巧用矩陣特征值證明矩陣不等式

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巧用矩陣特征值證明矩陣不等式（完整版）實用資料(可以直接使用，可編輯完整版實用資料，歡迎下載）海南師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文本科生畢業(yè)論文獨創(chuàng)性聲明本人聲明所呈交的畢業(yè)論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進行的研究工作及取得的研究成果，除了文中特別加以標注和致謝的地方外，本論文中沒有抄襲他人研究成果和偽造數(shù)據(jù)等行為。與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻均已在論文中作了明確的說明并表示謝意。論文作者簽名：日期：本科生畢業(yè)論文使用授權(quán)聲明海南師范大學(xué)有權(quán)保留并向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交畢業(yè)論文的復(fù)印件和磁盤，允許畢業(yè)論文被查閱和借閱。本人授權(quán)海南師范大學(xué)可以將本畢業(yè)論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印或其他復(fù)印手段保存、匯編畢業(yè)論文。論文作者簽名：日期：指導(dǎo)教師簽名：日期：目錄1.引言…………..………12.定義與符號……………13.利用特征值證明矩陣不等式…………23.1利用特征值估計矩陣和的特征值…………………….…………23.2利用特征值估計矩陣行列式…………………….33.3利用特征值估計Kronecker積的特征值…………53.4利用特征值估計矩陣的跡……………………….6參考文獻…………………8TOC\o"1-2"\h\z\u巧用矩陣特征值證明矩陣不等式（海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，?？?，571158)摘要:矩陣特征值問題是矩陣論中很重要的一部分,具有很重要的理論和實際意義。利用矩陣論中兩個重要的基本概念特征值和特征向量證明矩陣不等式，在矩陣研究和應(yīng)用中有著非常重要的作用。為此，本文介紹了矩陣特征值在證明有關(guān)矩陣和的的特征值、矩陣行列式、Kronecker積的特征值、矩陣的跡等不等式上的應(yīng)用。關(guān)鍵詞:矩陣特征值;行列式;跡;Kronecker積UsingmatrixinequalitiestoprovematrixeigenvalueAuthor:LIYanlanTutor:lecturerZhangTai(SchoolofMathematicsandandStatisticsHainannormaluniversity,Haikou,571158)Abstract:Thematrixeigenvalueproblemisaveryimportantpartofmatrixtheory,theyhaveconsiderablypracticalsignificance.Theuseofeigenvalueandeigenvectortoprovematrixinequalityplayaveryimportantroleintheresearchofmatrix.Thepaperintroducesthematrixeigenvalueisusedtoprovethattheinequalityofmatrixeigenvalues,matrixdeterminant,eigenvaluesofKroneckerproductandthematrixtrace.Keywords:matrixeigenvalue;determinant;trace;Kroneckerproduct1.引言矩陣特征值問題是矩陣中舉足輕重的一部分。利用矩陣論中兩個重要的基本概念特征值和特征向量來證明矩陣不等式是非常有用的方法，已有許多成果出現(xiàn)在一些國內(nèi)外期刊文獻中[4-8]。本文主要總結(jié)了矩陣特征值在證明矩陣和的的特征值、矩陣行列式、Kronecker積的特征值、矩陣的跡等問題上的應(yīng)用，并系統(tǒng)歸納了許多相關(guān)內(nèi)容，肯定了利用矩陣特征值在證明矩陣不等式中的優(yōu)勢。2.定義、符號設(shè)表示所有n階復(fù)方陣所成之集,表示所有n階實方陣所成之集，.以數(shù)域F中的數(shù)為元素的階矩陣集合，表示A為半正定矩陣。定義1設(shè)A為n階方陣，若數(shù)和非零向量滿足則稱為A的特征值,為A的對應(yīng)于的特征向量.定義2設(shè)為n階方陣，記;即取共軛同時又轉(zhuǎn)置.若，則稱A為Hermite陣.定義3設(shè)A為n階Hermite陣，若對于任意，則稱A為半正定的，記為.定義4設(shè)A為Hermite矩陣，下列命題是等價地：（1）A是半正定的；（2）對于任何n階可逆矩陣P都有是半正定的；（3）A的n個特征值全是非負的；定義5設(shè).稱它為對角線元素之和的A的跡.記為trA.即定義6設(shè)和分別為和矩陣，矩陣是一個矩陣，稱為A與B的Kronecker乘積，記為，即定義7[3]對n級復(fù)矩陣A，如滿足,就叫做酉陣.它的行列式的絕對值等于1.3.利用矩陣特征值證明矩陣不等式3.1利用矩陣特征值估計矩陣和的的特征值鑒于特征值的重要性,在很多期刊雜志上出現(xiàn)過研究特征值的各種不等式.而Rayleigh-Ritz定理和Courant-Fischer定理是比較重要的兩個定理.他們通過Rayleigh-Ritz商的各種極值來表征Hermite陣的特征值,在應(yīng)用上往往有這樣的情況,我們感興趣的是方陣A,但實際A不能被精確觀測到,我們只能觀測A+B，這種情況下,我們需要研究A+B的特征值與A和B特征值之間的關(guān)系，下面的內(nèi)容主要介紹如何利用矩陣特征值估計矩陣和的特征值.引理3.1[1]（Rayleigh-Ritz）設(shè)A為n×nHermite陣,則引理3.2[1]（Courant-Fischer）設(shè)A為n×nHermite陣,為其中特征值,為對應(yīng)的標準正交化特征向量，設(shè)B為矩陣，則（1）且當時上式達到（2）且當時上式達到定理3.3[1]設(shè)A和B皆為n×nHermite陣,則證明：因為應(yīng)用Rayleigh-Ritz定理，我們有再應(yīng)用Courant-Fischer定理,即得.證畢3.2利用矩陣特征值估計矩陣行列式矩陣特征值不等式問題是矩陣理論和方法中的一個重要課題,將矩陣本身的特征值與其行列式聯(lián)系起來的不等式不論是在討論解方程組的某些迭代法收斂迭代速度方面，還是在使用直接法得出誤差界方面，都有很大的作用.設(shè)A和B皆為半正定Hermite陣引理3.7[1]設(shè)A為n階Hermite陣,X為向量，那么存在酉陣U，使得酉變換把二次型化為平方和

