專題27圓的方程及幾何性質(zhì)

專題27圓的方程及幾何性質(zhì)№專題27圓的方程及幾何性質(zhì)№考向解讀?考點(diǎn)精析?真題精講?模擬精練?專題訓(xùn)練（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題27圓的方程及幾何性質(zhì)命題解讀命題預(yù)測(cè)復(fù)習(xí)建議圓的方程是高中數(shù)學(xué)中必學(xué)知識(shí)點(diǎn)，在高考中圓的知識(shí)也是每年都出現(xiàn)，但單獨(dú)考察圓的方程的題目比較少，至少近幾年幾乎沒有出現(xiàn)，在圓的方程的考察方面主要是與直線相結(jié)合來出題，以基礎(chǔ)題目為主。直線與圓、圓與圓位置關(guān)系是高考考察的知識(shí)點(diǎn)之一，近幾年高考中主要出現(xiàn)在選擇或者填空題中，主要是考察綜合問題，但難度不大，一般以基礎(chǔ)題和中檔題為主，出題形式比較靈活，多利用數(shù)形結(jié)合方法解題。預(yù)計(jì)2024年的高考圓的方程還是以基礎(chǔ)為主，注重課本基礎(chǔ)知識(shí)，注重幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。直線與圓、圓與圓位置關(guān)系出題還是以基礎(chǔ)性的綜合題為主，出題方式靈活多變，難度以中低檔為主，注重?cái)?shù)形結(jié)合的應(yīng)用，多考察能力。集合復(fù)習(xí)策略：1.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程；。3.理解直線的傾斜角與斜率的概念，會(huì)計(jì)算斜率并運(yùn)用斜率判定直線的位置關(guān)系；4.掌握直線方程的各種形式?！?考點(diǎn)精析←一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程1.圓的定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡).(xa)2+(yb)2=r2(r>0)圓心為(a,b)半徑為rx2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F>0)圓心為D2,E2半徑為1二、與圓有關(guān)的計(jì)算問題1.與圓有關(guān)的最值問題的計(jì)算（主要是距離最值、對(duì)稱性求最值）三、直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O的半徑為r(r>0),圓心到直線l的距離為d,則直線與圓的位置關(guān)系可用下表表示:位置關(guān)系相離相切相交圖形代數(shù)觀點(diǎn)Δ<0

Δ=0

Δ>0

幾何觀點(diǎn)d>r

d=r

d<r

四、直線的方程設(shè)兩圓的半徑分別為R,r(R>r),兩圓圓心間的距離為d,則兩圓的位置關(guān)系可用下表表示:位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量的關(guān)系d>R+rd=R+rRr<d<R+rd=Rd<Rr→?真題精講←1.（2023全國(guó)理科乙卷12）已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得，或然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定的最大值.【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得當(dāng)點(diǎn)位于直線異側(cè)時(shí)，設(shè)，則：，則當(dāng)時(shí)，有最大值.當(dāng)點(diǎn)位于直線同側(cè)時(shí)，設(shè)，則：，則當(dāng)時(shí)，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，考查了學(xué)生對(duì)于知識(shí)的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.2.（2023天津卷12）過原點(diǎn)的一條直線與圓相切，交曲線于點(diǎn)，若，則的值為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓和曲線關(guān)于軸對(duì)稱，不妨設(shè)切線方程為，，即可根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，直線與拋物線的位置關(guān)系解出．【詳解】易知圓和曲線關(guān)于軸對(duì)稱，不妨設(shè)切線方程為，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．當(dāng)時(shí)，同理可得．故答案為：．3.（2023全國(guó)Ⅱ卷15）已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“面積為”的m的一個(gè)值______．【答案】（中任意一個(gè)皆可以）【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長(zhǎng)，以及點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合面積公式即可解出．【詳解】設(shè)點(diǎn)到直線距離為，由弦長(zhǎng)公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中任意一個(gè)皆可以）．→?模擬精練←1．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知經(jīng)過點(diǎn)，半徑為1．若直線是的一條對(duì)稱軸．則k的最大值為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓心的坐標(biāo)為，因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，半徑為1，所以，故點(diǎn)在圓上，又直線是的一條對(duì)稱軸，所以，故點(diǎn)在直線上所以圓與直線有交點(diǎn)，所以，所以，所以，所以k的最大值為，故選：D.2．（2023·廣東江門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若直線與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，且（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則b的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】，圓的半徑為1，，圓心到直線的距離，，解得.故選：C3．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）已知直線：，：，圓C：，若圓C與直線，都相切，則下列選項(xiàng)一定正確的是（

