2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步講義第04講 對數(shù)函數(shù)（教師版）

第04講對數(shù)函教

0目標導(dǎo)航

課程標準課標解讀

1.理解對數(shù)函數(shù)的概念及條件，掌握對

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握對數(shù)函數(shù)的概念，圖

數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

象及性質(zhì)，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決求函數(shù)的定義域、

2.會利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決與對數(shù)函數(shù)

值域、利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，會解對數(shù)方程及

有關(guān)的函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、大

對數(shù)不等式，能處理與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)綜合問題.

小比較、對數(shù)方程與不等式等相關(guān)問題.

魏知識幡井

知識點01對數(shù)函數(shù)

i.對數(shù)函數(shù)的概念

一般地，我們把函數(shù)y=log?x(a>0,且4*1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+8).

2.對數(shù)函數(shù)y=logux(a>0,且a/1)的結(jié)構(gòu)特征

(1)對數(shù)符號前面的系數(shù)是1；

(2)對數(shù)的底數(shù)是不等于1的正實數(shù)(常數(shù))；

(3)對數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.

【微點撥】求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域時，除遵循前面已學(xué)習(xí)過的求函數(shù)定義域的方法外，還要對這

種函數(shù)自身有如下要求：一是要特別注意真數(shù)大于零；二是要注意對數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1.

知識點02對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.一般地，對數(shù)函數(shù)1，=108“宜。>0,且。/1)的圖象和性質(zhì)如下表所示：

0＜。＜1a＞l

圖象

y1X尸1

1

1

：/Tog/

ON!X0/J￡

?y=iogx

定義域(0,+oo)

值域R

奇偶性非奇非偶函數(shù)

過定點過定點(1,0),即x=l時，y=()

單調(diào)性在(0,+00)上是減函數(shù)在(0,+8)上是增函數(shù)

函數(shù)值的當Ovxvl時，y>0；當0<xvl時，y<0；

變化情況

當尤>1時，y<0當時，y>0

【微點撥】速記口訣：

對數(shù)增減有思路，函數(shù)圖象看底數(shù)；

底數(shù)只能大于0,等于1了可不行；

底數(shù)若是大于1,圖象從下往上增；

底數(shù)0至IJ1之間，圖象從上往下減；

2.對數(shù)函數(shù)y=log?x(?>0,且a*1)中的底數(shù)對其圖象的影響

在直線的右側(cè)，當”>1時，底數(shù)越大，圖象越靠近x軸；當0<〃<1時，底數(shù)越小，圖象越靠近x軸，

即“底大圖低”.

知識點03反函數(shù)

根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系，將指數(shù)式,=優(yōu)3〉0,且awl)(其中x是自變量，且xeR,y是x的函數(shù),

ye((),+c。))化成對數(shù)式，即xulog?！?，于是對于任意一個ye(0,+oo),通過式子x=log“y都有唯一

一個xeR與之對應(yīng)，這樣將y看成自變量，x是y的函數(shù)，這時我們就說x=log?y(ye(0,+oo))是函數(shù)

y=a*(xeR)的反函數(shù).

由于習(xí)慣上將X看成自變量，而將y看成因變量，因此，我們將X=log“y中的X,y互換，寫成

y=logax(xe(0,+8)),即對數(shù)函數(shù)y=logax(xe(0,+oo))是指數(shù)函數(shù)y=a\xeR)的反函數(shù)，它們的

圖象關(guān)于直線y=x對稱.

【即學(xué)即練1】對數(shù)函數(shù)的圖像過點”(125,3),則此對數(shù)函數(shù)的解析式為()

A.y=logsrB.logixC.D.y=logjx

【答案】A

【分析】

設(shè)對數(shù)函數(shù)y=logH〃>0,且〃，1),將點代入即可求解.

【詳解】

設(shè)函數(shù)解析式為y=logd(〃>0，且存1).

由于對數(shù)函數(shù)的圖像過點M(125,3),

所以3=k)gJ25,得a=5.

所以對數(shù)函數(shù)的解析式為y=log5R.

故選：A.

【即學(xué)即練2】給出下列函數(shù)：

①"]og"2；②y=log3(x-l)；③y=log“+i>x；④y=log?x.

3

其中是對數(shù)函數(shù)的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的特征判斷即可得答案.

