2021-2022學(xué)年第一學(xué)期浙教版九年級(jí)數(shù)學(xué)期末模擬卷三

2021-2022學(xué)年第一學(xué)期浙教版九年級(jí)數(shù)學(xué)期末模擬卷三

（詳解版）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題（共30分）

1.下列是隨機(jī)事件的是（）

A.汽油滴進(jìn)水里，最終會(huì)浮在水面上B.自然狀態(tài)下，水會(huì)往低處流

C.買一張電影票，座位號(hào)是偶數(shù)D.投擲一枚均勻的骰子，投出的點(diǎn)數(shù)是

7

【答案】C

【分析】

根據(jù)事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事件

稱為不可能事件，在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件進(jìn)行分

析即可.

【詳解】

解：A.汽油滴進(jìn)水里，最終會(huì)浮在水面上，是必然事件，故此選項(xiàng)不合題意；

B.自然狀態(tài)下，水會(huì)往低處流，是必然事件，故此選項(xiàng)不合題意；

C.買一張電影票，座位號(hào)是偶數(shù)，是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)符合題意；

D.投擲一枚均勻的骰子，投出的點(diǎn)數(shù)是7,是不可能事件，故此選項(xiàng)不合題意；

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了隨機(jī)事件，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握隨機(jī)事件定義.

2.如圖，己知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4,8坐標(biāo)分別為A（4,0）,B（-6,0）.點(diǎn)C

是y軸正半軸上的一點(diǎn)，且滿足NAC8=45。，圓圓得到了以下4個(gè)結(jié)論：①△ABC的

外接圓的圓心在0c上；②N4BC=60。；③△A3C的外接圓的半徑等于5&；④OC

=12.其中正確的是（）

A.①②B.②③C.③?D.①④

【答案】C

【分析】

如圖，作出4ABe的外接圓，以AB為斜邊在x軸上方作等腰Rt^ABE,過點(diǎn)E作J_x

軸于D,連接EC,過點(diǎn)￡作EF，y軸于F,由圓心必然在弦的垂直平分線上可判斷①；

再證明E為AA/3c外接圓圓心，求出半徑，可判斷③；再在戶中由勾股定理求出

OC1?

CF,可求得0C和tanNABC=——=-,即可判斷②④.

OB2

【詳解】

解：如圖，作出AA8c的外接圓，以A8為斜邊在x軸上方作等腰心AABE,

過點(diǎn)￡作七￡>_1_》軸于。，連接EC,過點(diǎn)E作所，y軸于尸，

：“ABC的外接圓的圓心必在弦AB的垂直平分線上,

二圓心肯定不在0C上，故①錯(cuò)誤：

ZACB=45°,

由圓周角定理得：AB所對(duì)的圓心角必為90°,

,：EB=EA,

在弦AB的垂直平分線上，

NAEB=90°,

必為圓心，即AE、BE為半徑，

：?AE=5及,故③正確；

?"。=5,08=6,

，0D=1,

,/ZED0=ZD0F=NOPE=90。，

：.OD=EF=\fED=F0=5,

CF=>ICE2-EF2=J(5何一1=7,

OC=OF+FC^U,故④正確；

oc1

tanZABC=——=-,

OB2

AZABC/600,故②錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了垂徑定理、勾股定理及圓周角定理，作出AABC的外接圓是解決本題的

關(guān)鍵.

3.我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果，其中《算經(jīng)十書》是指漢、唐一千多年間的十

部著名的數(shù)學(xué)著作，這些數(shù)學(xué)著作曾經(jīng)是隋唐時(shí)代國(guó)子監(jiān)算學(xué)科的教科書.十部書的名

稱是：《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《五經(jīng)

算術(shù)》、《緝古算經(jīng)》、《綴術(shù)》、《五曹算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《算經(jīng)十書》標(biāo)志著中國(guó)古代

數(shù)學(xué)的高峰.《算經(jīng)十書》這1()部專著，有著十分豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國(guó)古代數(shù)

學(xué)的重要文獻(xiàn).這10部專著中據(jù)說有6部成書于魏晉南北朝時(shí)期.其中《張丘建算經(jīng)》、

《夏侯陽算經(jīng)》就成書于魏晉南北朝時(shí)期.某中學(xué)擬從《算經(jīng)十書》專著中的魏晉南北

朝時(shí)期的6部算經(jīng)中任選2部作為“數(shù)學(xué)文化”進(jìn)行推廣學(xué)習(xí),則所選2部專著恰好是《張

丘建算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》的概率為()

114II

A.-B.-C.—D.—

351518

【答案】C

【分析】

設(shè)六部成書于魏晉南北朝的算經(jīng)分別用A、B、C、D、E、尸表示，其中《張丘建算經(jīng)》、

《夏侯陽算經(jīng)》分別用A、8表示，列樹形圖表示所有等可能性，根據(jù)概率公式即可求解.