其中引理3.8[1]設(shè)A為n階Hermite陣，則當且僅當A的所有主子式為非負.引理3.9[1]設(shè)A為n階Hermite陣，則當且僅當?shù)乃兄髯邮綖檎龜?shù).定理3.10[1]設(shè)Hermite陣,則等號成立證明：根據(jù)引理3.7存在酉陣P，使,其中為B的特征值，因為，(),故不失普遍性，我們可假設(shè)將展開，得：()其中表示從A中剔除第行和列之后剩下的方陣的行列式，因為，故所有的（引理3.8）又因，從（2）式中，我們得到(3.10.3)于是定理得證.現(xiàn)在證明等號成立的充要條件，充分性是顯然的，以下必要性分兩種情況來考慮.（1）若，此時每個，從（）式知，在（3.10.3）式中等號成立，必有，對一切，特別當k=n-1時，，就是A的對角元，這就證明了A的所有對角元為零，但，故A=0（2）若，此時至少有一個，因所有，但從（3.10.2）式知，至少有一個，因，根據(jù)引理3.9，A不可能正定的.于是，因為我們假設(shè)了，所以。證畢。3.3、利用特征值估計Kronecker積的特征值在矩陣的普通乘法中，方陣A、B的特征值與它們的乘積（AB）的特征值之間是沒有相應(yīng)的乘法關(guān)系的，在Kronecker積中，下面定理將證明相應(yīng)的乘法關(guān)系成立。定理3.11[2]設(shè)方陣，A的特征值是，相應(yīng)得特征方向向量是，方陣，B的特征值是，相應(yīng)的特征向量是，則的特征值是,對應(yīng)的特征向量是,的特征值是，對應(yīng)的特征向量是證明：(1)(2)因此，是的特征值，是與之對應(yīng)的特征向量。建立Kronecker積的特征值的一個更為一般的結(jié)果定理3.12[2]設(shè)方陣的特征值是，矩陣，則矩陣的特征值證明：設(shè),,其中，分別是A和B的Jordan矩陣，則有乘冪結(jié)果從而進而有已知A,B的特征值分別是和時，和的特征值分別是和，由定理1，的特征值為，從而矩陣多項式的特征值是又從上述相似結(jié)果，的特征值是與可視為矩陣多項式的特例，將對應(yīng)于一個關(guān)于不可交換的變元x,y的多項式從而定理3.12的結(jié)果比定理3.11更一般。3.4利用矩陣特征值估計矩陣的跡矩陣的跡在許多領(lǐng)域如數(shù)值計算、逼近論以及統(tǒng)計估計等都有相當多的應(yīng)用,許多量的計算都會歸結(jié)到矩陣跡的運算.矩陣的跡等于對角元素的和，在矩陣性質(zhì)的描述或證明有很大的用處，我們可以利用特征值巧妙證明有關(guān)矩陣跡的性質(zhì)，例如約束跡的大小范圍,下面的例子即可說明.定理3.13[1]設(shè)A和B為兩個n階Hermite陣，且，則這里表示B的最大特征值證明：利用跡的性質(zhì)：(1)A、B分別為和矩陣，則(2)設(shè)且等號成立.我們有，另一方面，因為，利用跡的性質(zhì)（設(shè)即，則，且等號成立）得：證畢.推論(1)設(shè)A為Hermite方陣，且，則推論(2)設(shè)A和B為同階Hermite陣，則