【詳解】①②不是對數(shù)函數(shù)，因為對數(shù)的真數(shù)不是僅有自變量X；

③不是對數(shù)函數(shù)，因為對數(shù)的底數(shù)不是常數(shù)；④是對數(shù)函數(shù).故選:A.

【即學(xué)即練3]函數(shù))，=々~~7的定義域為()

-In(x-l)

A.(1,+oo)B.[1,+oo)

C.(1,2)U(2,+oo)D.(1,2)U[3,+oo)

【答案】C

【解析】要使函數(shù)y=■有意義，則!m"-1),°解得%，且/2,...函數(shù)丁=,1、的定義域

In(x-l)[x-l>0In(x-l)

為(1,2)U(2,+8),故選C.

【即學(xué)即練4】已知函數(shù)/(x)=log.(x+2),若圖象過點(6,3),則f(2)的值為()

A.—2B.2C.—■D.——

【答案】B

【分析】將(6,3)代入/@)=108“(》+2)求得°=2,進而可得"2)的值.

【詳解】因為函數(shù)〃x)=bg“(x+2)的圖象過點(6,3),log?(6+2)=3=>log?8=log?a3,

則/=8na=2,所以/(耳=1暇(犬+2),/(2)=log2(2+2)=2,故選：B.

log2X,X>0,

【即學(xué)即練5】已知函數(shù)f(x)=且關(guān)于X的方程f(x)-a=o有兩個實根，則實數(shù)a的取值范

2X,后0,

圍為()

A.(0,11B.(0,1)C.[0,1]D.(0,+oo)

【答案】A

【解析】作出函數(shù)y=/(x)的圖象(如圖)，欲使y="r)和直線y=a有兩個交點，則0<aWl.

【即學(xué)即練6[若/。)=電(/-2改+1+“)在區(qū)間(一孫1]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為()

A.[1,2)B.[1,2]C.[1,+oo)D.[2,+oo)

【答案】A

【解析】令函數(shù)g(x)=f—2ax+l+a=(x—aF+l+a—蘇，對稱軸為x=a,要使函數(shù)在(-8,1]上遞減,

g⑴>0僅—>0,

則有《'’，即?解得1&<2,即。引1,2).

a>\㈤，

【即學(xué)即練7]已知a=log52,b=logo,s0.2,c=0.502,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

:-1()2

【解析】由題意，可知：a=log52<l,Z?=log(),50.2=logj-=log2,5=log25>log24=2.c=0.5<1,AZ?

25

最大，a、c都小于1.V?=log52=?6=0.5°°,而Iog25>log24=2>y/2,

11

<a<c,:?avc<b.故選A.

log25^2

【即學(xué)即練8］若函數(shù)g（x）=10g3（加+2%_1）有最大值1,則實數(shù)。的值等于（）

11cl

A.B.-C.D.4

244

【答案】c

【解析】?.?函數(shù)g（x）=log3（加+汰-1）有最大值1,故ax1+2x-\有最大值3,即―4/7—4=3,解得：4=一上j,

4a4

故選C.

【即學(xué)即練9］4，<log/在（0,當上恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍是.

【答案】（曰，1）

【解析】當時，函數(shù)），=4'的圖象在函數(shù)y=logd圖象的下方.又當x=；時，4^=2,即函數(shù)

y=4*的圖象過點g,2）.把點g,2）代入y=log“x,得”=乎若函數(shù)y=4*的圖象在函數(shù)y=log?x圖象的下

方，則需坐1（如圖所示）.

當”>1時，不符合題意，舍去.所以實數(shù)〃的取值范圍是|李

2

【即學(xué)即練10］【2020年高考全國III卷文數(shù)】設(shè)。=1噌2,*=log53,、，貝U（）

A.a<c<hB.a<b<c

C.b<c<a

D.c<a<b

【答案】A

I12112

3

［解析】因為〃=一log?2?<—log39=—=c,b=—log53>-log525=-=c,所以avcvb.故選A.

333333

【名師點晴】本題考查對數(shù)式大小的比較，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.

【即學(xué)即練11】【2019年高考浙江】在同一直角坐標系中，函數(shù)；；=5，y=log“(x+；)(“>0,且存1)

【答案】D

【解析】當0<。<1時，函數(shù)y=a"的圖象過定點(0,1)且單調(diào)遞減，則函數(shù)丁=二的圖象過定點(0,1)且

a

單調(diào)遞增，函數(shù)y=Iog“(x+g)的圖象過定點(g,0)且單調(diào)遞減，D選項符合;

”1a>1時，函數(shù)y=ax的圖象過定點(0,1)且單調(diào)遞增，則函數(shù)y=4的圖象過定點(0,1)且單調(diào)遞減,

a

函數(shù)y=iog“(x+￡|的圖象過定點(g,o)且單調(diào)遞增，各選項均不符合.綜上，選D.