）A．與關(guān)于直線對(duì)稱B．若圓C的圓心在x軸上，則圓C的半徑為3或9C．圓C的圓心在直線或直線上D．與兩坐標(biāo)軸都相切的圓C有且只有2個(gè)【答案】ACD【解析】對(duì)于A，設(shè)直線：上任意一點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得，所以點(diǎn)在直線：上，所以與關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閳AC的圓心在x軸上，設(shè)圓心為，因?yàn)閳AC與直線，都相切，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圓C：，得圓心為，半徑為，因?yàn)閳AC與直線，都相切，所以，解得或，所以圓心在直線或直線上，故C正確；對(duì)于D，由圓C：，得圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與兩坐標(biāo)軸都相切，得圓心到軸的距離為，到軸的距離為，所以且，即，解得或，當(dāng)時(shí)，由題意可知，解得或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)不滿足，所以與兩坐標(biāo)軸都相切的圓C有且只有2個(gè)，故D正確.故選：ACD.4．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）已知圓，直線，則（

）A．直線過定點(diǎn)B．直線與圓可能相離C．圓被軸截得的弦長(zhǎng)為D．圓被直線截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線的方程為【答案】AC【解析】直線，由，得，即l恒過定點(diǎn)，故A正確；點(diǎn)與圓心的距離，故直線l與圓C恒相交，故B錯(cuò)誤；令，則，可得，故圓C被y軸截得的弦長(zhǎng)為，故C正確；要使直線l被圓C截得弦長(zhǎng)最短，只需與圓心連線垂直于直線，所以直線l的斜率，可得，故直線l為，故D錯(cuò)誤．故選：AC．5．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．以為直徑的圓與圓相交所得的公共弦所在直線方程為B．若點(diǎn)，則的面積為C．過點(diǎn)且與圓相切的圓的圓心軌跡為圓D．的最小值為【答案】AB【解析】A:由，，則其中點(diǎn)為，所以，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，化為一般式方程為①，又圓的一般式方程為②，而，①②得為兩圓相交弦所在的直線方程．故A正確；B：由直線的方程為，則點(diǎn)到直線的距離，．故B正確；C:由圖可知，設(shè)過點(diǎn)且與圓內(nèi)切的圓的圓心為，且切點(diǎn)為，則滿足橢圓定義，故圓心的軌跡為橢圓．故C錯(cuò)誤；D：設(shè)，，則可轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方，所以的最小值為，故．故D錯(cuò)誤.故選：AB.6．（2023·廣東江門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓，圓，下列說法正確的是（

）A．若，則圓與圓相交B．若，則圓與圓外離C．若直線與圓相交，則D．若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則【答案】AC【解析】圓的圓心，半徑若，，則圓心，半徑，則，所以，則圓與圓相交，故A正確，B錯(cuò)誤；若直線與圓相交，則圓心到直線的距離，解得，故C正確；若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則圓心到直線的距離，所以相交弦長(zhǎng)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.7．（2023·江蘇無錫·輔仁高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知經(jīng)過點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為（為整數(shù)），且與直線相切，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為B．若，則實(shí)數(shù)的值為C．若，則直線的方程為或D．弦的中點(diǎn)的軌跡方程為【答案】BC【分析】根據(jù)題意可得出關(guān)于的等式，結(jié)合可求得的值，可得出圓的方程，可判斷A選項(xiàng)；分析可知直線過圓心，求出的值，可判斷B選項(xiàng)；利用勾股定理結(jié)合點(diǎn)到直線的距離求出的值，可得出直線的方程，可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)已知條件求出點(diǎn)的軌跡方程，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，設(shè)圓的半徑為，由題意可得圓的方程為（為整數(shù)），根據(jù)點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，且圓與直線相切，則，所以，，因?yàn)?，解得，則，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，點(diǎn)在圓上，且，線段為圓的一條直徑，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，圓心在直線上，，解得，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)A知圓的半徑為，圓心，則圓心到直線的距離，，即，解得，，整理得，解得或，則直線的方程為或，故C正確；對(duì)于D，直線的方程可化為，過定點(diǎn)，由圓的性質(zhì)可得，點(diǎn)的軌跡是以線段為直徑的圓，則此圓圓心為線段的中點(diǎn)，其坐標(biāo)為，半徑為，則該圓的方程為，由解得或，故弦的中點(diǎn)的軌跡方程為，故D錯(cuò)誤；故選：BC.8．（2023·廣東惠州·高三統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓，則下列說法正確的是（