等價地證明：事實上。應(yīng)用定理6，有定理3.14[1]設(shè)A和B為兩個n階Hermite陣，若，則(3.14.1)(3.14.2)(2)若，則(3.14.3)證明：（1）因為(3.14.4)應(yīng)用定理3.13得：代入（3.14.4）便得到（3.14.另一方面，應(yīng)用定理3.13，我們有 于是（3.14.2因為，利用跡的性質(zhì)（設(shè)A和B分別為）能夠驗證再利用推論（2）得：參考文獻：[1]王松桂,吳密霞,賈忠貞.矩陣不等式[M].北京:科學(xué)出版社，2006，77-111.[2]史榮昌.矩陣分析[M].北京:北京理工大學(xué)出版社，1996，241-248.[3]楊明,劉先忠.矩陣論[M].武漢:華中科技出版社,2005,140-148.[4]方保镕,周繼東，李醫(yī)民.矩陣論[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004，42-56.[5]陳景良,陳向暉.特殊矩陣[M].北京:清華大學(xué)出版社，2001.142-200.[6][英]J.H.威爾金森著,石鐘慈,鄧健新.代數(shù)特征值問題[M].北京:科學(xué)出版社,2001，505-510.[7]徐成賢，徐宗本.矩陣分析[M].1991，289-295.[8]李陽,宋岱才.廣義H-矩陣的若干性質(zhì)[J].石油化工高等學(xué)校學(xué)報，2005，（01）：92-94.[9]高益明.廣義對角占優(yōu)矩陣與M-矩陣的判定準則[J].高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報,1992,(03)：233-239.[10]郭世平.廣義對角占優(yōu)矩陣的若干基本性質(zhì)[J].安徽教育學(xué)院學(xué)報,2005,(06)：6-9.第五章矩陣的特征值和特征向量1．教學(xué)目的和要求：(1)理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，會求矩陣的特征值和特征向量.(2)了解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣可相似對角化的充分必要條件，會將矩陣化為相似對角矩陣.(3)了解實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì).2．教學(xué)重點：(1)會求矩陣的特征值與特征向量.(2)會將矩陣化為相似對角矩陣.3．教學(xué)難點：將矩陣化為相似對角矩陣.4．教學(xué)內(nèi)容：

本章將介紹矩陣的特征值、特征向量及相似矩陣等概念，在此基礎(chǔ)上討論矩陣的對角化問題.