【名師點睛】易出現(xiàn)的錯誤：一是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)掌握不熟練，導(dǎo)致判斷失誤；二是不

能通過討論。的不同取值范圍，認識函數(shù)的單調(diào)性.

【即學(xué)即練12］方程1。叫叫(x3-9x+8)」og(T(x+l)=3的解為.

【答案】x=3

【分析】

利用換底公式及對數(shù)的運算性質(zhì)，將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程形式，即可解方程得解.

3

［詳解1方程log(v+l)(X_9x+8"og(z)(x+l)=3

由對數(shù)的換底公式化簡可得!=3,所以lg(V-9x+8)=31g(x-l).

lg(x+l)Ig(x-l)

由對數(shù)的運算性質(zhì)可得但卜3-9》+8)=愴(》一1)3,即丁—9犬+8=(》—1)3,且(工一1)3>()

展開化簡可得4x+3=0，解方程可得x=3或x=l.

因為當x=l時(x-l)3>0不成立.當x=3時(x-l)3>0成立，

綜上可知，方程的解為x=3.故答案為:x=3.

【點睛】

本題考查了對數(shù)換底公式的應(yīng)用，對數(shù)運算性質(zhì)的用法,注意對數(shù)的真數(shù)大于0這一限制條件，屬于基礎(chǔ)題.

a能力拓展

考法01

與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域和值域

定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題時，要注意對數(shù)函數(shù)

的概念，若自變量在真數(shù)上，則必須保證真數(shù)大于o；若自變量在底數(shù)上，應(yīng)保證底數(shù)大于o且不等于I.同

時還要注意偶次方根的被開方數(shù)非負，分母不能為零等.

求值域時，一方面要抓住對數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性，另一方面，若是復(fù)合函數(shù)，則要抓住中間變量的取

值范圍.

【典例I]已知函數(shù)F(x)=log3(2-x)+log3(x+6).

(1)求函數(shù)/(X)的定義域：(2)求函數(shù)/(X)的最大值.

【答案】(1)(一6,2)；(2)410g,2.

2—x>0

【解析】(1)由題意得｛,八，解得-6<x<2,故函數(shù)/(X)的定義域是(-6,2).

%+6>0

2

(2)/(x)=log3(2-x)+log3(x+6)=log3(-x-4x+12),xe(-6,2).

令，=—4彳+葭=―(1+2)2+16,貝ij(0,16].

又y=log3,在fe((),16]I二為增函數(shù)，

二/(x)的最大值是/(-2)=log316=41og32.

【名師點睛】求函數(shù)的最值，一定要堅持“定義域優(yōu)先”的原則.由對數(shù)函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)的最值問題，可

利用換元法求解，但要注意中間變量的取值范圍.

【即學(xué)即練13]函數(shù)y=Jlog3(2x—1)的定義域為()

A.[1,+oo)B.(1,+oo)

C.g,+8)

D.(pD

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)偶次根號下的被開方數(shù)大于等于零，對數(shù)的真數(shù)大于零，列出不等式組，進行求解再用集合

或區(qū)間的形式表示出來.

log3(2r—1)>0,t2x-l>l,

【詳解】要使函數(shù)有意義，需滿足：.x>\，

2x-l>0,2x~1>05

函數(shù)y=、log3(2x-1)的定義域為［1，+8).

【點睛】本題考查了函數(shù)定義域的求法，即根據(jù)函數(shù)解析式列出使它有意義的不等式組，最后注意要用集

合或區(qū)間的形式表示出來，這是易錯的地方.

考法02

對數(shù)函數(shù)的圖象

對數(shù)函數(shù)y=iog.x(4>0,且4X1)的圖象過定點(1,0),所以討論與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象過定

點的問題，只需令真數(shù)為1,解出相應(yīng)的x,y,即可得到定點的坐標.