【詳解】

解：設(shè)六部成書于魏晉南北朝的算經(jīng)分別用A、B、C、D、E、尸表示，其中《張丘建

算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》分別用A、8表示，根據(jù)題意列樹形圖得

ABCDEF

/yiv./ziv.

BCDEFACDEFABDEFABCEFABCDFABCDE

由樹形圖得共有30種等可能性，其中兩部專著恰好是4、8即《張丘建算經(jīng)》、《夏侯

陽算經(jīng)》的有兩種等可能性，

二所選2部專著恰好是《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》的概率為尸=《2=看1.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了列樹形圖求概率，根據(jù)題意分別用字母表示六種算經(jīng)并正確列出樹形圖是解

題關(guān)鍵.

4.已知拋物線丫=??+嬴+3在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，它與x,)'軸的交點(diǎn)分別為

A,8,尸是其對(duì)稱軸\=1上的動(dòng)點(diǎn),根據(jù)圖中提供的信息，以下結(jié)論中不正確的是()

3

B.0>tz>—

2

C.周長(zhǎng)的最小值是好+3正D.x=3是加+法+3=0的一個(gè)根

【答案】C

【分析】

根據(jù)對(duì)稱軸方程求得A。的數(shù)量關(guān)系即可判斷A;根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知拋物線與X

軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3,則x=3時(shí)，尸0,得到34+3=0,即2a+3=-a>0即可判斷

B、D：利用兩點(diǎn)間直線最短來求△粗8周長(zhǎng)的最小值即可判斷C.

【詳解】

對(duì)稱軸是直線戶-(=1,

解:

A、根據(jù)圖象知,貝!Jh=-2af即2a+b=09故A正確;

B、根據(jù)圖象知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為對(duì)稱軸是41,則根據(jù)拋物線關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的

性質(zhì)知，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,0),

二產(chǎn)3時(shí)，y=9a+3/?+3=0,

:.9a-6a+3=0,

；.3a+3=0,

;拋物線開口向下，則。<0，

3

,故B正確；

2

C、點(diǎn)4關(guān)于廣1對(duì)稱的點(diǎn)是A'(3,0),即拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn),

連接8"與直線x=l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,

則^PAB的周長(zhǎng)的最小值是(4T+A8)的長(zhǎng)度，

VA(-1,O),8(0,3),“(3,0),

?.AB=0>BA=3''J^'

即△出8周長(zhǎng)的最小值為9+3啦，故C錯(cuò)誤；

D、根據(jù)圖象知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),對(duì)稱軸是k1,則根據(jù)拋物線關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的

性質(zhì)知，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),所以x=3是o^+歷?+3=0的個(gè)

根，故D正確.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

及兩點(diǎn)之間線段最短.解答該題時(shí)，充分利用了拋物線的對(duì)稱性.

5.如圖，在菱形ABC。中，ZABC=12O°,AB=2.動(dòng)點(diǎn)?從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)

單位的速度沿折線仞-OC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。也從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒個(gè)單

位的速度沿AC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止.設(shè)AAPQ的

面積為y,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為X秒，則下列圖象能大致反映y與X之間函數(shù)關(guān)系的是()

【答案】A

【分析】

根據(jù)P點(diǎn)位置運(yùn)動(dòng)不同分類討論計(jì)算即可，分在AD上運(yùn)動(dòng)和在CD上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合三角

形的面積得出關(guān)系式，再判斷即可；

【詳解】

ZABC=120。，

ZDAB=60°,則ZDAQ=30°,

當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如下圖，

過點(diǎn)Q作,

由題意得：AP=2t,AQ—y/3t,=30°,

則y=；xAPx”Q=；x2rxAQxsinN/MQ=；x2fxJ^x；=#f2,為開口向上的拋物

線;

當(dāng)點(diǎn)尸在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，同理可得丫=一日/”2）為開口向下的拋物線;

故答案選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)圖像綜合，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，M是一個(gè)加油站，A,B是兩個(gè)村莊，現(xiàn)要建一條直線型公路，使加油站M

到公路的距離為1km,且A,8兩村到公路的距離相等，那么這條公路的設(shè)計(jì)方案有（）

A.1種B.2種C.3種D.4種

【答案】D

【分析】

由切線的性質(zhì)，取A8的中點(diǎn)0,過點(diǎn)。與圓相切的直線符合題意，根據(jù)平行線間的距

離處處相等，作圓的切線且平行AB即可解題.