§1矩陣的特征值和特征向量

定義1

設(shè)是一個階方陣，是一個數(shù)，如果方程

(1)存在非零解向量，則稱為的一個特征值，相應(yīng)的非零解向量稱為屬于特征值的特征向量．

（1）式也可寫成，

(2)這是個未知數(shù)個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式

,

(3)

即

上式是以為未知數(shù)的一元次方程，稱為方陣的特征方程．其左端是的次多項式，記作，稱為方陣的特征多項式．

==

=顯然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解，其個數(shù)為方程的次數(shù)（重根按重數(shù)計算），因此，階矩陣有個特征值．設(shè)階矩陣的特征值為由多項式的根與系數(shù)之間的關(guān)系，不難證明（?。áⅲ┤魹榈囊粋€特征值，則一定是方程的根,因此又稱特征根，若為方程的重根，則稱為的重特征根．方程的每一個非零解向量都是相應(yīng)于的特征向量，于是我們可以得到求矩陣的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：計算的特征多項式；

第二步：求出特征方程的全部根，即為的全部特征值；

第三步：對于的每一個特征值，求出齊次線性方程組：

的一個基礎(chǔ)解系，則的屬于特征值的全部特征向量是

（其中是不全為零的任意實數(shù)）．例1求的特征值和特征向量.解

的特征多項式為=所以的特征值為

當=2時，解齊次線性方程組得解得令=1，則其基礎(chǔ)解系為：=因此，屬于=2的全部特征向量為：.當=4時，解齊次線性方程組得令=1，則其基礎(chǔ)解系為：因此的屬于=4的全部特征向量為[注]：若是的屬于的特征向量，則也是對應(yīng)于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一確定．反之，不同特征值對應(yīng)的特征向量不會相等，亦即一個特征向量只能屬于一個特征值.

例2求矩陣

的特征值和特征向量.解的特征多項式為

==，所以的特征值為==2（二重根），.對于==2，解齊次線性方程組．由

，得基礎(chǔ)解系為：

因此，屬于==2的全部特征向量為：不同時為零.對于，解齊次線性方程組．由

，

得基礎(chǔ)解系為：因此，屬于的全部特征向量為：由以上討論可知，對于方陣的每一個特征值，我們都可以求出其全部的特征向量．但對于屬于不同特征值的特征向量，它們之間存在什么關(guān)系呢？這一問題的討論在對角化理論中有很重要的作用．對此我們給出以下結(jié)論：

定理1屬于不同特征值的特征向量一定線性無關(guān).證明設(shè)是矩陣的不同特征值，而分別是屬于的特征向量，要證是線性無關(guān)的.我們對特征值的個數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法證明.當時,由于特征向量不為零,所以結(jié)論顯然成立.當＞1時,假設(shè)時結(jié)論成立.由于是的不同特征值,而是屬于的特征向量,因此

如果存在一組實數(shù)使

(3)則上式兩邊乘以得

(4)另一方面,

,即

(5)(4)－(5)有

由歸納假設(shè),

線性無關(guān),因此

而互不相同,所以．于是(3)式變?yōu)?因,于是．可見線性無關(guān)．課后作業(yè)：習(xí)題五５－12

§２

相似矩陣

定義2

設(shè)、都是階方陣，若存在滿秩矩陣，使得

則稱與相似，記作，且滿秩矩陣稱為將變?yōu)榈南嗨谱儞Q矩陣．“相似”是矩陣間的一種關(guān)系，這種關(guān)系具有如下性質(zhì)：⑴反身性：～；⑵對稱性：若～，則～；⑶傳遞性：若～，～，則～．

相似矩陣還具有下列性質(zhì)：

定理2

相似矩陣有相同的特征多項式，因而有相同的特征值.證明設(shè)～，則存在滿秩矩陣，使于是

推論

若階矩陣與對角矩陣

相似，則即是的個特征值．定理3設(shè)是矩陣的屬于特征值的特征向量,且~,即存在滿秩矩陣使,則是矩陣的屬于的特征向量．證明

因是矩陣的屬于特征值的特征向量，則有

于是

所以是矩陣的屬于的特征向量．下面我們要討論的主要問題是：對階矩陣，尋求相似變換矩陣，使為對角矩陣，這就稱為把方陣對角化．定理4階矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是：矩陣有個線性無關(guān)的分別屬于特征值的特征向量（中可以有相同的值）．證明必要性

設(shè)與對角矩陣相似，則存在滿秩矩陣，使

=設(shè)則由上式得

即

，因此

所以是的特征值，是的屬于的特征向量，又因是滿秩的，故

線性無關(guān).