當?shù)讛?shù)。>1時，對數(shù)函數(shù)/(x)=log“x是(0,+8)上的增函數(shù)，當x>l時.，底數(shù)。的值越小，函數(shù)圖象越

“陡”，其函數(shù)值增長得越快；當?shù)讛?shù)0<a<1時，對數(shù)函數(shù)/⑴=log”x是(0,+8)上的減函數(shù)，當()<x<1

時，底數(shù)”的值越大，函數(shù)圖象越“陡”，其函數(shù)值減小得越快.也可作直線y=l與所給圖象相交，交點的橫

坐標即為各個底數(shù)，依據(jù)在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大，可比較底數(shù)的

大小.

【典例2】(1)設(shè)a>0,且awl,函數(shù)y=2+log“(x+2)的圖象恒過定點P,則P點的坐標是()

A.(-1,2)B.(2,-1)

C.(3,-2)D.(3,2)

【答案】A

【解析】當x+2=l,即％=—1時，y=2+log“(x+2)=2恒成立，故函數(shù)y=2+log“(x+2)的圖象恒過

定點P(—l,2),故選A.

【名師點睛】本題求定點坐標的依據(jù)是對數(shù)函數(shù)y=log〃x(a>0,且awl)的圖象過定點(1,0),不必分a>l

和0<a<l兩種情況討論.

(2)已知函數(shù)f(x)=k)g“(2r+b-l)(a>0,存1)的圖象如圖所示，則a,b滿足的關(guān)系是()

A.0<aB.0<fe<a-'<lC.0<b"'<a<\D.0<a

【答案】A

【解析】由函數(shù)圖象可知，/(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，故a>l.函數(shù)圖象與y軸的交點坐標為(0,log/),由函數(shù)

圖象可知一i<iog/<o,解得.綜」二有o<^</?<i.

(3)方程4』皿在(0,引上有解，則實數(shù)a的取值范圍為.

【答案】(0,孚］

【解析】若方程4-log環(huán)在(0,g上有解，則函數(shù))，=4、.和函數(shù)y=log.r在(0,；上有交點，

0<?<1,

由圖象知1,裊，解得0〈甚.

考法03

對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

(1)比較對數(shù)式的大?。喝舯容^同底數(shù)的兩個對數(shù)式的大小，可直接利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；若比較底數(shù)

不同、真數(shù)相同的兩個對數(shù)式的大小，可以先用換底公式化為同底后，再進行比較，也可以利用順時針方

向底數(shù)增大畫出對數(shù)函數(shù)的圖象，再進行比較；若比較底數(shù)與真數(shù)都不同的兩個對數(shù)式的大小，常借助1,

o等中間量進行比較.

(2)解簡單的對數(shù)不等式：形如log,》>log,4的不等式，常借助y=log“x的單調(diào)性求解，如果。的取值

不確定，需分。>1與0<。<1兩種情況進行討論；形如log“尤>人的不等式，應(yīng)將b化為以。為底數(shù)的對

數(shù)式的形式，再借助y=loSllx的單調(diào)性求解.

【典例3】【2020年高考天津】設(shè)a=3a7,/?=（g）48,c=]ogo708,則a,。,C的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

77

【解析】因為a=3°,>1>b==3°'>3°'=a>c=log070.8<log070.7=1,

所以c<l<a<>故選：D.

【名師點睛】本題考查的是有關(guān)指數(shù)幕和對數(shù)值的比較大小問題，在解題的過程中，注意應(yīng)用指數(shù)函數(shù)和

對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定其對應(yīng)值的范圍.

比較指對暴形式的數(shù)的大小關(guān)系，常用方法：

（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：y=ax,當時，函數(shù)遞增；當0<。<1時，函數(shù)遞減；

（2）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：>=log。％,當。>1時，函數(shù)遞增；當0<。<1時，函數(shù)遞減；

（3）借助于中間值，例如：?；?等.

」11

【即學(xué)即練14】已知a=23]=log2彳,c=log1彳，則（）

3耳3

A.a>h>cB.a>c>h

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】C

_Li1

【解析】v0<a=23<2°=l,b=log-<logl=0,c=logiT=^§23>log2=\,:.c>a>b,

_2325J2

故選C.

【名師點睛】本題中既有指數(shù)式，又有對數(shù)式，無法直接比較大小，可借助中間量1,0來進行比較.