）A．直線l恒過定點(diǎn) B．圓M的圓心坐標(biāo)為C．存在實(shí)數(shù)k，使得直線l與圓M相切 D．若，直線l被圓M截得的弦長(zhǎng)為2【答案】AB【解析】變形為，故恒過定點(diǎn)，A正確；變形為，圓心坐標(biāo)為，B正確；令圓心到直線的距離，整理得：，由可得，方程無解，故不存在實(shí)數(shù)k，使得直線l與圓M相切，C錯(cuò)誤；若，直線方程為，圓心在直線上，故直線l被圓M截得的弦長(zhǎng)為直徑4，D錯(cuò)誤.故選：AB9．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考二模）已知，點(diǎn)A為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線與相切于點(diǎn)P，若，則的最小值為__________.【答案】【分析】設(shè)，連接，求出、，求的最小值可轉(zhuǎn)化為求到兩點(diǎn)和距離和的最小值，連接可得答案.【詳解】設(shè)，，連接，所以，且，所以，，所以求的最小值可轉(zhuǎn)化為求到兩點(diǎn)和距離和的最小值，如圖，連接即可，所以，故答案為：.10．（2023·江蘇·二模）過點(diǎn)且與圓：相切的直線方程為__________【答案】或【分析】分斜率存在與否兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式即可得解．【詳解】解：將圓方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心，半徑為，當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為是圓的切線，滿足題意；當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程為，即，利用圓心到直線的距離等于半徑得，解得，即此直線方程為，故答案為：或．11．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知?jiǎng)訄A經(jīng)過點(diǎn)及原點(diǎn),點(diǎn)是圓與圓的一個(gè)公共點(diǎn),則當(dāng)最小時(shí),圓的半徑為___________.【答案】5【解析】如圖:記圓半徑為R,,則,,所以,當(dāng)最小時(shí),最大,此時(shí)兩圓內(nèi)切.由已知設(shè)動(dòng)圓的圓心為,又圓心可得即,解得,所以,即圓的半徑為5.故答案為:5.12．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）過四點(diǎn)、、、中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為______（寫出一個(gè)即可）.【答案】（答案不唯一）【解析】過，，時(shí)，設(shè)圓的方程為，則，解得，圓的方程是：，即；同理可得：過、、時(shí)，圓的方程是：；過，，時(shí)，圓的方程是：；過，，時(shí)，圓的方程是：.故答案為：.（、、、寫其中一個(gè)即可）13．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在圓內(nèi)，過點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為__________．【答案】【解析】圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則圓心半徑，由題意知最長(zhǎng)弦為過點(diǎn)的直徑，最短弦為過點(diǎn)和這條直徑垂直的弦，即，且，圓心和點(diǎn)之間的距離為1，故，所以四邊形ABCD的面積為．故答案為：14．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）設(shè)直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若圓上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得直線平分，則______.【答案】/【詳解】點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，直線平分，在的垂直平分線上，因?yàn)樗灾写咕€的斜率為，的中點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式得，化簡(jiǎn)得，在圓滿足條件的有且僅有一個(gè)，直線與圓相切，，故答案為:.→?專題訓(xùn)練←1．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）已知直線，若，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【詳解】因?yàn)橹本€，且，則，所以.故選：B2．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）已知直線經(jīng)過圓的圓心，其中且，則的最小值為（