充分性

如果有個線性無關(guān)的分別屬于特征值的特征向量，則有

設(shè)則是滿秩的，于是

，即

=[注]：由定理4，一個階方陣能否與一個階對角矩陣相似，關(guān)鍵在于它是否有個線性無關(guān)的特征向量．（1）如果一個階方陣有個不同的特征值，則由定理1可知，它一定有個線性無關(guān)的特征向量，因此該矩陣一定相似于一個對角矩陣．.（2）如果一個階方陣有個特征值（其中有重復(fù)的），則我們可分別求出屬于每個特征值的基礎(chǔ)解系，如果每個重特征值的基礎(chǔ)解系含有個線性無關(guān)的特征向量，則該矩陣與一個對角矩陣相似.否則該矩陣不與一個對角矩陣相似．可見，如果一個階方陣有個線性無關(guān)的特征向量，則該矩陣與一個階對角矩陣相似，并且以這個線性無關(guān)的特征向量作為列向量構(gòu)成的滿秩矩陣，使為對角矩陣，而對角線上的元素就是這些特征向量順序?qū)?yīng)的特征值．

例3設(shè)矩陣，求一個滿秩矩陣，使為對角矩陣．解

的特征多項式為

所以的特征值為.對于解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系，即為的兩個特征向量對于=2，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系

，即為的一個特征向量.

顯然是線性無關(guān)的，取

，即有

.例4

設(shè)

，考慮是否相似于對角矩陣．解

所以的特征值為.對于解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系即為一個特征向量，對于，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系，即為的另一個特征向量.

由于只有兩個線性無關(guān)的特征向量，因此不能相似于一個對角矩陣．課后作業(yè)：習(xí)題五13－16

§３

向量組的正交性

在解析幾何中，二維、三維向量的長度以及夾角等度量性質(zhì)都可以用向量的內(nèi)積來表示，現(xiàn)在我們把內(nèi)積推廣到維向量中．定義3

設(shè)有維向量，，令

=，則稱為向量和的內(nèi)積．[注]：內(nèi)積是向量的一種運算，若用矩陣形式表示，當和是行向量時，＝，當和都是列向量時，＝．內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中為維向量，為常數(shù)）：（1）=；（2）=；（3）=+；（4），當且僅當=0時等號成立．定義4

令

||=稱||為維向量的模（或長度）．

向量的模具有如下性質(zhì)：（1）當≠0時，||＞0；當=0時，||=0；（2）||=||||，（為實數(shù)）；（3）||≤||||；（4）|≤||+||；特別地，當||=1時，稱為單位向量.如果||≠0，由性質(zhì)（2），向量是一個單位向量．可見，用向量的模去除向量，可得到一個與同向的單位向量，我們稱這一運算為向量的單位化，或標準化．

如果、都為非零向量，由性質(zhì)（3）

≤1，于是有下述定義：定義5

當||≠0，||≠0時

稱為維向量、的夾角．特別地：當=0時，，因此有定義

當=0時，稱向量與正交．（顯然，若=0，則與任何向量都正交）．向量的正交性可推廣到多個向量的情形.定義6

已知個非零向量，若=0，則稱為正交向量組．定義7若向量組為正交向量組，且||=1，則稱為標準正交向量組．例如，維單位向量組=，，是正交向量組．正交向量組有下述重要性質(zhì)：定理5

正交向量組是線性無關(guān)的向量組．定理的逆命題一般不成立，但是任一線性無關(guān)的向量組總可以通過如下所述的正交化過程，構(gòu)成正交化向量組，進而通過單位化，構(gòu)成標準正交向量組．定理6設(shè)向量組線性無關(guān)，由此可作出含有個向量的正交向量組，其中，

，

，

……

.再取

則為標準正交向量組．上述從線性無關(guān)向量組導(dǎo)出正交向量組的過程稱為施密特（Schimidt）正交化過程．它不僅滿足與等價，還滿足：對任何，向量組與等價．例5

把向量組=（1，1，0，0），=（1，0，1，0），=（-1，0，0，1）化為標準正交向量組．解容易驗證，，是線性無關(guān)的.將，，正交化，令=，=，再把單位化