02

【即學(xué)即練15】【2019年高考天津理數(shù)】已知。=logs2,/?=log050.2,c=0.5,則。，6c的大小關(guān)

系為（）

A.a<c<hB.a<b<c

C,h<c<aD?c<a<b

【答案】A

102

【解析】因為a=log52<log5V5=1,b=log050.2>log050.25=2,0.5<c=O,5<0.5°.即

—<C<1,所以。故選A.

2

【名師點睛】本題考查比較大小問題，關(guān)鍵是選擇中間量和利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較.

考法04

對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

(1)對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)G)］是由//(無)與y=g(x)復(fù)合而成，若fCO與g(x)的單調(diào)性相同，則其復(fù)合函數(shù)

j［g(x)］為增函數(shù)；若/(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則其復(fù)合函數(shù)力g(x)］為減函數(shù).

對于對數(shù)型復(fù)合函數(shù)產(chǎn)log/(x)來說，函數(shù)y=log</(x)可看成是)=k)g“”與(x)兩個簡單函數(shù)復(fù)合而

成的，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減''的規(guī)律即可判斷.另外，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時，首先要考慮函數(shù)的

定義域.

(2)對于形如y=bg,/(x)(a>0,且存1)的復(fù)合函數(shù)，其值域的求解步驟如下：

①分解成y=log“"，u=f(x)兩個函數(shù)；

②求y(x)的定義域；

③求”的取值范圍；

④利用y=log”“的單調(diào)性求解.

【典例4】(1)討論函數(shù)〃￡)=108,(3幺一2%-1)的單調(diào)性.

【答案】答案詳見解析.

【解析】由3N-2x-l>0,得函數(shù)的定義域為｛.m>1或｝.

3

①當”>1時，若x>l,?..”=3x2-ZrT為增函數(shù)，：.f(x)=log?(3x2-2x-l)為增函數(shù).

若x<-L..,“=3x2-2xT為減函數(shù)，(x)=k?g〃(3x2-ZrT)為減函數(shù).

3

②當0<。<1時，若x>l,則f(x)=log?(3%2-2A-1)為減函數(shù)，

若X<_g,則/(x)=k>g?(3x2-2x-1)為增函數(shù).

【名師點睛】求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的具體步驟是：(1)求定義域；(2)拆分函數(shù)；(3)分別求)可(“)，

u=(p(幻的單調(diào)性；(4)按“同增異減''得出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.

(2)已知函數(shù)f(x)=log］(f—2以+3).

(1)若，(-1)=—3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)是否存在實數(shù)°,使/(x)在(-8,2)上為增函數(shù)？若存在，求出“的范圍；若不存在，說明理由.

【解析】(1)由—1)——3)得log](4+2a)=-3.所以4+2“=8,所以“=2.

2

則/(x)=logi(『—4X+3),由X2—4X+3>0,得X>3或X<1.故函數(shù)/(X)的定義域為(一8,1)U(3，+OO).

2

令“=f-4x+3,則必在(一oo,1)上單調(diào)遞減，在(3,+8)上單調(diào)遞增.又y=log|M在(0,+8)上單調(diào)遞

2

減，所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(3,+oo).

(2)令g(x)=F—2ar+3,要使/(x)在(-8,2)上為增函數(shù)，應(yīng)使g(x)在(-8,2)上單調(diào)遞減，且恒大于0.

a>2\a>2,

因此4/\人即一。無解?所以不存在實數(shù)小使/(X)在(-8,2)上為增函數(shù)?

g(2)>0[7-4a>0,

【名師點睛】利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三

方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與I的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的

構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外，解題時要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思

想的應(yīng)用.

考法05

易錯—忽略對底數(shù)的討論

[典例5]不等式loga(4-x)>-log,”的解集是.

a

【錯解】v-log1x=log”x,

...原不等式等價于log,,(4-x)>log?x,

：.4-x>x,解得x<2.

不等式loga(4—無)>—log?x的解集為(-oo,2).

a

【錯因分析】錯解中的底數(shù)a的值不確定，因此要分類討論.另外，求解時要保證真數(shù)大于0.

【正解】：-loglX=log“x,

a

：.原不等式等價于log(,(4-x)>log“x,

x>0

當時，<4-x>0,解得0VxV2.

4一x〉尤

x>0

當0<a<l時，<4-x>0,解得2cx<4.