【詳解】

解:如圖，連接43,取48的中點(diǎn)0,作線段A8的中垂線，以M為圓心，1km為半徑

作圓，此時(shí)，過點(diǎn)。與圓相切的直線0C、0。符合題意，即圖中直線4,4;

另與直線A8平行且與圓相切的兩直線［，乙也符合題意;

故符合題意的公路設(shè)計(jì)方案有4條，分別是圖中的44,加乙，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是

解題關(guān)鍵.

7.由若干個(gè)相同的小立方體搭成的一個(gè)幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，俯視圖的

方格中的字母和數(shù)字表示該位置上小立方體的個(gè)數(shù)，則以下說法正確的是（）

A.x=l或2,y=3B.x=l或2,y=l或3

C.x=l,y=l或3D.x=2,y=l或3

【答案】A

【分析】

俯視圖中的每個(gè)數(shù)字是該位置小立方體的個(gè)數(shù)，結(jié)合主視圖2列中的個(gè)數(shù)，分析其中的

數(shù)字，從而求出x、y的值.

【詳解】

解：由俯視圖可知，該組合體有兩行兩列，

左邊一列前一行有兩個(gè)正方體，結(jié)合主視圖可知左邊一列最高疊2個(gè)正方體，故x=l

或2；

由主視圖右邊一列可知，右邊一列最高可以疊3個(gè)正方體，故y=3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)三視圖判斷幾何體的構(gòu)成及對(duì)幾何體三種視圖的空間想象能力.注意找

到該幾何體的主視圖中每列小正方體最多的個(gè)數(shù).

8.如圖，在正方形A8CD中，AB=2M.E,產(chǎn)分別為BC,CO的中點(diǎn)，連接AE、

BF,AE交BF于點(diǎn)G,將ABCF沿BF翻折得到2BPF，延長(zhǎng)叱交創(chuàng)延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,

連接QG,則尸的面積是()

QAB

25

A.—B.25C.20D.15

2

【答案】D

【分析】

由已知可求。尸二Q3,在放△BPQ中，由勾股定理求得。3,可求出BQ尸25,再證明

LABE^/XBCF(SAS),ABGEsABCF,由止匕得B尸，GE,BG,過點(diǎn)G作GN_LAB

交AB于M可證明△ANGs/\4BE,再由G4=4E-GE,可求得GM根據(jù)

SAQG產(chǎn)SdBQF-SABQG即可求解.

【詳解】

解：將ABCF沿BF翻折得到ABPF,

PF=FC,NPFB=NCFB,

???四邊形ABC。是正方形

:.NFPB=90°,CD//AB,AB=BC,NABE=NBCF=90。

：.NCFB=NABF,

：.NABF=NPFB,

：.QF=QB,

PF=FC-CD=AB=,PB-AB=2yf\0,

在/?/△BPQ中，QB2=BP2+PQ2,

QB2=(QB->/lO)2+(2>/10)2,

.??

2

???5ABQF=—xx2VTo=25,

22

VAB=BC,BE=CF,NABE=NBCF=90。,

:?△ABEQXBCF(SAS),

，NAEB=/BFC,

義?:NEBG=/CBF,

：?4BGEs叢BCF,

.GEBGBE

,:CF=M,BC=2M,

:?BF=5近,

GE=y/2，BG=25/2,

過點(diǎn)G作GN1.AB交AB于N,

?:/GAN:/EAB,NANG=NABE=9Q。,

：.XANGs2ABE,

?GNGA

''~BE~~EA

VGA=AE-GE=4V2

:?GN=^^-

5

.c1“we，15M4Min

??SABQG=—xQBxGN=—x------x--------=10,

2225

??SAQGF-S^BQF-SKB^G=25-10=15,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查折疊的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

9.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)圖形尸給出如下定義：若圖形廠上的所有點(diǎn)都在以原點(diǎn)為

頂點(diǎn)的角的內(nèi)部或邊界上，在所有滿足條件的角中，其度數(shù)的最小值稱為圖形的坐標(biāo)角

度，例如，如圖中的矩形ABCO的坐標(biāo)角度是90。.現(xiàn)將二次函數(shù)丫=62(14〃43)的圖

象在直線y=l下方的部分沿直線y=l向上：翻折，則所得圖形的坐標(biāo)角度a的取值范

圍是()

A.30°<a<60°B.120°<?<150°

C.90°<?<120°D.60°<a<90°

【答案】D

【分析】

分a=l和a=3兩種情況畫出圖形，根據(jù)圖形的坐標(biāo)角度的定義即可解決問題.