，

則即為所求的標準正交向量組．定理7若是維正交向量組，，則必有維非零向量，使，成為正交向量組．推論

含有個（）向量的維正交（或標準正交）向量組，總可以添加個維非零向量，構(gòu)成含有個向量的維正交向量組．例6已知，求一組非零向量，使，，成為正交向量組.解

應(yīng)滿足方程=0，即

.它的基礎(chǔ)解系為

把基礎(chǔ)解系正交化，即為所求．亦即取

其中于是得

定義8如果階矩陣滿足（即），那么稱為正交矩陣．正交矩陣具有如下性質(zhì)：（1）矩陣為正交矩陣的充分必要條件是；（2）正交矩陣的逆矩陣是正交矩陣；（3）兩個正交矩陣的乘積仍是正交矩陣；（4）正交矩陣是滿秩的，且|=1或．

由等式

可知，正交矩陣的元素滿足關(guān)系式

（其中）可見正交矩陣任意不同兩行（列）對應(yīng)元素乘積之和為0，同一行（列）元素的平方和為1，因此正交矩陣的行（列）所構(gòu)成的向量組為標準正交向量組，反之亦然．于是有

定理8

一個階矩陣為正交矩陣的充分必要條件是它的行（或列）向量組是一個標準正交向量組．課后作業(yè)：習(xí)題五1－4

§４實對稱矩陣的相似對角化

在§２中，我們討論了相似矩陣的概念和性質(zhì)以及一般的階矩陣與對角矩陣相似的問題．本節(jié)將進一步討論用正交變換化實對稱矩陣為對角矩陣的問題．為此首先給出下面幾個定理．定理9實對稱矩陣的特征值恒為實數(shù)．從而它的特征向量都可取為實向量．定理10實對稱矩陣的不同特征值的特征向量是正交的．證明設(shè)是實對稱矩陣的兩個不同的特征值，即．是分別屬于的特征向量，則

，根據(jù)內(nèi)積的性質(zhì)有

，又

所以

，因，故，即與正交.定理11設(shè)為階對稱矩陣，是的特征方程的重根，則矩陣的秩從而對應(yīng)特征值恰有個線性無關(guān)的特征向量．定理12設(shè)為階對稱矩陣，則必有正交矩陣，使，其中是以的個特征值為對角元素的對角矩陣．

例7設(shè)求一個正交矩陣，使為對角矩陣.解

，所以的特征值，.

對于，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系

，因此屬于的標準特征向量為

.

對于，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系

這兩個向量恰好正交，將其單位化即得兩個屬于的標準正交向量

，

.于是得正交矩陣

易驗證

.

課后作業(yè)：習(xí)題五17

矩陣特征值和特征向量的幾何意義（---by小馬哥整理）從定義來理解特征向量的話，就是經(jīng)過一個矩陣變換后，空間沿著特征向量的方向上相當于只發(fā)生了縮放，比如我們考慮下面的矩陣：(列向量特征值為：1λ=1.81，2λ=0.69注意，這里U是正交矩陣，根據(jù)正交矩陣的性質(zhì)，我們有1TUU-=。用一個形象的例子來說明一下幾何意義，我們考慮下面笑臉圖案：圖1.1的變換，也就是用這個圖案中的每個點的坐標和這個矩陣做乘法，得到下面圖案：圖1.1可以看到就是沿著兩個正交的，特征向量的方向進行了縮放。根據(jù)特征向量的定義，我們知道1UAU-=Λ，也即，TUAU=Λ，那么：TAUU=Λ假設(shè)我們把笑臉圖案也看作某一個矩陣C，那么，矩陣A*C，即把矩陣A作用于C，可以理解為：TUUCΛ我們從這個式子就可以看出來，A矩陣是從旋轉(zhuǎn)和沿軸縮放的角度來作用于C，分成三步：第一步，把特征向量所指的方向分別轉(zhuǎn)到橫軸和縱軸，這一步相當于用U的轉(zhuǎn)置，也就是TU進行了變換圖1.2第二步，然后把特征值作為縮放倍數(shù)，構(gòu)造一個縮放矩陣1.810.69??????，矩陣分別沿著橫軸和縱軸進行縮放：圖1.3第三步，很自然地，接下來只要把這個圖案轉(zhuǎn)回去，也就是直接乘U就可以了圖1.4所以，從旋轉(zhuǎn)和縮放的角度，一個矩陣變換就是，旋轉(zhuǎn)-->沿坐標軸縮放-->轉(zhuǎn)回來，的三步操作。多提一句，這里給的是個(半正定矩陣的例子，對于不鎮(zhèn)定的矩陣，也是能分解為，旋轉(zhuǎn)-->沿坐標軸縮放-->旋轉(zhuǎn)，的三步的，只不過最后一步和第一步的兩個旋轉(zhuǎn)不是轉(zhuǎn)回去的關(guān)系了，表達如下：TTUV=∑這個就是SVD分解，就不詳細說了。另外，這個例子是二維的，高維類似，但是形象理解需要腦補。西安理工大學(xué)學(xué)報

