人教版八年級數(shù)學上冊 （角的平分線的性質(zhì)）全等三角形教學課件(第2課時)

12.3角的平分線的性質(zhì)第二課時

（1）角的平分線性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么？

其中題設(shè)、結(jié)論是什么？（2）角平分線性質(zhì)定理的作用是證明什么？（3）填空

如圖：

∵OC平分∠AOB，_________________.

∴

AC=BC（角平分線性質(zhì)定理）角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等；題設(shè)是一個點在角平分線上，結(jié)論是這個點到角兩邊的距離相等.證明垂線段相等OA⊥AC,OB⊥BC

探究一：角平分線的判定活動1回顧舊知，回憶類活動把角平分線性質(zhì)定理的題設(shè)、結(jié)論交換后，得出什么命題？猜想：它正確嗎？

到角兩邊距離相等的點在角平分線上.它是正確的.依據(jù)猜測寫出已知、求證，并畫圖，而后獨立寫出證明過程.證明：∵PA⊥OM，BP⊥ON

∴∠OAP=∠OBP=90°

在Rt△AOP和Rt△BOP中，∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴∠1=∠2∴OC平分∠MON探究一：角平分線的判定活動2證明上面的猜想已知：

OM⊥PA于A，ON⊥PB于B，AP=BP求證：

OC平分∠MON歸納角平分線的判定定理：到一角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上.∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）探究一：角平分線的判定活動3現(xiàn)有一條題目，兩位同學分別用兩種方法證明，他們的做法正確嗎？哪一種方法好？已知：

CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC求證：

OC平分∠AOB證法1：∵CA⊥OA，BC⊥OB

∴∠A=∠B

在△AOC和△BOC中，∴△AOC≌△BOC（HL）∴∠AOC=∠BOC

∴OC平分∠AOB探究二：角平分線性質(zhì)和判定的區(qū)別與聯(lián)系活動1證法2：∵CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，

AC=BC

∴OC平分∠AOB（角平分線判定定理）歸納：兩種方法都正確，“證法2”好，證角平分線不再用證三角形全等后再證角相等得出，可直接運用角平分線判定定理.現(xiàn)有一條題目，兩位同學分別用兩種方法證明，他們的做法正確嗎？哪一種方法好？已知：

CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC求證：

OC平分∠AOB探究二：角平分線性質(zhì)和判定的區(qū)別與聯(lián)系結(jié)合圖形完善表中內(nèi)容探究二：角平分線性質(zhì)和判定的區(qū)別與聯(lián)系活動2

題設(shè)結(jié)論作用角平分線性質(zhì)角平分線判定∠1＝∠2（OP平分∠MON），PA⊥OM，PB⊥ONPA＝PB證明垂線段相等PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∠1＝∠2（OP平分∠MON）證明角相等（平分角）角平分線的性質(zhì)和判定之間有什么關(guān)系？探究二：角平分線性質(zhì)和判定的區(qū)別與聯(lián)系活動3角平分線性質(zhì)的題設(shè)是角平分線判定的結(jié)論，角平分線性質(zhì)的結(jié)論是角平分線判定的題設(shè)；角平分線性質(zhì)的作用是證明線段相等，角平分線判定的作用是證明平分角；角平分線性質(zhì)定理和角平分線判定定理是互為逆定理.今天我們學習了關(guān)于角平分線的兩個性質(zhì)：

①角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；

②到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．探究三：利用角平分線的判定進行證明與計算活動1基礎(chǔ)性例題

它們具有互逆性，隨著學習的深入，解決問題越來越簡便了．像與角平分線有關(guān)的求證線段相等、角相等問題，我們可以直接利用角平分線的性質(zhì)，而不必再去證明三角形全等而得出線段相等．例1.已知：如圖所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．

求證：（1）∠ABC＝∠ABC′；

（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．探究三：利用角平分線的判定進行證明與計算活動1基礎(chǔ)性例題證明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定義）．又∵AC＝AC′（已知），∴點A在∠CBC′的角平分線上（到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）．∴∠ABC＝∠ABC′．例1.已知：如圖所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．

求證：（1）∠ABC＝∠ABC′；

（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．探究三：利用角平分線的判定進行證明與計算活動1基礎(chǔ)性例題證明：（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－（∠C＋∠ABC）

＝180°－（∠C′＋∠ABC′）即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′（角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等）．練習：如圖，已知AB=AC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且