【詳解】

解：當(dāng)a=l時(shí)，如圖1所示，

圖1

???角兩邊分別過點(diǎn)A(-1,1),B(1,1),

作BE±x軸于點(diǎn)E,

：.BE=OE,

二/BOE=45。，

根據(jù)對(duì)稱性可知：ZAOB=90°,

此時(shí)坐標(biāo)角度a=90°；

角兩邊分別過點(diǎn)A(-立」)，B(3,1),

33

作BE±x軸于點(diǎn)E,

n

,/tanZBOE=—,

3

NBOE=60。，

根據(jù)對(duì)稱性可知：/AOB=60。，

,此時(shí)坐標(biāo)角度a=90。，

.,.600<a<90°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)綜合題，圖形的坐標(biāo)角度定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)

畫圖，利用特殊點(diǎn)或者特殊位置解決問題.

10.拿破侖為人好學(xué)，是法蘭西科學(xué)院院士，他對(duì)數(shù)學(xué)方面很感興趣，在行軍打仗的空

閑時(shí)間，經(jīng)常研究平面幾何.他提出了著名的拿破侖定理：以三角形各邊為邊分別向外

側(cè)作等邊三角形，則它們的中心構(gòu)成一個(gè)等邊三角形.如圖所示，以AABC的三條邊為

邊，分別向外作三個(gè)正三角形，順次連結(jié)它們的中心￡,F,G,得到“拿破侖AEFG”.已

知三個(gè)等邊三角形的面積比為1:3:4,貝心拿破侖與AABC的面積比為（）

A.7:6B.6:5C.5:4D.4:3

【答案】A

【分析】

連接。G,并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)。，連接8E,BG,先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得

S叩邛8cIS,=曰AB'LCN瀉AC\S.G邛的,NOBG=ZABE=30。,

BG=—BC,BE=—AB,再根據(jù)面積之比可得AC-AB?:BC?=1:3:4,從而可得

33

“iBC是直角三角形，然后解直角三角形可得NABC=30。，由此可得ABEG是直角三角

形，利用勾股定理可得EG?的值，最后利用三角形的面積公式即可得.

【詳解】

解：如圖，連接。G,并延長(zhǎng)交8c于點(diǎn)。，連接8E,8G,

D

??,點(diǎn)G是等邊三角形△BCD的中心,

ZCBD=60°,ZOBG=30。,OB=工BCQDLBC,

2

在肋△03〃中，OD=OB-tanZCBD=—BC,

2

-BC

在R〃。8G中,8G=_2___

=BC，

cosZ.OBGcos30°T

2

■.SJ1CD=^BCOD=^-BC,

同理可得：S,ABM=￥AB2,S,S=^AC2,SQC=4EG2,NABE=30°,BE=*4B,

不妨設(shè)AC<A8<8C,

則Lew：Sa:Sq=1:3:4,2gg曰Bd=1:3:4,

AC2:AB2:BC2=1:3:4,

設(shè)AC2=a\a>0),則AB2=3a2,BC2=4a2,

AC2+AB2=BC2，AC=a,AB=6a,BC=2a,

.1△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，

S=—AB-AC=—xy/3a-a=——>

J"。222

4ri

在中，sinAABC=—7=~,

BC2

.\ZABC=30°,

/.ZEBG=ZABE+ZABC+ZOBG=90°,

又BG=與BC=^a,BE=與AB=a

7

:.EG2=BG2-i-BE2=-a2

3f

；￡EFGqEG。

43當(dāng)

固cc_7"^'2^32_-7Z

S^EFGS^BC=~^a~a=7:6,

即“拿破侖AEFG”與^ABC的面積比為7:6,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理和勾股定理的逆定理等知識(shí)點(diǎn),

熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

二、填空題（共24分）

2

11.如圖，在RsABO中，2480=90。，反比例函數(shù)了=――的圖象與斜邊。4相交于

X

點(diǎn)C,且與邊A8相交于點(diǎn)。.已知OC=2AC,則△AOD的面積為

【答案】|

4

【分析】

過點(diǎn)C作CE10B于點(diǎn)E,設(shè)出C,D的坐標(biāo)，求出△OBD和4OCE的面積，利用平

行線的性質(zhì)得出^OEC?4OAB,利用相似三角形的性質(zhì)求出△OAB的面積，用^OAB

的面積減去△。8。的面積，結(jié)論可得.

