．D．第10題圖考點：二次函數(shù)的圖象；正比例函數(shù)的圖象．. 分析：由一次函數(shù)y1=x與二次函數(shù)y2=ax2+bx+c圖象相交于P、Q兩點，得出方程ax2+（b﹣1）x+c=0有兩個不相等的根，進而得出函數(shù)y=ax2+（b﹣1）x+c與x軸有兩個交點，根據(jù)方程根與系數(shù)的關系得出函數(shù)y=ax2+（b﹣1）x+c的對稱軸x=﹣＞0，即可進行判斷． 解答：解：∵一次函數(shù)y1=x與二次函數(shù)y2=ax2+bx+c圖象相交于P、Q兩點， ∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有兩個不相等的根， ∴函數(shù)y=ax2+（b﹣1）x+c與x軸有兩個交點， ∵方程ax2+（b﹣1）x+c=0的兩個不相等的根x1＞0，x2＞0， ∴x1+x2=﹣＞0， ∴﹣＞0， ∴函數(shù)y=ax2+（b﹣1）x+c的對稱軸x=﹣＞0， ∵a＞0，開口向上， ∴A符合條件， 故選A． 點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象，直線和拋物線的交點，交點坐標和方程的關系以及方程和二次函數(shù)的關系等，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵． 20．（2021?山東日照，第12題4分）如圖是拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，拋物線的頂點坐標A（1，3），與x軸的一個交點B（4，0），直線y2=mx+n（m≠0）與拋物線交于A，B兩點，下列結論： ①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有兩個相等的實數(shù)根；④拋物線與x軸的另一個交點是（﹣1，0）；⑤當1＜x＜4時，有y2＜y1其中正確的是（） A． ①②③ B． ①③④ C． ①③⑤ D． ②④⑤考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系；拋物線與x軸的交點．.專題： 數(shù)形結合．分析： 根據(jù)拋物線對稱軸方程對①進行判斷；由拋物線開口方向得到a＜0，由對稱軸位置可得b＞0，由拋物線與y軸的交點位置可得c＞0，于是可對②進行判斷；根據(jù)頂點坐標對③進行判斷；根據(jù)拋物線的對稱性對④進行判斷；根據(jù)函數(shù)圖象得當1＜x＜4時，一次函數(shù)圖象在拋物線下方，則可對⑤進行判斷．解答： 解：∵拋物線的頂點坐標A（1，3），∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1，∴2a+b∵拋物線開口向下，∴a＜0，∴b=﹣2a∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②錯誤；∵拋物線的頂點坐標A（1，3），∴x=1時，二次函數(shù)有最大值，∴方程ax2+bx+c=3有兩個相等的實數(shù)根，所以③正確；∵拋物線與x軸的一個交點為（4，0）而拋物線的對稱軸為直線x=1，∴拋物線與x軸的另一個交點為（﹣2，0），所以④錯誤；∵拋物線y1=ax2+bx+c與直線y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B點（4，0）∴當1＜x＜4時，y2＜y1，所以⑤正確．故選C．點評： 本題考查了二次項系數(shù)與系數(shù)的關系：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒攁＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac21．（2021·四川甘孜、阿壩，第9題4分）二次函數(shù)y=x2+4x﹣5的圖象的對稱軸為（） A． x=4 B． x=﹣4 C． x=2 D． x=﹣2考點： 二次函數(shù)的性質．.分析： 直接利用拋物線的對稱軸公式代入求出即可．解答： 解：二次函數(shù)y=x2+4x﹣5的圖象的對稱軸為：x=﹣=﹣=﹣2．故選：D．點評： 此題主要考查了二次函數(shù)的性質，正確記憶拋物線對稱軸公式是解題關鍵．22．（2021?四川廣安，第10題3分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（c≠0）過點（﹣1，0）和點（0，﹣3），且頂點在第四象限，設P=a+b+c，則P的取值范圍是（） A． ﹣3＜P＜﹣1 B． ﹣6＜P＜0 C． ﹣3＜P＜0 D． ﹣6＜P＜﹣3考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．.分析： 利用二次函數(shù)圖象的開口方向和對稱軸求出a＞0，b＜0，把x=﹣1代入求出b=a﹣3，把x=1代入得出P=a+b+c=2a﹣6，求出2解答： 解：∵拋物線y=ax2+bx+c（c≠0）過點（﹣1，0）和點（0，﹣3），∴0=a﹣b+c，﹣3=c，∴b=a﹣3，∵當x=1時，y=ax2+bx+c=a+b+c，∴P=a+b+c=a+a﹣3﹣3=2a∵頂點在第四象限，a＞0，∴b=a﹣3＜0，∴a＜3，∴0＜a＜3，∴﹣6＜2a即﹣6＜P＜0．