2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第二冊(cè) 　 第一章　2-1　第1課時(shí)　等差數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式 課件（36張）

激趣誘思下面是某籃球運(yùn)動(dòng)員一周訓(xùn)練中每天投球的個(gè)數(shù):第一天6000,第二天6500,第三天7000,第四天7500,第五天8000,第六天8500,第七天9000.得到數(shù)列:6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000.你發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)列有什么特點(diǎn)了嗎?知識(shí)梳理一、等差數(shù)列的概念

對(duì)于一個(gè)數(shù)列,如果從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是同一個(gè)常數(shù),那么稱這樣的數(shù)列為等差數(shù)列,稱這個(gè)常數(shù)為等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示.保障了定義中差式的全覆蓋

名師點(diǎn)析等差數(shù)列概念的理解

(1)定義中強(qiáng)調(diào)“從第2項(xiàng)起”,因?yàn)榈?項(xiàng)沒(méi)有前一項(xiàng).(2)每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差必須是同一個(gè)常數(shù)(因?yàn)橥粋€(gè)常數(shù)體現(xiàn)了等差數(shù)列的基本特征).(3)公差d是每一項(xiàng)(從第2項(xiàng)起)與它的前一項(xiàng)的差,不要把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒.(4)公差可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、零.(5)等差數(shù)列的增減性與公差d的關(guān)系:當(dāng)d>0時(shí),是遞增數(shù)列;當(dāng)d<0時(shí),是遞減數(shù)列;當(dāng)d=0時(shí),是常數(shù)列.微判斷(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù),則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.(

)(2)數(shù)列3,2,1是等差數(shù)列.(

)(3)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(4)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.(

)√××√微練習(xí)下列數(shù)列是等差數(shù)列的是(

)C.1,-1,1,-1D.0,0,0,0答案

D二、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式若一個(gè)等差數(shù)列{an},首項(xiàng)是a1,公差是d,則其通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d.可以看成是an關(guān)于n的一次函數(shù)

名師點(diǎn)析(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于三個(gè)基本量a1,d和n的表達(dá)式,所以由首項(xiàng)a1和公差d可以求出數(shù)列中的任意一項(xiàng).(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以推廣為an=am+(n-m)d,由此可知,已知等差數(shù)列中的任意兩項(xiàng),就可以求出其他的任意一項(xiàng).微練習(xí)(1)等差數(shù)列{an}5,0,-5,-10,…的通項(xiàng)公式是

.

(2)若等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=4n-1,則其公差d=

.

答案

(1)an=10-5n

(2)4解析

(1)易知a1=5,d=-5,所以an=5+(n-1)·(-5)=10-5n.(2)公差d=an-an-1=(4n-1)-[4(n-1)-1]=4.三、等差中項(xiàng)如果在a與b之間插入一個(gè)數(shù)A,使a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫作a與b的等差中項(xiàng),且微思考“a,A,b是等差數(shù)列”是“A=”的什么條件?提示

充要條件.微練習(xí)若a,b是方程x2-2x-3=0的兩根,則a,b的等差中項(xiàng)為(

)答案

C解析

由已知,得a+b=2,所以a,b的等差中項(xiàng)為

=1.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一等差數(shù)列的概念例1判斷下列數(shù)列是不是等差數(shù)列?(1)9,7,5,3,…,-2n+11,…;(2)-1,11,23,35,…,12n-13,…;(3)1,2,1,2,…;(4)1,2,4,6,8,10,…;(5)a,a,a,a,a,….解

由等差數(shù)列的定義得(1)(2)(5)為等差數(shù)列,(3)(4)不是等差數(shù)列.反思感悟判斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列,就是判斷從該數(shù)列的第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)的差是否為同一個(gè)常數(shù).但當(dāng)數(shù)列項(xiàng)數(shù)較多或是無(wú)窮數(shù)列時(shí),逐一驗(yàn)證顯然不行,這時(shí)可以驗(yàn)證an+1-an(n≥1,n∈N+)是不是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù).變式訓(xùn)練1若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n+5(n∈N+),則對(duì)此數(shù)列描述正確的是(

)A.是公差為2的等差數(shù)列B.是公差為5的等差數(shù)列C.是首項(xiàng)為5的等差數(shù)列D.是公差為n的等差數(shù)列答案

A解析

∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,∴{an}是公差為2的等差數(shù)列.探究二等差數(shù)列的通項(xiàng)公式角度1

求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式例2若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a15=8,a60=20,求an.分析