【詳解】

/?>0,加<0,H>0.

OB--a,BD=b,0E=-m,CE-n.

2

VC,。在反比例函數(shù)產(chǎn)--的圖象上，

x

.*?ab=mn=-2.

?*-SXOBD=g（-a）b=1,SMCE=-（~m）n=1.

"：CELOB,ABA,OB,

：.CE//AB.

：?l\OCE~&OAB.

?SROCE二（。。）2

,,二一OA-

?：OC=2AC,

.OC2

??=~~?

OA3

.S'OCE_4

.95

?,^SOAD=S^OAB-SAOBD=W—1=1.

故答案為：Y.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上的坐標(biāo)的特征,

利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

12.拋物線卜=0^+析+。（4片0）與x軸交于點(diǎn)（一2,0）、（4,0）,其中Tv%<。，c<0,

下列四個(gè)結(jié)論：①a%c>0；②-c<0；③（a-6）（3a-〃）>0；④若"?，n（，〃<”）

為關(guān)于x的方程。（犬+2乂工-不）+1=0的兩個(gè)根，則-3<〃7+“<-2.其中正確的結(jié)論

是（填寫序號(hào)）.

【答案】②④

【分析】

由題意可知，a<0,c<0,由對(duì)稱軸可知得出6<0,故判斷①；由當(dāng)x=-2時(shí)，y=0

?Q

和當(dāng)x=—1B寸，y>0可以判斷②；由當(dāng)x=-1時(shí)，6+c>0和--->—,可以判斷

2a2

③；y=ax2+bx+c=a（x+2）（x-xl）向上平移1個(gè)單位得到，對(duì)稱軸不變，可以判斷

④.

【詳解】

解：：拋物線^=加+桁+4。工0）與x軸交于點(diǎn)（-2,0）、（占0）,

其中一c<0,

:.abc<0,故①錯(cuò)誤；

???當(dāng)x=—2時(shí)，y=0,即4a-2Z?+c=0①，

當(dāng)x=-l時(shí)，y>O,即。一人+(?>0②，

由①得：2b=4a+cf

把2/?=4。+c代入②x2得：2”(4a+c)+2c>0,

整理得：24/-C<0,故②正確；

當(dāng)x=-l時(shí)，a—h+c>0,

???CL-/?>—。>0,

又

2a2

???3a—b<0,

A(a-b)(3a-b)<0f故③錯(cuò)誤；

r

Vd(x+2)(x-xl)+l=0,

即y'為y="2+6x+c=a(“+2)(x-xj向上平移1個(gè)單位得到，

/.m<-2,n>x],

22

，—3Vzzz+〃V—2,故④正確；

故答案為：②④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y=or2+bx+c(@0),二次項(xiàng)

系數(shù)”決定拋物線的開口方向：當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)“VO時(shí)，拋物線向下

開口：一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)。與b同號(hào)時(shí)(即ab

>0）,對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與6異號(hào)時(shí)（即abVO）,對(duì)稱軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定

拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0,c）：△決定拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù):A=62-4ac

>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；A=〃-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=

62-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn).

13.如圖，在半徑為我的圓形紙片中，剪一個(gè)圓心角為90。的最大扇形（陰影部分），

則這個(gè)扇形的面積為;若將此扇形圍成一個(gè)無底的圓錐（不計(jì)接頭），則圓錐底面

半徑為.

【答案】兀y

【分析】

由勾股定理求扇形的半徑，再根據(jù)扇形面積公式求值；根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)求

得底面半徑即可.

【詳解】

解：連接BC,

由NBAC=90。得BC為。。的直徑，

:.BC=2q,

在RtAABC中，由勾股定理可得：AB=AC=2,

.。90萬’4

?S版BL三而

90^-x2

...扇形的弧長(zhǎng)為：=兀，

設(shè)底面半徑為r,則2"=兀，

解得：r=g，

故答案為：71,g.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的

周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng).

14.如圖，在矩形ABC。中，AB=\,AD=43,E為AO邊上的一動(dòng)點(diǎn)，M、N為BC

邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足/MEN=45。，則線段MN長(zhǎng)度的最小值為

【答案】272-2

【分析】

作AEMN的外接圓0,連接。E,OM,ON,過點(diǎn)。作8c于點(diǎn)”，設(shè)。。的半

徑為r,判斷出△0MN是等腰直角三角形,得到MN,結(jié)合垂徑定理得到0E+0〃=與&r,

可得0E+0H的最小值為1,即可求出r的最小值，從而得到MN的最小值.