故選：B．點評： 此題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質，根據(jù)圖象過（﹣1，0）和點（0，﹣3）得出a與b的關系，以及當x=1時a+b+c=P是解決問題的關鍵．23．（2021·山東濰坊第12題3分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c+2的圖象如圖所示，頂點為（﹣1，0），下列結論：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．.分析： ①首先根據(jù)拋物線開口向上，可得a＞0；然后根據(jù)對稱軸在y軸左邊，可得b＞0；最后根據(jù)拋物線與y軸的交點在x軸的上方，可得c＞0，據(jù)此判斷出abc＞0即可．②根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c+2的圖象與x軸只有一個交點，可得△=0，即b2﹣4ac③首先根據(jù)對稱軸x=﹣=﹣1，可得b=2a，然后根據(jù)b2﹣4ac=0，確定出a④根據(jù)對稱軸是x=﹣1，而且x=0時，y＞2，可得x=﹣2時，y＞2，據(jù)此判斷即可．解答： 解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵對稱軸在y軸左邊，∴b＞0，∵拋物線與y軸的交點在x軸的上方，∴c+2＞2，∴c＞0，∴abc＞0，∴結論①不正確；∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c+2的圖象與x軸只有一個交點，∴△=0，即b2﹣4ac∴結論②正確；∵對稱軸x=﹣=﹣1，∴b=2a∵b2﹣4ac∴4a2﹣4∴a=c，∵c＞0，∴a＞0，∴結論③不正確；∵對稱軸是x=﹣1，而且x=0時，y＞2，∴x=﹣2時，y＞2，∴4a﹣2b+c∴4a﹣2b+c∴結論④正確．綜上，可得正確結論的個數(shù)是2個：②④．故選：B．點評： 此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒攁＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）．24．（2021·山東濰坊第11題3分）如圖，有一塊邊長為6cm A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2考點： 二次函數(shù)的應用；展開圖折疊成幾何體；等邊三角形的性質．.分析： 如圖，由等邊三角形的性質可以得出∠A=∠B=∠C=60°，由三個箏形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK，根據(jù)折疊后是一個三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK，四邊形ODEP、四邊形PFGQ、四邊形QHKO為矩形，且全等．連結AO證明△AOD≌△AOK就可以得出∠OAD=∠OAK=30°，設OD=x，則AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，由矩形的面積公式就可以表示紙盒的側面積，由二次函數(shù)的性質就可以求出結論．解答： 解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．∵箏形ADOK≌箏形BEPF≌箏形AGQH，∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．∵折疊后是一個三棱柱，∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四邊形ODEP、四邊形PFGQ、四邊形QHKO都為矩形．∴∠ADO=∠AKO=90°．連結AO，在Rt△AOD和Rt△AOK中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．∴∠OAD=∠OAK=30°．設OD=x，則AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，∴DE=6﹣2x，∴紙盒側面積=3x（6﹣2x）=﹣6x2+18x，=﹣6（x﹣）2+，∴當x=時，紙盒側面積最大為．故選C．點評： 本題考查了等邊三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，矩形的面積公式的運用，二次函數(shù)的性質的運用，解答時表示出紙盒的側面積是關鍵．二填空題 1.（2021?山東臨沂,第19題3分）定義：給定關于x的函數(shù)y，對于該函數(shù)圖象上任意兩點（x1，y1），（x2，y2）， 當x1﹤x2時，都有y1﹤y2，稱該函數(shù)為增函數(shù).