4-x<x

A不等式log“(4—x)>-log?x的解集為(0,2)U(2,4).

a

【名師點睛】解對數(shù)不等式時，要防止定義域擴大，途徑有兩種：一是不同解變形，最后一定要檢驗；二

是解的過程中加上限制條件，如正解，使定義域保持不變，即進行同解變形，最后通過解不等式組得到原

不等式的解，這樣得出的解就不用檢驗了.

【即學(xué)即練16】已知(1%彳)2+1%丁-3版4>0的解為()

A.x<—^x>2B.xv-4或x>lC.—<x<2D.0<x<—^x>2

161616

【答案】D

【分析】

化簡得到(log2x-l)(log2x+4)>(),解不等式log,x>1或log,x<-4計算得到答案.

【詳解】

23logj42

(log2x)+log2x-3=(log2x)+31og2x-4=(log2x-l)(log2x+4)>0

即log?》〉］或唾2萬<-4,解得x>2或0<x<」

16

故選：D

【點睛】本題考查了解對數(shù)不等式，忽略掉定義域是容易發(fā)生的錯誤.

福分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

己知"=.則()

1.logs2,b=log,2,C=84

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.h<c<a

【答案】B

【分析】先利用對數(shù)函數(shù)的換底公式，然后根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可解得答案.

【詳解】“二國'匹國‘，=廠研'根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性故”9?故選：B.

2.已知對數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點&：,-2)與點3(27/),a=log°jb=0.2',c=產(chǎn)I則()

A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.a<b<c

【答案】D

【分析】先代入點的坐標，求得加=3,得到/)=1嗚八解得，=3,再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得〃也。的

取值范圍，即可求解.

【詳解】設(shè)對函數(shù)f(x)=log,〃x(加>0,且加wl),

由對數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點A(",-2)與點3(271),可得log,/=_2,解得根=3,

所以函數(shù)/(x)=log3x,則f=log327=3,

3

則a=log。/3<log()ll=0,0<&=0.2<0.2"=1,c=3°/>3°=1,所以a<b<c.

3.在b=log3“i(3一如中，實數(shù)〃的取值范圍是()

A，(/嗚8)B.,,|)u(|,|)C,與|)D.(I，1J

【答案】B

【分析】真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1，由此解不等式即可.

3a-l>0,

【詳解】要使式子b=log3a-i(3-2a)有意義,則<3"lxl,

3-2。>0,

1223

解得或故選：B.

3332

4.函數(shù)〃x)=膽產(chǎn)-2)的定義域是()

A.[1,+<?)B.停+00)

C.(l,+oo)D.停,1

【答案】D

【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零，以及偶次根式下被開方數(shù)大于等于零，即可列出不等式組解出.

【詳解】由題可得，log,(3x-2)>0'解得所以函數(shù)f(x)的定義域是匕,1.故選：D.

【點睛】本題主要考查函數(shù)定義域的求法以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于容易題.

5.若函數(shù)y=log?x+a2-3a+2為對數(shù)函數(shù)，則”=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，令3°+2=0直接計算即可.

【詳解】由題可知：函數(shù)y=log“x+/-3a+2為對數(shù)函數(shù)，

所以4-3a+2=0na=l或a=2,又。>0且awl,所以a=2.故選：B

6.函數(shù)/")="及，"°在[—2,0)U(0,2]上的大致圖象是()

Ieln(-x),x<0

【分析】通過函數(shù)的奇偶性可排除A,B；通過計算/(2)的值可排除C,進而可得結(jié)果.

【詳解】由題可知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，

且當x>0時，-x<0,/(-x)=e~(~x)-In[-(--*)]=exAnx=f(x),

當x<0時,-x>0,/(-x)=e-x-ln(-x)=/(x),故f(x)為偶函數(shù),排除A,B；

2

而〃2)=e21n2>e21nG=]>3,排除C.故選：D.

7.函數(shù)/(x)T°g|，+x+6)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

3

A.B.,2c.1-8,一。D.(-3,彳

【答案】C

【分析】先求函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解方法即可求出.

【詳解】因為d+x+6>o恒成立，所以函數(shù)f（x）的定義域為凡令〃=*2+x+6,則函數(shù)，。）=1嗅（/+》+6）

3

的單調(diào)遞增區(qū)間即為函數(shù)〃=x2+x+6的單調(diào)遞減區(qū)間，易知〃=f+x+6在（-co,-；上單調(diào)遞減，所以函

數(shù)f（x）=log+X+6）的單調(diào)遞增區(qū)間是（_8,_W,選C.