【詳解】

解：作△EMN的外接圓0,連接OE,OM,ON,過點(diǎn)。作于點(diǎn)”，如圖，

設(shè)。。的半徑為r,則0E=0M=0N=r,

A

B

；NMEN=45°,

：.NMON=2NMEN=90°,

...△OWN是等腰直角三角形，

...NOMN=45。，根據(jù)勾股定理得：MNEOM'ON?=5，

,：OHA.BC,

：.OH二MN=?r,

22

OE+OH=^^-r,

2

;在矩形ABC。中，AD//BC,

二點(diǎn)E到直線8c的距離為A8的長(zhǎng)，即為1,

又???點(diǎn)”在BC上，OHLBC,

...OE+O”的最小值為1,此時(shí)空也r=l,

2

即r的最小值為r=2->/2,

取最小值為&（2-應(yīng)）=2應(yīng)-2,

故答案為：20-2.

【點(diǎn)睛】

本題考查矩形的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性

質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造輔助圓解決問題屬于中考填空題中的壓軸

題.

15.如圖，在R〃ABC中，ZACB=90°,以其三邊為邊向外作正方形，過點(diǎn)C作CR_L尸G

于點(diǎn)R,再過點(diǎn)C作PQ^CR分別交邊?！?BH于點(diǎn)P,Q.若QH=3PE,CR=26,

則?Q=.

____80

【答案】y

【分析】

連接EC,HC,設(shè)CR與AB交于點(diǎn)M,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)證明出

△PECs^QHC,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到/ABC的三角函數(shù)值，然后根據(jù)正方

^AFGB的性質(zhì)和CR的長(zhǎng)度列方程求出BC的長(zhǎng)度，進(jìn)一步根據(jù)/BC。的三角函數(shù)值

求出CQ的長(zhǎng)度，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PC的長(zhǎng)度，即可求出P。的長(zhǎng)度.

【詳解】

如圖所示，連接EC,HC,設(shè)CR與AB交于點(diǎn)

,/四邊形4a?E和四邊形CBHI都是正方形,

ZACE=ZBCH=45°,

又：/4CB=90。，

NEC”=180。，

.?.點(diǎn)E,C,，三點(diǎn)共線，

NPCE=NQCH,

又,??NPEC=NQHC=45°,

APECs/\QHC.

.ECPEPC\

,*wc-e/7-2C-3,

四邊形ACDE和四邊形CBHI都是正方形,

AACE和ABCH都是等腰直角三角形，

/.AC^—EC,BC=—HC,

22

；AA/3c是直角三角形，ZAC8=90°,

—EC

AC]_

tanZ.ABC2

'BC3

—HC

2

3M

cosZABC=----

AB"io-

?.?四邊形4FG8是正方形，CRA.FG,

:.CR工AB,

???由題意可知四邊形AFRM是矩形,

；?AF=RM=AB.

?,?設(shè)CM=x,AB=AF=MR=26-x,

在RmCMB中，tanZABC=1,

「?BM=3xfBC=y/iOx,

??BC3M

?cosZ.ABC==----,

AB10

?Mx3M

??---=-----,

26-x10

解得：x=6.

???CM=6,BC=6M,

?:PQLCR,AB1.CR,

J.PQ//AB,

：./QCB=ZABC,

:.cos/QCB=cosZABC=,

.BC3M

**ec-io'

,6M3M

"QC~10J

，解得：QC=20.

又??空」

乂?QC3，

.PC1

>?---=一

203

20

解得：PC=y

Of)QA

I.PC=PC+C2=y+20=y.

QA

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】

此題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角函數(shù)的運(yùn)用等知識(shí)，根據(jù)題

意作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，已知點(diǎn)A（3,3上）,點(diǎn)8（0,上）,點(diǎn)A在二次函數(shù)y=Gx2+Qx-

96的圖象上，作射線AB,再將射線A3繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30。，交二次函數(shù)

圖象于點(diǎn)C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

【答案】（-1，-94）

【分析】

過點(diǎn)8作8E〃x軸，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E,8E交AC于點(diǎn)。，過。點(diǎn)作OELABF

點(diǎn)、F,根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，設(shè)8D=x,則QE=3—x,則AD=々-6x+21,

根據(jù)三角函數(shù)得出AO=2OF=若，則&J6x+21=的,解之可得8。=：,求得直

線AC的詳解式，與拋物線詳解式聯(lián)立可得點(diǎn)C的坐標(biāo).