根據(jù)以上定義，可以判斷下面所給的函數(shù)中，是增函數(shù)的有______________（填上所有正確答案的序號）. ①y=2x；②y=x＋1；③y=x2(x＞0)；④. 【答案】①③ 考點：函數(shù)的圖像與性質 2.（2021上海,第12題4分）如果將拋物線y＝x2＋2x－1向上平移，使它經(jīng)過點A(0，3)，那么所得新拋物線的表達式是_______________． 【答案】 【解析】拋物線方程配方，得：y＝（x＋1）2－2，向上平移，得：y＝（x＋1）2＋c， 經(jīng)過點A（0,3），則：3＝1＋c，c=2， 所以，新拋物線的表達式是：y＝（x＋1）2＋2＝x2＋2x＋3。 3.（2021?浙江衢州,第16題4分）如圖，已知直線分別交軸、軸于點、，是拋物線上的一個動點，其橫坐標為，過點且平行于軸的直線交直線于點，則當時，的值是▲. 【答案】4或或或. 【考點】二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題；單動點問題，曲線上點的坐標與方程的關系；勾股定理；分類思想和方程思想的應用． 【分析】根據(jù)題意，設點的坐標為，則. 在令得．∴. ∵ ∴，即. 由解得或. 由解得或. 綜上所述，的值是4或或或. 4.（2021?浙江湖州，第15題4分）如圖，已知拋物線C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都經(jīng)過原點，頂點分別為A，B，與x軸的另一個交點分別為M、N，如果點A與點B，點M與點N都關于原點O成中心對稱，則拋物線C1和C2為姐妹拋物線，請你寫出一對姐妹拋物線C1和C2，使四邊形ANBM恰好是矩形，你所寫的一對拋物線解析式是_______________________和_________________________ 【答案】,(答案不唯一，只要符合條件即可). 【解析】 試題分析：因點A與點B，點M與點N都關于原點O成中心對稱，所以把拋物線C2看成拋物線C1以點O為旋轉中心旋轉180°得到的，由此即可知a1，a2互為相反數(shù)，拋物線C1和C2的對稱軸直線關于y軸對稱，由此可得出b1=b2.拋物線C1和C2都經(jīng)過原點，可得c1=c2，設點A(m，n)，由題意可知B（－m，－n），由勾股定理可得.由圖象可知MN=︱4m︱，又因四邊形ANBM是矩形，所以AB=MN,即，解得，設拋物線的表達式為，任意確定m的一個值，根據(jù)確定n的值，拋物線過原點代入即可求得表達式，然后在確定另一個表達式即可.l例如，當m=1時，n=，拋物線的表達式為，把x=0，y=0代入解得a=，即，所以另一條拋物線的表達式為. 考點：旋轉、矩形、二次函數(shù)綜合題. 5．（2021?四川資陽,第16題3分）已知拋物線p：y=ax2+bx+c的頂點為C，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B左側），點C關于x軸的對稱點為C′，我們稱以A為頂點且過點C′，對稱軸與y軸平行的拋物線為拋物線p的“夢之星”拋物線，直線AC′為拋物線p的“夢之星”直線．若一條拋物線的“夢之星”拋物線和“夢之星”直線分別是y＝x2＋2x＋1和y＝2x＋2，則這條拋物線的解析式為_____________________． 考點：拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質．. 專題： 新定義．分析： 先求出y=x2+2x+1和y=2x+2的交點C′的坐標為（1，4），再求出“夢之星”拋物線y=x2+2x+1的頂點A坐標（﹣1，0），接著利用點C和點C′關于x軸對稱得到C（1，﹣4），則可設頂點式y(tǒng)=a（x﹣1）2﹣4， 然后把A點坐標代入求出a的值即可得到原拋物線解析式． 解答：解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2， ∴A點坐標為（﹣1，0）， 解方程組得或， ∴點C′的坐標為（1，4）， ∵點C和點C′關于x軸對稱， ∴C（1，﹣4）， 設原拋物線解析式為y=a（x﹣1）2﹣4， 把A（﹣1，0）代入得4a﹣4=0，解得a∴原拋物線解析式為y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3． 故答案為y=x2﹣2x﹣3． 點評：本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點：求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax2+bx+c=0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)，△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣46.（2021湖南岳陽第16題4分） 如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，頂點C的縱坐標為﹣2，現(xiàn)將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線y=a1x2+b1x+c1，則下列結論正確的是③④．