）A．9 B． C．1 D．【答案】A【詳解】圓的圓心為，依題意，，即，由，知，令，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值9.故選：A3．（多選）（2023·江蘇南通·三模）直線與圓交于兩點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，則(

).A．線段最短長(zhǎng)度為 B．的面積最大值為C．無論為何值，與圓相交 D．不存在，使取得最大值【答案】CD【詳解】由直線可知，該直線過定點(diǎn),且直線斜率一定存在，當(dāng)時(shí)，弦的弦心距最長(zhǎng)，則長(zhǎng)最短為，此時(shí)的斜率不存在，與題意矛盾，故A錯(cuò)誤；的面積為,若的面積取到最大值，則為直角，由于,此時(shí)，與題意矛盾，B錯(cuò)誤；由于直線過定點(diǎn),在內(nèi)，故無論為何值，與圓相交，C正確；為圓上任意一點(diǎn)，假設(shè)當(dāng)與x軸垂直時(shí)，如圖中虛線位置，此時(shí)劣弧最短，最大，但由于直線l斜率存在，故直線取不到圖中虛線位置，即不存在，使取得最大值，D正確，故選：CD4.已知M，N分別是曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】圓的圓心，半徑為，圓，圓心，半徑為，圓心關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，解得故．故選．5.方程所確定的圓中，最大面積是()A． B． C．3π D．不存在【答案】B【解析】所給圓的半徑.所以當(dāng)時(shí)，半徑r取最大值，此時(shí)最大面積是.故選B6.已知直線與圓有公共點(diǎn)，則的最大值為（）A．4 B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楸硎緢A，所以，解得，因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離，即，解得，此時(shí)，因?yàn)?，在遞增，所以的最大值.故選:C7.已知圓C經(jīng)過A（0，0），B（2，0），且圓心在第一象限，△ABC為直角三角形，則圓C的方程為()A．（x–1）2+（y–1）2=4 B．C．（x–1）2+（y–1）2=2 D．（x–1）2+（y–2）2=5【答案】C【解析】因?yàn)閳A心在弦的中垂線上，所有可設(shè)，由于為等腰直角三角形，所以圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為，所以圓的方程為，故選C.8.若圓C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0過坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為()A．2或1 B．－2或－1C．2 D．1【答案】C【解析】若圓C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0過坐標(biāo)原點(diǎn)，則有且.解得.故選C.9.若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦長(zhǎng)為，則a＝________.【答案】【解析】圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦所在直線方程為，設(shè)圓心到直線的距離為，則，又公共弦長(zhǎng)為，所以，所以，所以，所以.又，所以，故答案為：.10.已知點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)（不同于點(diǎn)），使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】在以為直徑的圓上，因?yàn)閳A上存在點(diǎn)（不同于點(diǎn)），使得，圓與圓相交，，解得，故選A.11.已知圓：和圓：外切（其中），則的最大值為（）A．4 B． C．8 D．【答案】B【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∵兩圓外切，∴，∵，∴，∴，∴的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最值，故選：B.12．若直線與圓：相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直線過的定點(diǎn)并判斷與圓的位置關(guān)系，再求出垂直于經(jīng)過該定點(diǎn)的圓的直徑的弦長(zhǎng)作答.【詳解】直線，即恒過定點(diǎn)，而，即點(diǎn)在圓內(nèi)，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小，而圓的圓心，半徑，，所以.故選：B13．已知圓，與圓總相切的圓的方程是_________．【答案】【分析】根據(jù)圓標(biāo)準(zhǔn)方程可知圓心軌跡，由圓心軌跡與圓軌跡可確定圓上總有點(diǎn)與原點(diǎn)距離為4即可求出圓的方程.【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓的圓心為，半徑為2，由圓心坐標(biāo)可知圓心軌跡是以原點(diǎn)為圓心