2022年廣東省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及詳解答案

22原創(chuàng)不容易，【關(guān)注】店鋪，不迷路！2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東省賽區(qū)預(yù)賽試題20）注意事項(xiàng)：本試卷共二大題，全卷滿分120分。2.用圓珠筆或鋼筆作答。3.解題書寫不要超出裝訂線。4.不能使用計(jì)算器。一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.把答案填在橫線上.1.方程logxsinx2在區(qū)間（0,22］上的實(shí)根個(gè)數(shù)為.設(shè)數(shù)列8（11n1的最小整數(shù)n是）的前n項(xiàng)和為Sn,則滿足不等式|Sn6|3125已知n(nN,n2)是常數(shù)，且x1,x2,,xn是區(qū)間0,內(nèi)任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)2的最大值等于f(x1,x2,,xn)sinx1cosx2sinx2cosx3sinxncosx1圓周上給定10個(gè)點(diǎn)，每兩點(diǎn)連一條弦，如果沒有三條弦交于圓內(nèi)一點(diǎn)，那么，這些弦在圓內(nèi)一共有個(gè)交點(diǎn).一只蟲子沿三角形鐵圈爬行，在每個(gè)頂點(diǎn)，它都等機(jī)會(huì)地爬向另外兩個(gè)頂點(diǎn)之一，則它在n次爬行后恰好回到起始點(diǎn)的概率為.6?設(shè)0是平面上一個(gè)定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足ACAB，其中［0,)，則點(diǎn)P的軌跡為.0P0A|AC||AB|7?對(duì)給定的整數(shù)m，符號(hào)(m)表示1,2,3中使m(m)能被3整除的唯一值，那么(220101)(220102)(220103)?8.分別以直角三角形的兩條直角邊a,b和斜邊c為軸將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積依次為Va,Vb，Vc，則VaVb與(2Vc)的大小關(guān)系是222二、解答題：本大題共3小題，共56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.1.(本小題滿分16分)是否存在實(shí)數(shù)a，使直線yaxl和雙曲線3xy1相交于兩點(diǎn)A、B,且以AB為直徑的圓恰好過坐標(biāo)系的原點(diǎn)？2.(本小題滿分20分)22|523，求證：不存在這樣的函數(shù)f:Z1,2,3,滿足對(duì)任意的整數(shù)x,y,若|xy則f(x)f(y).3.(本小題分20分)設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,c滿足abcl，求證：9abcabbcca1(19abc)42010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東省預(yù)賽參考答案一、填空題設(shè)f(x)logxsinx2，則f(x)1xln2cosx,°?°Ox2，.:0cosx1,又0ln???f(x)0，即在區(qū)間(0,]上單調(diào)遞增，故方程logxsinx2在區(qū)222間(0,2]上有且只有一個(gè)實(shí)根.1n11)是首項(xiàng)是8，公比是的等比數(shù)列，?33易知數(shù)列8(18[1()n]66(1)n,于|S6|1213n1250,TSnnn11125312531()335243250,36729250,故最小整數(shù)n是7.a2b2Vab,2?f(x1,x2,,xn)sinx1cosx2sinx2cosx3sinxncosx1sin2xncos2x1sin2x1cos2x2sin2x2cos2x3222(sin2x1cos2x1)(sin2x2cos2x2)(sin2xnos2xn)2n,2故所求函數(shù)的最大值等于n.210987210個(gè)交點(diǎn).1234圓周上任意四點(diǎn)成一個(gè)四邊形，四邊形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)必在圓內(nèi)，所以四邊形的個(gè)4數(shù)與每兩條弦的交點(diǎn)數(shù)相等，故有C102n2(1)n5.n32ACABABACOA,???OPOA(),6.T0P|AC||AB||AB||AC|ABACABAC)，又，為單位向量，由向量法的平行四邊形法則，AP(|AB||AC||AB||AC|知點(diǎn)P的軌跡為BAC的平分線.7.由二項(xiàng)式定理知，2?(2故(22010201041005(31)10053p1,即22010被3除余1,1)3，(220102)1(220103)2，1)(220102)(220103)6.220108.TVaVb(2ba)(ab)ab(ab)a2b2c2，339222222222242ab4242a4b4(2Vc)(2h(ab))()c2，39c9c22Va2Vb2c4(a2b2)2(2ab)2221,故Va2Vb2(2Vc)2.???作商，有22222(2Vc)4ab4ab4ab二、解答題yax11?解：設(shè)交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A(x1,y1)、B(x2,y2),由2消去y,得23xy1(3a2)x22ax20,由韋達(dá)定理,得x1x22a，①3a2x1x22，②3a2???以AB為直徑的圓恰好過坐標(biāo)系的原點(diǎn)，???OAOB,?x1x2y1y20，即x1x2(ax11)(ax21)0，整理，得(a1)x1x2a(x1x2)102③1a2將①②代入③，并化簡(jiǎn)得0,?a1,3a2經(jīng)檢驗(yàn)，al確實(shí)滿足題目條件，故存在實(shí)數(shù)a滿足題目條件.2?證明：假設(shè)存在這樣的函數(shù)f,則對(duì)任意的整數(shù)n,設(shè)f(n)a,f(n5)b,其中a,b1,2,3,由條件知ab.由于|(n5)n(2)|,3|n(n2)|2,?：f(n2)a且f(n2)b，即是1,2,3除去a,b后剩下的那個(gè)數(shù)，不妨設(shè)f(n2)cf(n2)又由于|(n5)(n3)|2,|n(n3)|3,?：f(n3)f(n2).以n1代替n,得f(n4)f(n3)f(n2),但這與|(n4)(n2)|2矛盾！因此假設(shè)不成立，即不存在這樣的函數(shù)f.3?證明：先證左邊的不等式.Tabcl,?°?abbcca(abbcca)(abc)ababbcbcacac3abc2222226abc3abc9abc再證右邊的不等式.不妨設(shè)abc,注意到條件abcl，得14(abbcca)9abc(abc)34(abc)(abbcca)9abca(ab)(ac)b(ba)(bc)c(ca)(cb)(ab)[a(ac)b(bc)]c(ca)(cb)0，1(19abc)，41綜上，9abcabbcca(19abc).【素材積累】每個(gè)人對(duì)未來都有所希望和計(jì)劃，立志是成功的起點(diǎn)，有了壯志和不懈的努力，就能向成功邁進(jìn)。1、立志多在少年，但宋朝文學(xué)家蘇洵27歲開始發(fā)憤，立志就讀，晝夜不息，結(jié)果大器晚成，終于成為唐宋八大家之一。2、我國明代畫家王冕,少年放牛時(shí),立志要把荷花佳景惟妙惟肖地畫出來。他