（寫出所有正確結論的序號） ①b＞0 ②a﹣b+c＜0 ③陰影部分的面積為4 ④若c=﹣1，則b2=4A． 考點： 二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．.分析： ①首先根據(jù)拋物線開口向上，可得a＞0；然后根據(jù)對稱軸為x=﹣＞0，可得b＜0，據(jù)此判斷即可．②根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c的圖象，可得x=﹣1時，y＞0，即a﹣b+c＞0，據(jù)此判斷即可．③首先判斷出陰影部分是一個平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的面積=底×高，求出陰影部分的面積是多少即可．④根據(jù)函數(shù)的最小值是，判斷出c=﹣1時，a、b的關系即可．解答： 解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，又∵對稱軸為x=﹣＞0，∴b＜0，∴結論①不正確；∵x=﹣1時，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴結論②不正確；∵拋物線向右平移了2個單位，∴平行四邊形的底是2，∵函數(shù)y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，∴平行四邊形的高是2，∴陰影部分的面積是：2×2=4，∴結論③正確；∵，c=﹣1，∴b2=4a∴結論④正確．綜上，結論正確的是：③④．故答案為：③④．點評： （1）此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，要熟練掌握，解答此類問題的關鍵是要明確：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．（2）此題還考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒攁＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）．7.（2021湖南邵陽第18題3分）拋物線y=x2+2x+3的頂點坐標是（﹣1，2）． 考點： 二次函數(shù)的性質．.分析： 已知拋物線的解析式是一般式，用配方法轉化為頂點式，根據(jù)頂點式的坐標特點，直接寫出頂點坐標．解答： 解：∵y=x2+2x+3=x2+2x+1﹣1+3=（x+1）2+2，∴拋物線y=x2﹣2x+3的頂點坐標是（﹣1，2）．故答案為：（﹣1，2）．點評： 此題考查了二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)y=a（x﹣h）2+k的頂點坐標為（h，k），對稱軸為x=h，此題還考查了配方法求頂點式．8.（2021山東菏澤，14，3分）二次函數(shù)的圖象如圖，點O為坐標原點，點A在y軸的正半軸上，點B、C在二次函數(shù)的圖象上，四邊形OBAC為菱形，且∠OBA=120°，則菱形OBAC的面積為． 【答案】． 考點：1．菱形的性質；2．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征． 9.（2021?四川眉山，第17題3分）將二次函數(shù)y=x2的圖象沿x軸向左平移2個單位，則平移后的拋物線對應的二次函數(shù)的表達式為y=x2+4x+4． 考點： 二次函數(shù)圖象與幾何變換．.專題： 計算題．分析： 利用平移規(guī)律：左加右減，確定出平移后二次函數(shù)解析式即可．解答： 解：平移后二次函數(shù)解析式為：y=（x+2）2=x2+4x+4，故答案為：y=x2+4x+4點評： 此題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握平移規(guī)律是解本題的關鍵． 10.（2021?四川樂山,第16題3分）在直角坐標系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：若，則稱點Q為點P的“可控變點”． 例如：點（1，2）的“可控變點”為點（1，2），點（﹣1，3）的“可控變點”為點（﹣1，﹣3）． （1）若點（﹣1，﹣2）是一次函數(shù)圖象上點M的“可控變點”，則點M的坐標為； （2）若點P在函數(shù)（）的圖象上，其“可控變點”Q的縱坐標y′的取值范圍是，則實數(shù)a的取值范圍是． 【答案】（1）（﹣1，2）；（2）0≤a≤． 考點：1．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；2．一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；3．新定義． 三.解答題 1.．