DE=DF.求證：BD=DC證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF

∴∠BAD=∠CAD

又∵AB=AC，AD=AD

∴△ADB≌△ADC

∴BD=CD【思路點撥】由DE=DF，可得∠BAD=∠CAD（角平分線的判定），則△ADB≌△ADC，所以BD=CD.探究三：利用角平分線的判定進行證明與計算探究三：利用角平分線的判定進行證明與計算活動2提升型例題例2.如圖，△ABC中，點O是△ABC內(nèi)一點，且點O到△ABC三邊的距離相等，∠A=40°，則∠BOC=（）A．110° B．120° C．130° D．140°解：由已知，O到三角形三邊距離相等，所以O(shè)是內(nèi)心，即三角形角平分線交點，AO、BO、CO都是角平分線，所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180°?40°=140°，∠OBC+∠OCB=70°，∠BOC=180°?70°=110°，故選A.A練習：如圖，△ABC中，點O是△ABC內(nèi)一點，且點O到△ABC三邊的距離相等，∠A=52°，則∠BOC=（）A．128° B．116° C．75°D．52°解：如圖，∵∠A=52°∴∠ABC+∠ACB=180°-52°=128°∵點O到△ABC三邊的距離相等∴點O是△ABC角平分線的交點在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-64°=116°．B探究三：利用角平分線的判定進行證明與計算例3.已知：如圖，AD、BE是△ABC的兩個角平分線，AD、BE相交于O點.

求證：O在∠C的平分線上.證明：過O作OG⊥AB，OM⊥BC，ON⊥AC，∵AO平分∠BAC，∴OG=ON，∵BO平分∠ABC，∴OG=OM，∴ON=OM，∴O在∠C的平分線上.探究三：利用角平分線的判定進行證明與計算練習：如圖，BP是△ABC的外角平分線，點P在∠BAC的角平分線上．求證：CP是△ABC的外角平分線．證明：過P作三邊AB、AC、BC的垂線段PD、PE、PF∵BP是△ABC的外角平分線，PD⊥AD，PF⊥BC∴PD=PF（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）∵點P在∠BAC的角平分線上，PD⊥AD，PE⊥AE∴PD=PE（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）∴PF=PE，PF⊥BC，PE⊥AE∴CP是△ABC的外角平分線（在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點在角的平分線上）探究三：利用角平分線的判定進行證明與計算例4.如圖，BE=CF，DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，且DB=DC，

求證：AD是∠BAC的平分線．

探究三：利用角平分線的判定進行證明與計算活動3探究型例題證明：∵DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE與△CDF是直角三角形，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分線．練習：如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，BE＝CF.求證：AD是△ABC的角平分線.證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE和△CDF是直角三角形．∴

Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴

DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴

AD是角平分線．探究三：利用角平分線的判定進行證明與計算知識梳理（1）能證明角平分線判定定理；（2）理解角平分線的性質(zhì)和判定的關(guān)系；（3）能利用角平分線的性質(zhì)和判定進行證明和計算.重難點歸納（1）理解角平分線性質(zhì)與判定的關(guān)系；（2）靈活利用角平分線性質(zhì)與判定解決線段和角有關(guān)的問題.完成“《角的平分線的性質(zhì)（2）》隨堂檢測”12.3角的平分線的性質(zhì)第十二章全等三角形PleaseEnterYourDetailedTextHere,TheContentShouldBeConciseAndClear,ConciseAndConciseDoNotNeedTooMuchText人教版數(shù)學（初中）（八年級上）

前言學習目標1.理解并掌握角平分線的性質(zhì)定理，會用三角形全等的知識證明。2.能運用角平分線的性質(zhì)定理解決實際問題，并能靈活運用。重點難點重點：利用尺規(guī)作已知角的平分線。難點：角的平分線的作圖方法的提煉。ADBC平分角的儀器(其中AB=AD,BC=DC,四邊可活動)將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE,AE就是這個角的平分線。你能說明它的道理嗎？EADBC△ABC≌△ADC(SSS)∠BAC=∠DAC思考已知：∠AOB,求作：∠AOB的平分線。畫法：以Ｏ為圓心，適當長為半徑畫弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ。

畫射線ＯＣ，射線ＯＣ即為所求。AＢＯＭＮＣ思考AOBEDPC你能用三角形全等證明PD=PE嗎？在∠AOB的平分線OC上任取一點P，過點P畫出OA，OB的垂線，分別記垂足為D，E，測量PD，PE的長度，它們相等嗎？猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。思考AOBEDPC已知∠AOC=∠BOC,PD⊥AO,PE⊥OB求：PD=PE.在∠AOB的平分線OC上任取一點P，過點P畫出OA，OB的垂線，分別記垂足為D，E，測量PD，PE的長度，它們相等嗎？證明：∵PD⊥AO,PE⊥OB

∴∠PDO=∠PEO=90°

在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO∠AOC=∠BOCOP=OP∴△PDO≌△PEO（AAS）

∴PD=PE

{思考一般情況下，我們要證明一個幾何命題時，可以按照類似的步驟進行，即1.明確命題中的已知和求證。2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號表示已知和求證。3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論和途徑，寫出證明過程。小結(jié)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。用符號語言表示為：∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.AOBEDPC12結(jié)論已知求證角的平分線上的點到角的兩邊距離相等角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角平分線上思考AOBEDP已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為Ｄ、Ｅ，PD=PE求證:點P在∠AOB的平分線上．證明：經(jīng)過點Ｐ作射線OC.∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°

在Rt△PDO和Rt△PEO中

OP=OP,PD=PE,∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL)∴∠AOC=∠BOC∴