【點睛】本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，屬基礎(chǔ)題.

/1、1叫03

8.已知4=5喻3"力=5鶴3.61=（二），則

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.oa>b

【答案】c

【詳解】因為c=5i°鴻，又Iog23.4>l,log43.6<l,

Ig3.41g3-lg21gjI6.81g3-lg2

,10g

log3.4-logy>0'

23lg21g3~~"1g21g3

10(\、啕。3

所以log23.4>log3—>1>log43.6,5幅3<>1_1>5電3.6,即々>c>h

9.若函數(shù)曠=1。82（，蛇2-2皿+3）的定義域為區(qū)，則實數(shù)m的取值范圍是

A.（0,3）B.[0,3）C.（0,3]D.[0,3]

【答案】B

（詳解】試題分析：函數(shù)y=log尸j"*3）的定義域是R,則有叩2一23+3>0恒成立.設(shè)/z（x）=痛2-2儂+3,

"7>0

當帆=0時，網(wǎng)力=3>0恒成立；當mH0時，要使得人（力>0恒成立，則有｛△=（_2〃?）2_3x4xm<0'解

得0〈a<3.所以實數(shù)切的取值范圍是[0,3）,選B.

【點睛】I.對數(shù)函數(shù)的定義域：2.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

10.函數(shù)y=ln石封岳二！的值域為R，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.[0,+oo）B.|-1,0）5。收）

C.（7,-1）D.[-U）

【答案】A

【詳解】當a=0時，y=In二I值域為R:

.…a>0

當aW0時，函數(shù)的值域為R,則?2+2X—1的開口向上，且判別式大于等于零，即｛,，、八，解得。>0.

故實數(shù)。的取值范圍是。一).故選：A.

11.若函數(shù)/(公=1幅,，-公+1)有最小值，則”的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,1)51,2)C.(1,2)D.2+8)

【答案】C

【詳解】試題分析：由題意得，令g(x)=Y-以+1,當a>i時，y=log”X為單調(diào)遞增函數(shù)，所以要使得

/(x)=log?(x2-ar+i)有最小值,必須g&L>0,所以A<0,解得-2<a<2,所以l<a<2；當0<a<l

時，g(x)=d-奴+1沒有最大值，從而不能使得函數(shù)/(x)=log〃(x2-6+1)有最小值，不符合題意.

考點：1、對數(shù)函數(shù)定義域與值域；2、二次函數(shù)的性質(zhì).

【易錯點晴】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的定義域與值域，著重考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，突出分類討論和

轉(zhuǎn)化的思想方法的考查，屬于中檔題，解答關(guān)鍵是把握復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與對數(shù)函數(shù)的定義域與值域的求

解方法，其中分類討論是解題的一個易錯點.

題組B能力提升練

log」

1.已知a=log23,6=(；)r，c=logs6^J(〉

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【答案】A

【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合不等式性質(zhì)可證明log,向(〃+2)<log“(〃+l),從而比較a，c大?。桓鶕?jù)

對數(shù)性質(zhì)可比較6與。大小，即可得解.

【詳解】由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，log23-log,6=(log23-log,4)+(log,4-log45)+(log45-log56),

而由等邛黑=3”(〃+2>地向〃J蟠嗎d]

iog〃5+i)L2j

因為("+2>〃=〃2+2"<(〃+l)2,所以<],

因而嗑制才<I'即log，用(〃+2)<log"(〃+1)?

所以log23-log56=(log,3-log,4)+(log34-log45)+(log45-log56)>0

則log23>log56,即2>a>c；

log」1

而6=(；)'=2-叼=2峪3=3，所以b>a>c,故選：A.

【點睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)的應(yīng)用，由不等式證明大小關(guān)系，對數(shù)的運算與化簡，屬于中檔

題.

2.若不等式/-1叫“<0在(0,1內(nèi)恒成立，則”的取值范圍是()

A.—B.—<a<1C.0<a4—D.Q<a<—

16161616

【答案】A

【分析】

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分。>1和0<。<1兩種情況分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，即可

求解.

【詳解】當時，由xe(0,g),可得k>g“x<0,則-log,x>0,又由n2>。，此時不等式/-log.x<0不

成立，不合題意；

當0<“<1時，函數(shù)y=log.X在(0,g)上單調(diào)遞減，此時函數(shù)y=-log“x在(0,1)上單調(diào)遞增，

又由y=/在(0,g)上單調(diào)遞增，要使得不等式x2-log,,x<0在(0,；)內(nèi)恒成立，

可得&)z-log,40,解得故選:A.