（2021山東菏澤，21，8分）已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，k為正整數(shù)． （1）求k的值； （2）當次方程有一根為零時，直線與關于x的二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點，若M是線段AB上的一個動點，過點M作MN⊥x軸，交二次函數(shù)的圖象于點N，求線段MN的最大值及此時點M的坐標； （3）將（2）中的二次函數(shù)圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象x軸上方的部分組成一個“W”形狀的新圖象，若直線與該新圖象恰好有三個公共點，求b的值． 【答案】（1）1，2；（2），M（，）；（3）b=1或=． 考點：二次函數(shù)綜合題． 2.（2021呼和浩特，25，12分）(12分)已知：拋物線y=x2+(2m－1)x+m2－1經(jīng)過坐標原點，且當x<0時，y隨x(1)求拋物線的解析式，并寫出y<0時，對應x的取值范圍; (2)設點A是該拋物線上位于x軸下方的一個動點，過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點D，再作AB⊥x軸于點B，DC⊥x軸于點C. ①當BC=1時，直接寫出矩形ABCD的周長; ②設動點A的坐標為(a，b)，將矩形ABCD的周長L表示為a的函數(shù)并寫出自變量的取值范圍，判斷周長是否存在最大值，如果存在，求出這個最大值，并求出此時點A的坐標;如果不存在，請說明理由. 考點分析：二次函數(shù)→圖像及性質動點問題分類討論思想存在問題矩形周長配方法求極值壓軸題 解析： 沒有配圖，用不用畫圖呢？當然用，但不是現(xiàn)在，因為除了開口方向，你沒有頂點坐標。出卷人說過，多多少少會讓同學們拿點分，最容易的就是第一問，無非就是求個解析式或者算個交點坐標。 先看第（1）問，什么是通過原點，就是x=y=0，直接代入即可，這樣相當于解了一個以m為未知數(shù)的一元二次方程。求出兩個不同的解后，就有了兩個解析式，要用哪一個，再看限制條件。兩個解析式分別為y=x2+x或y=x2－3x，下面就把這個兩個圖畫出來，其實想也可以，但建議你畫圖，而且不在一個坐標系中同時畫這兩個圖。 再看限制條件：當x<0時，y隨x的增大而減小。先看左圖，當x<0時，函數(shù)增減性分兩段，右面一小段是隨著x增大而增大，不符合題意；再看右面的圖，完全符合要求。 另外，你可以看下畫的草圖，對就是草圖，因為這個圖只是給自己看的，所以沒有必要標坐標系要素，關鍵是把開口方向、對稱軸、頂點、與坐標軸交點弄的準確一些就可以了。畫二次函數(shù)曲線的方法，先別畫坐標軸，先畫二次函數(shù)，這樣你可以在沒有拘束（坐標交點）的情況下更好地畫這個對稱的曲線，之后把坐標軸與曲線的交點標出來，比較一線各交點到坐標軸的距離是否與實際點到原點的距離成比例。 第一問還有后半問，覺得這問因該這樣問：請直接寫出y<0時，對應x的取值范圍。因為標準答案只給1分，按照題問要求，是寫出，怎么寫出？標準答案，略微有些可笑，“由圖像知”，如果你寫出答案的依據(jù)是圖像，那么就應該畫圖像，并在圖像上標出關鍵的交點，再輔以文字說明，但這樣做就不值這一分。給出圖并給出兩種解法。 解法一：結合圖像法。（至少值3分） 解： 如右圖所示，圖中的二次函數(shù)曲線為y=x2－3x。 其中，該二次函數(shù)與坐標軸兩個交點分別為O(0，0)和H(3，0),因為該二次函數(shù)的二次項系數(shù)為正數(shù)，所以函數(shù)圖像開口向上，如圖所示，y<0時，對應的是0<x<3。 解法二：把它算出來，這也是代數(shù)的思維，因為題問其實也是按照代數(shù)方式提出，希望你能略微學習一下，很EASY！ 其核心就是分類討論的不等式組，你應該碰到過。 解： ∵y=x2－3x，y<0 ∴x2－3x<0，即x(x－3)<0 情況1： 解該不等式組得0<x<3 情況2： 該不等式組無解， 綜上，當y<0時，0<x<3. 該分析第（2）問了。 第①問不錯，直接寫出即可。也專門畫了圖，就在右面。 BC=1，那么AD=1，算出AB或CD即可。顯然通過二次函數(shù)的左右對性，可知道B點和C點關于二次函數(shù)對稱軸對稱，則OB=CH=(OH－BC)÷2=1，∴B(1，0)，又因為A點橫坐標與B點橫坐標相同，所以將x=1代入到y(tǒng)=x2－3x可得y=－2，∴AB=2，∴CD=2，∴矩形周長為6。 從圖上看，如果A點和D點互換位置，不影響我們得出結論。 該第②問了。動點問題。暫時先用這個圖，題問還不少，好在都圍繞一個二次的式子做文章。 通過前小一問，以及的畫的圖，A點和D點是對稱的，換句話說，就是A點和D點是可以互換的，這就是二次函數(shù)的對稱性，在求交點坐標時也用的是二次方程，能同時解出兩個解，一個是A點，一個是D點，他們相同之處就是他們的縱坐標。 A(a，b)，是一個具體的坐標，那么與之對應的D點的坐標如何表示？我們知道這個兩個點的縱坐標相同，所以可以把y=b代入到y(tǒng)=x2－3x可得：b=x2－3x，當然你可以用求根公式解這個方程，得出一個帶根號的表達式，再往下算比較麻煩，那么換個角度看，不去解這個方程。 