先求出a1,d,再求an.解

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,角度2

利用通項(xiàng)公式判斷項(xiàng)或求項(xiàng)例3在等差數(shù)列{an}中,(1)若a5=15,a17=39,試判斷91是否為此數(shù)列中的項(xiàng);(2)若a2=11,a8=5,求a10.∴an=7+2(n-1)=2n+5.令2n+5=91,得n=43.∵43為正整數(shù),∴91是此數(shù)列中的項(xiàng).∴an=12+(n-1)×(-1)=13-n,∴a10=13-10=3.反思感悟等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法與應(yīng)用技巧1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可由首項(xiàng)與公差確定,所以要求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,只需求出首項(xiàng)與公差.2.等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d中共含有四個(gè)參數(shù),即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三個(gè)數(shù),那么就可以由通項(xiàng)公式求出第四個(gè)數(shù),這一求未知量的過(guò)程,我們通常稱之為“知三求一”.3.通項(xiàng)公式可變形為an=dn+(a1-d),可把a(bǔ)n看作自變量為n的一次函數(shù).變式訓(xùn)練2已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a3=5,a7=13,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解

設(shè)首項(xiàng)為a1,公差為d,則

故an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.變式訓(xùn)練3(1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項(xiàng);(2)判斷-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13,…的項(xiàng),如果是,是第幾項(xiàng)?解

(1)由a1=8,a2=5,得d=a2-a1=5-8=-3,由n=20,得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.(2)由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1.由題意,令-401=-4n-1,得n=100,即-401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng).探究三等差中項(xiàng)及其應(yīng)用例4在-1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a,b,c,使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,求此數(shù)列.反思感悟在等差數(shù)列{an}中,由定義有an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N+),即an=,從而由等差中項(xiàng)的定義知,等差數(shù)列從第2項(xiàng)起的每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).變式訓(xùn)練4若m和2n的等差中項(xiàng)為4,2m和n的等差中項(xiàng)為5,求m和n的等差中項(xiàng).解

由m和2n的等差中項(xiàng)為4,得m+2n=8.又由2m和n的等差中項(xiàng)為5,得2m+n=10.兩式相加,得3m+3n=18,即m+n=6,所以m和n的等差中項(xiàng)為

=3.探究四等差數(shù)列的判斷與證明例5判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列.(1)在數(shù)列{an}中,an=3n+2;(2)在數(shù)列{an}中,an=n2+n.分析

根據(jù)等差數(shù)列的定義,判斷an+1-an是否為常數(shù).解

(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+),故該數(shù)列為等差數(shù)列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故該數(shù)列不是等差數(shù)列.(1)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.分析

先用an表示bn+1,bn,再驗(yàn)證bn+1-bn為常數(shù),最后可求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.反思感悟判斷等差數(shù)列的方法(1)定義法:an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2,且n∈N+)?數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(2)等差中項(xiàng)法:2an+1=an+an+2(n∈N+)?{an}為等差數(shù)列.(3)通項(xiàng)公式法:數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=pn+q(p,q為常數(shù))?數(shù)列{an}為等差數(shù)列.注意:①通項(xiàng)公式法不能作為證明方法.②若an+1-an為常數(shù),則該常數(shù)為等差數(shù)列{an}的公差;若an+1-an=an-an-1(n≥2,且n∈N+)成立,則無(wú)法確定等差數(shù)列{an}的公差.③若數(shù)列的前有限項(xiàng)成等差數(shù)列,則該數(shù)列未必是等差數(shù)列;而要否定一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列,只要說(shuō)明其中連續(xù)三項(xiàng)不成等差數(shù)列即可.(4)已知數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí),要通過(guò)對(duì)遞推公式進(jìn)行合理變形,構(gòu)造出等差數(shù)列求通項(xiàng).變式訓(xùn)練5已知數(shù)列{an}:a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).(1)判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列,并說(shuō)明理由;(2)求{an}的通項(xiàng)公式.解

(1)當(dāng)n≥3時(shí),an=an-1+2,即an-an-1=2,而a2-a1=0不滿足an-an-1=2(n≥3),∴{an}不是等差數(shù)列.(2)數(shù)列{an}去掉首項(xiàng)a1后是一個(gè)等差數(shù)列.當(dāng)n≥2時(shí),an=1+2(n-2)=2n-3,素養(yǎng)形成思想方法——巧用對(duì)稱法設(shè)等差數(shù)列中的項(xiàng)典例成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為26,第2個(gè)數(shù)和第3個(gè)數(shù)之積為40,求這四個(gè)數(shù).方法點(diǎn)睛題中是已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,則采用“對(duì)稱法”設(shè)項(xiàng),這樣可以減少計(jì)算量,因此要記住奇數(shù)個(gè)數(shù)或偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的“對(duì)稱法設(shè)項(xiàng)”的方法,以達(dá)到快速求解的目的.當(dāng)堂檢測(cè)1.已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=3-2n(n∈N+),則它的公差d為(

)A.2 B.3 C.-2 D.-3答案

C答案

D3.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3,公差為2,則a10=

.

答案

21解