【詳解】

解：過點(diǎn)8作3E//X軸，過點(diǎn)A作跖于點(diǎn)E,

8E交AC于點(diǎn)。，過。點(diǎn)作DFLAB于點(diǎn)F,

根據(jù)題意可得8E=3,AE=3^-6=2b,

.，?AB=出+Q幣f=721,

設(shè)比>=x,則DE=3—x,

AD=7（3-X）2+（2^）2=VX2-6X+21，

sinZABE=—=^=-^=,

ABV21V7

DF=BDsinZABE=蕓，

V7

ZFAD=30°,

4Y

AD=2DF=w

.，?>/x2-f）X+21—^y—,

兩邊平方得：x2-6x+2\=—x2

7

7

解得：5=一7（舍）,

.R八74x4"

3"3

72

??.DE=3——=一，

33

AE=^AD2-DE2=273，

，點(diǎn)。的坐標(biāo)為：g,我,

設(shè)直線AC的詳解式為：），=履+"

，3&=3k+b

工=3百

則

仆了解得b=-6y/3

；?AC表達(dá)式為y=3>/3x—65/3，

將其代入拋物線方程）=退/+由x-96,

解得玉=-1或X?=3,

x=3即為點(diǎn)4,

將x=T代入直線AC得y=-9后,

二點(diǎn)C坐標(biāo)為：（-1,-96），

故答案為：（-1,-96）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，求一次函數(shù)詳解式，根據(jù)題意求得一次函

數(shù)詳解式與二次函數(shù)詳解式聯(lián)立是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，圖1是某滑動(dòng)模具示意圖，轉(zhuǎn)動(dòng)飛輪。A時(shí)，圓上固定點(diǎn)8隨之在連桿0。

上的滑道滑動(dòng)，并帶動(dòng)連桿繞端點(diǎn)。左右擺動(dòng).圖2是某平臺(tái)側(cè)面示意圖，平

Q

臺(tái)高。E=§dm,上底寬EF=1.5dm,下底寬?！?8dm,GHLOH,以圖2所示方式

建立平面直角坐標(biāo)系M萬，點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(-8,0),側(cè)曲面AG恰好完全落在反比例函數(shù)

y=A(Z<0)的圖象上.

X

(1)則A的值為.

(2)若飛輪半徑為0.5dm,轉(zhuǎn)動(dòng)飛輪從頂端尸經(jīng)側(cè)曲面向地面x軸無滑動(dòng)滾動(dòng)，為保

證模具在平臺(tái)上順利滑動(dòng)，滑道MN的長(zhǎng)度至少為dm.

【答案】-4(運(yùn)

26

【分析】

QQQRk

⑴根據(jù)所=；,OE=?可確定點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-7，(，代入函數(shù)y=<0)中求解即可；

(2)根據(jù)圓在尸處，計(jì)算最短的OM長(zhǎng)，根據(jù)圓在水平面OH上，計(jì)算最長(zhǎng)的。乂其差即為

MN的最短長(zhǎng)度.

【詳解】

3X

(1)點(diǎn)F在第二象限，

3Q

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(看，|),

k

???點(diǎn)尸在函數(shù)y=—(k<0)的圖像上，

x

Q3

故答案為：-4；

(2)如圖，當(dāng)。4恰好在尸處，作軸，垂足為8,EF_Ly軸，OEJ_x軸,

故四邊形BOEF是矩形，

：.BF=OE,

Q11O

???BA=BF+FA=OE+FA=—+：=一,

326

作GM的切線0M,連接AM,則

則0M==^OA2-AM2=J(2^1)2+(g)；=呼1,

當(dāng)。4恰好在最低端時(shí)，根據(jù)題意，得點(diǎn)4-券，I),

?,Q=J(歲+口，

作。A的切線ON,連接AM則ANJ_ON,

則ON==slOA2-AN2=^(y)2+(gy-(I)2=y,

MN=ON-OM=--,

26

,.“17J433

故答案為：二-三L

26

【點(diǎn)睛】

本題考查了坐標(biāo)的確定，兩點(diǎn)間的距離公式，矩形的判定與性質(zhì)，圓的切線性質(zhì)，勾股

定理，熟練掌握點(diǎn)的坐標(biāo)確定方法，靈活運(yùn)用切線的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，點(diǎn)。是AA3C的內(nèi)心，40的延長(zhǎng)線交A45c的外接圓于點(diǎn)。，交BC于

點(diǎn)E,設(shè)空手=a,則要=一.(用含”的代數(shù)式表示)

BCDE

A

D

【答案】a—\

【分析】

過點(diǎn)。作。尸〃8。交A8于點(diǎn)F,連接8D,通過三角形內(nèi)心的性質(zhì)可得出

AR4-AC

然后證明△/8。g/\石80,然后根據(jù)成比例線段的性質(zhì)，根據(jù)絲著上=小得出

BC

BF+AFcl八廠人廠.【IH/RZN0E<

------------=a,BF=BEy——=a-\,從而得到——=a-\.