看看能否韋達定理？將b=x2－3x變形為0=x2－3x－b，則x1+x2=3，x1·x2=－b，我們來算AD2的長度，沒錯，是有個平方，否則干不掉絕對值： AD2=(x1－x2)2=x12－2x1·x2+x22=x12+2x1·x2+x22－4x1·x2=(x1+x2)2－4x1·x2=9+4b 所以L=2|3－2a|－2(a2－3a)，顯然要討論a的位置，即a與EQ\F(3,2)的大小來決定如何去絕對者。這樣可以得到兩個函數(shù)，一個A點在對稱軸左邊，另一個在對稱軸右邊，所以需要分別討論。這個“分別討論”是我們按照這個思路做出來的。其實一開始就可以用分類討論方法，整個過程更為簡單，分類方法一致，參考答案就是直接分類討論，這里給出的韋達達定理方法，是剛剛嘗試的，給同學們一個啟發(fā)。 其實，剛拿到題目，看了兩眼就知道兩個點對稱，均滿足題目要求，而且如果要具體求出坐標的話，必須分開討論才能正確求解。當然，如果的確有解該題的能力，那么你在求D點坐標時，馬上會發(fā)現(xiàn)必須討論A點的位置后才能寫出D點的表達式。 解： （1）∵y=x2+(2m－1)x+m2∴0=0+0+m2－1，即m2－1=0 解該方程得m=±1 ∴該二次函數(shù)解析式為y=x2+x或y=x2－3x 又∵當x<0時，y隨x的增大而減小 ∴二次函數(shù)解析式為y=x2－3x. 如右圖所示為函數(shù)y=x2－3x圖像 ∵該圖像開口向上，且與橫軸交點坐標從左至右為（0,0）和（3,0） ∴y<0時，0<x<3. （2） ①當BC=1時，矩形的周長為6. ②解法1——韋達定理 ∵AD∥x軸 ∴當y=b時，直線AD與拋物線的交點為A點和D點 ∴A點和D點的橫坐標為以x為未知數(shù)的方程b=x2－3x的解 ∴兩個解存在如下關系：x1+x2=3，x1·x2=－b ∴AD2=(x1－x2)2 =x12－2x1·x2+x22 =x12+2x1·x2+x22－4x1·x2 =(x1+x2)2－4x1·x2 =9+4b 又∵A(a，b)在y=x2－3x上，即b=a2－3a∴L=2|3－2a|－2(a2－3∵當A(a，b)運動到頂點，不存在矩形 ∴a的取值范圍為0＜a＜EQ\F(3,2)和EQ\F(3,2)＜a＜3. 下面過程為求L的最大值： 當0＜a＜EQ\F(3,2)，A點位于對稱軸的左側 ∴L=2(3－2a)－2(a2－3a)=－2a2+2a+6=－2(a－EQ\F(1,2))2+EQ\F(13,2) ∴當a=EQ\F(1,2)時，L最大=EQ\F(13,2)，A點坐標為(EQ\F(1,2),－EQ\F(5,4)). 當EQ\F(3,2)＜a＜3時，A點位于對稱軸的右側 ∴L=2(2a－3)－2(a2－3a)=－2a2+10a－6=－2(a－EQ\F(5,2))2+EQ\F(13,2) ∴當a=EQ\F(5,2)時，L最大=EQ\F(13,2)，A點坐標為(EQ\F(5,2),－EQ\F(5,4)). ②解法2——直接討論 ∵點A的坐標為（a，b） ∴當點A在對稱軸左側時，矩形ABCD的一邊BC=3－2a，另一邊AB=3a－a∴周長L=－2a2+2a+6,其中0＜a＜EQ\F(3,2) 當點A在對稱軸右側時，矩形ABCD的一邊BC=3－(6－2a)=2a－3,另一邊AB=3a－∴周長L=－2a2+10a－6，其中EQ\F(3,2)＜a＜3 ∴當0＜a＜EQ\F(3,2)時，L=－2(a－EQ\F(1,2))2+EQ\F(13,2)∴當a=EQ\F(1,2)時，L最大=EQ\F(13,2)，A點坐標為(EQ\F(1,2),－EQ\F(5,4)) 當EQ\F(3,2)＜a＜3時，L=－2(a－EQ\F(5,2))2+EQ\F(13,2)∴當a=EQ\F(5,2)時，L最大=EQ\F(13,2)，A點坐標為(EQ\F(5,2),－EQ\F(5,4)) 小結：兩種方法各有所持。韋達定理，反映的是方程思想，有因為有絕對值的存在，必須去絕對值才可以繼續(xù)運算，所以這里的分類討論思想是被逼出來的，當然到了這一步，誰都能第一時間想到分類討論。有同學會問，只寫了一個帶絕對者的表達式，正確嗎？放心，只要是一個自變量僅對應一個因變量，他就是函數(shù)。后面的直接討論法，也是一開始想用的，這個是因為要用含a式子表示BC的長度，所以只有討論了才能繼續(xù)算，所以后續(xù)都是兵分兩路！ 3.（2021山東省德州市，24，12分）已知拋物線y=－mx2+4x+2m與x軸交于點A(α,0),B(β,0),且. (1)求拋物線的解析式. (2)拋物線的對稱軸為l，與y軸的交點為C，頂點為D，點C關于l的對稱點為E.是否存在x軸上的點M、y軸上的點N，使四邊形DNME的周長最??？若存在，請畫出圖形（保留作圖痕跡），并求出周長的最小值；若不存在，請說明理由. (3)若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當以點D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點P的坐標. 【答案】（1）y=－x2+4x+2.；（2）四邊形DNME的周長的最小值為10+2.