JOURNALOFXI'ANUNIVERSITYOFTECHNOLOGY

1999年第15卷第3期Vol.15No.31999三階實對稱矩陣特征值與特征向量的計算機實現(xiàn)郭俊杰田世杰封定廖勇摘要：提出一種通用的關(guān)于求解一般三階實對稱矩陣特征值與特征向量的快速直接計算方法。首先使用高精度縮根法求出所給矩陣的特征方程，得到了3個特征根（包括重根）。其次運用選主元與最小二乘法相結(jié)合的思想，獲得了實際運用中較為理想的每個特征根所對應(yīng)的全部特征向量。

關(guān)鍵詞：特征值；特征向量；主元；最小二乘法

中圖分類號：TB931O241.6文獻標識碼：ATheComputerMethodofEigenvaluesandEigenvectors

of3×3RealSymmetricMatricesGUOJun-jie，TIANShi-jie，F(xiàn)ENGDing,LIAOYong

(Xi’anUniversityofTechnology,Xi’an710048,China)Abstract：Thispapersuggestsacommoncomputationmethod,i.e.thesolutioneignvaluesandeigenvectorsof3×3realsymmetricmatrices.First,thecharacteristicequationofthematrixareobtainedbyusingthemethodofhighlyaccuratereducedrootsoastoachievethreeeigenvalues(includingheavyroot).Second,alltheeigenvectorsofeacheigenvaluewhicharemoreidealforthepurposeofaccuratescientificcomputationareobtainedbyusingthethoughtofcombiningofthepivotewiththemethodofminimumsquares.

Keywords:eigenvalue;eigenvector;pivot;methodofminimumsquares矩陣的特征值與特征向量是十分重要的概念。在理論上和實際中，例如在系統(tǒng)工程、物理、力學(xué)、機械工程、電子工程、經(jīng)濟管理、三坐標幾何量測量等方面有著廣泛的應(yīng)用。但在計算機具體實現(xiàn)時很難求出所有的特征值和特征向量。即使能夠求出，其方法具有程序復(fù)雜、運算量大、矩陣序列收斂慢、精度比較低等缺點。本文對三階實對稱矩陣特征方程采用高精度一元三次方程求根法，避免不必要的模型誤差和迭加誤差；運用選主元解線性方程組和最小二乘法相結(jié)合的思想來求矩陣的特征向量，解決因特征值的微小誤差而引起的特征向量在理論上不存在的問題，減少舍入誤差而引起的誤差傳播，從而達到實際中所需要的理想結(jié)果。1特征方程求根在本文中記：為三階實對稱矩陣。矩陣A的特征方程為：λ3+b1λ2+c1λ+d1=0(1)其中，b1=-a11-a22-a33；c1=a11a22+a11a33+a22a33-a212-a213-a223；d1=-det(A)。

如果b1、c1、d1三數(shù)中有一個是較大的數(shù)，由于特征方程（1）求根需要多次乘、除、開方運算以及三角函數(shù)運算本身的誤差，勢必會造成很大的舍入誤差和累加誤差，從而大大地影響了特征根的精度。因此，我們首先采用了縮根法，即：令b=b1/M,c=c1/M2,d=d1/M3,使特征方程變成三次方程：x3+bx2+cx+d=0(2)且方程（2）的系數(shù)的絕對值不超過1。方程（2）的求根步驟如下。