2216

3.對數(shù)函數(shù)y=logd(a>0且分1)與二次函數(shù)y=(a-1)x在同一坐標系內(nèi)的圖象可能是()

c.D.

【答案】A

【分析】

①當0<“<1時，對數(shù)函數(shù)y=logd為減函數(shù)，二次函數(shù)開口向下，且其對稱軸為x=防二u<0,故排除

C與D；②當時，對數(shù)函數(shù)y=lo軻為增函數(shù)，二次函數(shù)開口向上，且其對稱軸為x==1->0,

故B錯誤.

【詳解】由對數(shù)函數(shù)y=10gaX(。>0且時1)與二次函數(shù)y=(4-1)12-x可知，

①當0<〃<1時，此時a-l<0,對數(shù)函數(shù)y=log?x為減函數(shù)，

而二次函數(shù)y=(a-1)N-x開口向下，且其對稱軸為x=方\<0,故排除C與D；

②當”>1時，此時對數(shù)函數(shù)y=log〃x為增函數(shù)，

而二次函數(shù)y=(a-1)/-X開口向上，且其對稱軸為故B錯誤，而A符合題意.

2(a-l)

故選：A.

4.已知函數(shù)，(x)=log式'7)(。>0且"D的定義域和值域都是［0,1］,則a=()

X+1

A.-B.yf2C.巫D.2

22

【答案】A

【分析】由函數(shù)f(x)=log“(一1)=0,("0MH1)的定義域和值域都是［0,1］,可得f(x)為增函數(shù)，但」一

x+1x+1

在［0,1］上為減函數(shù)，得0<a<l,把x=l代入即可求出a的值.

【詳解】由函數(shù)〃》)=1/“(占)=0,的定義域和值域都是［0,1］,可得f(x)為增函數(shù)，

但」一在［0,1］上為減函數(shù)，

x+1

當41時，/⑴=1咆,(5)=-1歿,2=1,解得〃=3,故選A.

【點睛】本題考查了函數(shù)的值與及定義域的求法，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是先判斷出函數(shù)的單調(diào)性.

做此題時要仔細觀察、分析，分析出/(0)=0,這樣避免了討論.不然的話，需要討論函數(shù)的單調(diào)性.

5.若函數(shù)/卜)=1%(2/+同(4>0,“訓(xùn)在區(qū)間(0,￡)內(nèi)恒有“力>0,則〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

A.1°°，-!)B.(-#8)

C.1°0,-g)D.(0,+oo)

【答案】C

【詳解】由題意得，因為寓圖鯽合，整F#?六哪磔，函數(shù)〃力=1嗎(2/+》)5>0,"1)在區(qū)間勰3內(nèi)

恒有〃無)>()，所以砌卷哪◎，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,賈逸毯的單調(diào)遞減區(qū)間刎加礴，對復(fù)合函數(shù)的形式

進行判斷，可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為《-幽故選c.

考點：1.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；2.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；3.函數(shù)恒成立問題.

【方法點睛】本題主要考查的是用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間，函數(shù)恒成立問題，對數(shù)函數(shù)的圖象與性

質(zhì)，屬于中檔題，本題要根據(jù)題設(shè)中所給的條件解出，事。的底數(shù)潮的值，由即￡博必\『可得到內(nèi)層函數(shù)

的值域，再由/(x)>0恒成立，可得到底數(shù)詞的取值范圍，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出其單調(diào)區(qū)間即可，

因此本題中正確將題設(shè)中所給的條件進行正確轉(zhuǎn)化得出底數(shù)的范圍，是解決本題的關(guān)鍵.

6.若不等式log”(or2-2x+l)>0(a>0,且”1)在xe口,2］上恒成立，則。的取值范圍是

A.(1,2)B.(2,+oo)C.(0,l)u(2,+oo)D.(0,1)

【答案】B

【詳解】分類討論：

①若1,由題意可得：ox?一+1>1在區(qū)間［1,2］上恒成立，

即如2>2內(nèi)。>2在區(qū)間口,2］上恒成立，貝,

XI*/max

結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性可知當x=2時，I-］=|=1,此時a>2；

②若由題意可得：0<依2-2》+1<1在區(qū)間［1,2］上恒成立，