（3）（2－，4），（2+，4），（2+，－4），（2－，－4）. 4.（2021山東濟寧，22，11分）(本題滿分11分) 如圖，⊙E的圓心E(3，0)，半徑為5，⊙E與y軸相交于A、B兩點(點A在點B的上方)，與x軸的正半軸相交于點C；直線l的解析式為y＝x＋4，與x軸相交于點D；以C為頂點的拋物線經(jīng)過點B. (1)求拋物線的解析式； (2)判斷直線l與⊙E的位置關系，并說明理由； (3)動點P在拋物線上，當點P到直線l的距離最小時，求出點P的坐標及最小距離. 【答案】（1）y＝－x2＋x－4（2）直線l與⊙E相切于點A（3）當拋物線上的動點P的坐標為(2，－)時，點P到直線l的距離最小，其最小距離為. （2）根據(jù)直線的解析式y(tǒng)＝x＋4可求D坐標，可驗證A在直線上，且在Rt△AOE和Rt△DOA中，==，可證得△AOE∽△DOA，最終證得∠DAO＋∠EAO＝90°，得到直線l與⊙E相切于點A； （3）過點P作直線l的垂線段PQ，垂足為Q；過點P作直線PM垂直于x軸，交直線l于點M.然后設出點M(m，m＋4)，P(m，－m2＋m－4).求得PM的長，PM=(m－2)2＋，當m=2時，PM的最小值為，這時P點的坐標為P(2，－).對于△PQM，在動點P運動的過程中，△PQM的三邊的比例關系不變，因此當PM取得最小值時，PQ也取得最小值，即=·sin∠QMP=·sin∠AEO，代入相應的知可求得結果. 試題解析：(1)解：連接AE. 由已知得：AE＝CE＝5，OE＝3， 在Rt△AOE中，由勾股定理得， OA＝＝＝4. ∵OC⊥AB， ∴由垂徑定理得，OB＝OA＝4. OC＝OE＋CE＝3＋5＝8. ∴A(0，4)，B(0，－4)，C(8，0). ∵拋物線的頂點為點C， ∴設拋物線的解析式為y＝a(x－8)2. 將點B的坐標代入上解析式，得 64a＝－4.故a＝－. ∴y＝－(x－8)2. ∴y＝－x2＋x－4為所求拋物線的解析式. (2)在直線l的解析式y(tǒng)＝x＋4中，令y＝0， 得x＋4＝0，解得x＝－， ∴點D的坐標為(－，0)； 當x＝0時，y＝4，所以點A在直線l上. 在Rt△AOE和Rt△DOA中， ∵＝，＝， ∴＝. ∵∠AOE＝∠DOA＝90°， ∴△AOE∽△DOA. ∴∠AEO＝∠DAO. ∵∠AEO＋∠EAO＝90°， ∴∠DAO＋∠EAO＝90°. 即∠DAE＝90°. 因此，直線l與⊙E相切于點A. (3)過點P作直線l的垂線段PQ，垂足為Q； 過點P作直線PM垂直于x軸，交直線l于點M. 設M(m，m＋4)，P(m，－m2＋m－4). 則PM＝m＋4－(－m2＋m－4)＝m2－m＋8＝(m－2)2＋. 當m＝2時，PM取得最小值. 此時，P(2，－). 對于△PQM，∵PM⊥x軸， ∴∠QMP＝∠DAO＝∠AEO. 又∵∠PQM＝90°， ∴△PQM的三個內角固定不變. ∴在動點P運動的過程中，△PQM的三邊的比例關系不變. ∴當PM取得最小值時，PQ也取得最小值. PQ最?。絇M最小·sin∠QMP＝PM最小·sin∠AEO＝×＝. 所以，當拋物線上的動點P的坐標為(2，－)時，點P到直線l的距離最小，其最小距離為. 考點：二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題 5．（2021?廣東梅州,第21題，9分）九年級數(shù)學興趣小組經(jīng)過市場調查，得到某種運動服每月的銷量與售價的相關信息如下表： 售價（元/件） 100 110 120 130 …月銷量（件） 200 180 160 140 …已知該運動服的進價為每件60元，設售價為x元． （1）請用含x的式子表示：①銷售該運動服每件的利潤是元；②月銷量是件；（直接寫出結果） （2）設銷售該運動服的月利潤為y元，那么售價為多少時，當月的利潤最大，最大利潤是多少？ 考點：二次函數(shù)的應用．. 分析：（1）根據(jù)利潤=售價﹣進價求出利潤，運用待定系數(shù)法求出月銷量； （2）根據(jù)月利潤=每件的利潤×月銷量列出函數(shù)關系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質求出最大利潤． 解答：解：（1）①銷售該運動服每件的利潤是（x﹣60）元； ②設月銷量W與x的關系式為w=kx+b， 由題意得，， 解得，， ∴W=﹣2x+400； （2）由題意得，y=（x﹣60）（﹣2x+400） =﹣2x2+520x﹣24000 =﹣2（x﹣130）2+9800， ∴售價為130元時，當月的利潤最大，最大利潤是9800元． 點評：本題考查的是二次函數(shù)的應用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質以及最值的求法是解題的關鍵． 6．（2021?安徽省,第22題，12分）為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤(岸堤足夠長)為一邊，用總長為80m的圍在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等．設BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2．(1)求y與x之間的函數(shù)關系式，并注明自變量x的取值范圍； (2)x為何值時，y有最大值？最大值是多少？ 區(qū)域①區(qū)域②區(qū)域①區(qū)域②區(qū)域③岸堤ABCDEFGH第22題圖考點：二次函數(shù)的應用．. 專題：應用題 分析：（1）根據(jù)三個矩形面積相等，得到矩形AEFD面積是矩形BCFE面積的2倍，可得出AE=2BE，設BE=a，則有AE=2a，表示出a與2a，進而表示出y與x的關系式，并求出（2）利用二次函數(shù)的性質求出y的最大值，以及此時x的值即可． 解答： 解：（1）∵三塊矩形區(qū)域的面積相等， ∴矩形AEFD面積是矩形BCFE面積的2倍， ∴AE=2BE， 設BE=a，則AE=2a∴8a+2x∴a=﹣x+10，2a=﹣x+20， ∴y=（﹣x+20）x+（﹣x+10）x=﹣x2+30x， ∵a=﹣x+10＞0， ∴x＜40， 則y=﹣x2+30x（0＜x＜40）； （2）∵y=﹣x2+30x=﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次項系數(shù)為﹣＜0， ∴當x=20時，y有最大值，最大值為300平方米． 點評：此題考查了二次函數(shù)的應用，以及列代數(shù)式，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解本題的關鍵． 7.（2021?四川成都,第28題12分） 如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2－2ax－3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），經(jīng)過點A的直線l：y＝kx＋b與y軸負半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD＝4AC． （1）直接寫出點A的坐標，并求直線l的函數(shù)表達式（其中k、b用含a的式子表示）； （2）點E是直線l上方的拋物線上的動點，若△ACE的面積的最大值為EQ\F(5,4)，求a的值； （3）設P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由． xyOxyOABDlC備用圖xyOABDlCE 【答案】：（1）A（－1，0），y＝ax＋a； （2）a＝－EQ\F(2,5)； （3）P的坐標為（1，－EQ\F(26eq\r(,7),7)）或（1，－4） 【解析】： （1）A（－1，0） xyOABDlCEF∵直線l經(jīng)過點AxyOABDlCEF∴y＝kx＋k 令ax2－2ax－3a＝kx＋k，即ax2－(2a＋k)x－3a∵CD＝4AC，∴點D∴－3－EQ\F(k,a)＝－1×4，∴k＝a ∴直線l的函數(shù)表達式為y＝ax＋a （2）過點E作EF∥y軸，交直線l于點F 設E（x，ax2－2ax－3a），則F（x，ax＋aEF＝ax2－2ax－3a－(ax＋a)＝ax2－3ax－4S△ACE＝S△AFE－S△CFE ＝EQ\F(1,2)(ax2－3ax－4a)(x＋1)－EQ\F(1,2)(ax2－3ax－4a)x ＝EQ\F(1,2)(ax2－3ax－4a)＝EQ\F(1,2)a(x－EQ\F(3,2))2－EQ\F(25,8)a ∴△ACE的面積的最大值為－EQ\F(25,8)a ∵△ACE的面積的最大值為EQ\F(5,4) ∴－EQ\F(25,8)a＝EQ\F(5,4)，解得a＝－EQ\F(2,5) （3）令ax2－2ax－3a＝ax＋a，即ax2－3ax－4xyABDlCQxyABDlCQPO∴D（4，5a∵y＝ax2－2ax－3a，∴拋物線的對稱軸為x設P（1，m） ①若AD是矩形的一條邊，則Q（－4，21am＝21a＋5a＝26a，則P∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠ADP＝90° ∴AD2＋PD2＝AP2 ∴52＋(5a)2＋(1－4)2＋(26a－5a)2＝(－1－1)2＋(26a即a2＝EQ\F(1,7)，∵a＜0，∴a＝－EQ\F(eq\r(,7),7) ∴P1（1，－EQ\F(26eq\r(,7),7)） xyOAxyOABDlCPQ則線段AD的中點坐標為（EQ\F(3,2)，EQ\F(5a,2)），Q（2，－3a） m＝5a－(－3a)＝8a，則P∵四邊形APDQ為矩形，∴∠APD＝90° ∴AP2＋PD2＝AD2 ∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a即a2＝EQ\F(1,4)，∵a＜0，∴a＝－EQ\F(1,2) ∴P2（1，－4） 綜上所述，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形 點P的坐標為（1，－EQ\F(26eq\r(,7),7)）或（1，－4） 8.（2021?四川樂山,第26題13分）如圖1，二次函數(shù)的圖象與軸分別交于A、B