1)取2)若D=0，則方程（2）有重根：3)若D＜0，則方程（2）有三個不等根：

其中，;q＞0時θ=π-α,q≤0時θ=α。然后通過放大根法可得特征方程（1）的特征根：λ1=Mx1λ2=Mx2λ3=Mx32求對應(yīng)特征值λ的特征向量首先取矩陣：為了后邊便于使用選主元的思想，令?。害裪j=bi1bj1+bi2bj2+bi3bj3(i=1,2,3;j=1，2，3)1)若λ為特征單根。在用高斯消元法解線性方程組時，由于小主元的出現(xiàn)，用它作除數(shù)會帶入大的舍入誤差，再經(jīng)傳播，誤差會變得更大，從而嚴重失真。在求解特征向量時也會出現(xiàn)類似情況。為此，我們首先采用了選最大模的思想，具體做法如下。

首先求：ρhh=max｛ρ11，ρ22,ρ33｝（3）然后，將第1列與第h列對換（當h＞1時），為方便起見，對換后的矩陣仍記為B。

其次，對矩陣B第1、k兩列之間的線性相關(guān)性，可用如下所謂的“相關(guān)度”來判別：S(k)=(b11b2k-b21b1k)2+(b11b3k-b31b1k)2+(b21b3k-b31b2k)2(k=2，3)最后，考慮到特征值λ可能為無理數(shù)或者無窮循環(huán)小數(shù)，以及特征值λ在計算過程中出現(xiàn)的微小誤差，使得對應(yīng)特征向量從理論上講是不存在的。為此，我們采用最小二乘法，其算法如下。

a.若S(2)≥S(3)，即B的第1、2兩列“線性相關(guān)性度”較差，可選Z=1，以下需求可能無解的方程組：采用最小二乘法求解，方法如下：

非零解向量為η=(x,y,1)。

b.S(3)＞S(2)，即B的第1、3兩列“線性相關(guān)性度”較差，可選y=1，以下需求可能無解的方程組：采用最小二乘法求解，方法如下：

非零解向量為η=(x,1,z)。

最后將向量η的第1、h兩元素對換，從而得到特征值λ的特征向量。

2）若λ為特征二重根。首先，采用選最大模的思想，即通過公式（3）算出ρhh。然后，再將矩陣B的第1、h兩行對換，為方便起見，對換后的矩陣仍記為B。其次，對矩陣B第一行取最大元，即計算：b2tt=maxb211,b212,b213將其第一行向量中第1、t兩元素對換，對換后仍記為(b11b12b13)，并?。鹤詈蠓謩e將向量η1、η2第1、t兩元素對換，可得B對應(yīng)二重根λ的兩線性無關(guān)的特征向量。

3)若λ為特征三重根，則B＝0，從而3個線性無關(guān)的特征向量為3個三維基向量。3程序模擬實例及誤差本文中所介紹的算法在BORLANDC環(huán)境下，用C語言進行編程在286與386兼容機上調(diào)試得到通過，并獲得了理想的結(jié)果。程序流程框圖如圖1所示。圖1程序流程框圖程序模擬實例如下：1）矩陣A的特征根的精確值為，λ2=10，。對應(yīng)特征值λ1的特征向量真值為η1=(1,-2,-1)；對應(yīng)特征值λ2的特征向量真值為η2=(1，0，1)；對應(yīng)特征值λ3的特征向量真值為。

2）對矩陣A，用該算法進行計算機模擬計算，所求特征根結(jié)果為：98.9897948556635619.999999999999966對應(yīng)上述三特征值對應(yīng)的特征向量分別為：1.00000000000000000000.44948974278317804800.9999999999999998890

1.00000000000000000000.00000000000000000001.0000000000000000000

-0.22474487139159032801.00000000000000000000.22474487139158780303）誤差。通過上述兩組數(shù)據(jù)可以看出，每一特征值的誤差不超過10-13;而每一特征向量的分量誤差最大不超過10-14。鑒于篇幅，我們對特征重根問題及其它計算實例不再贅述。作者簡介：郭俊杰(1950-)，男，西安理工大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師。作者單位：西安理工大學(xué)機械與精密儀器工程學(xué)院，陜西西安710048參考文獻［1］PullmanNJ.MatrixTheoryandItsplication［M］.NewYorkandBasel:MARCHELDEKKER，1976.

［2］Avandersluis.GerschgorinDomaninsforPa