BEBEDE

【詳解】

解：過點(diǎn)。作0F〃3Q交4?于點(diǎn)F,連接5Q,

JNAOF=NADB=/ACE,

??,點(diǎn)。是^ABC的內(nèi)心,

:.ZFAO=ZEAC9

：.ZAFO=\SO°-ZFAO-ZAOF=\SO°-ZEAC-ZACE^ZAEC9

：.NBFO=NBEO,

在AFBO和AEBO中，

ZBFO=ZBEO

</FBO=/EBO,

BO=BO

：./\FBO^/\EBO(A4S),

：?OF=OE,BF=BE,

*.<NOBD=/OBE+/CBD=NABO+NCAD,

ZOBD=ZABO+ZBAO=ZBOD,

???OD=OB,

.OEOFAF

?歷一瓦一茄’

,QEAF

*OD-OE~AB-AF

.QEAFAF

：NBAE=NOAE,

.AB__AC_

?茄一茄’

.AB+ACABAC

"BE+EC~^E~^EC

.AB+AC

?------------=m

BC

,AB

?——=a，

BE

.BF+AF

?-----------=a,

BE

:BF=BE,

?AF.

,=a—\

BE1

故答案為

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，成比例線段的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周

角定理.關(guān)鍵是成比例線段的性質(zhì)的應(yīng)用.

三、解答題（共46分）

19.（本題8分）今年以來，我市接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，游玩某景區(qū)的游客

人數(shù)三月份為4萬人，五月份為5?76萬人.

（1）求四月和五月這兩個(gè)月中，該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長(zhǎng)百分之幾；

（2）若該景區(qū)僅有AB兩個(gè)景點(diǎn)，售票處出示的三種購(gòu)票方式如表所示：

購(gòu)票方式甲乙丙

可游玩景點(diǎn)ABA和8

門票價(jià)格100元/人80元/人160元/人

據(jù)預(yù)測(cè)，六月份選擇甲、乙、丙三種購(gòu)票方式的人數(shù)分別有2萬、3萬和2萬,并且當(dāng)

甲、乙兩種門票價(jià)格不變時(shí)，丙種門票價(jià)格每下降1元，將有600人原計(jì)劃購(gòu)買甲種門

票的游客和400人原計(jì)劃購(gòu)買乙種門票的游客改為購(gòu)買丙種門票.

①若丙種門票價(jià)格下降10元，求景區(qū)六月份的門票總收入；

②問：將丙種門票價(jià)格下降多少元時(shí)，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值？最大值是多

少萬元？

【答案】（1）20%；（2）①798萬元，②當(dāng)丙種門票價(jià)格降低24元時(shí)，景區(qū)六月份的門

票總收人有最大值，為817.6萬元

【分析】

（1）設(shè)四月和五月這兩個(gè)月中，該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x,則四月份的游

客為4（l+x）人，五月份的游客為4（l+x『人，再列方程，解方程可得答案；

（2）①分別計(jì)算購(gòu)買甲，乙，丙種門票的人數(shù)，再計(jì)算門票收入即可得到答案；②設(shè)

丙種門票價(jià)格降低加元，景區(qū)六月份的門票總收人為W萬元，再列出W與加的二次函

數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大利潤(rùn)即可得到答案.

【詳解】

解：（1）設(shè)四月和五月這兩個(gè)月中，該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為X,

由題意,得4（l+x>=5.76

.-.（1+X）2=1.44,

解這個(gè)方程，得玉=0.2,%=-2.2（舍去）

答：四月和五月這兩個(gè)月中，該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長(zhǎng)20%.

（2）①由題意，丙種門票價(jià)格下降10元，得：

購(gòu)買丙種門票的人數(shù)增加：0.6+04=1（萬人），

購(gòu)買甲種門票的人數(shù)為：2-0.6=14（萬人），

購(gòu)買乙種門票的人數(shù)為：3-0.4=2.6（萬人），

所以：門票收入問；

100x1.4+80x2.6+（160-10）x（2+1）=798（萬元）

答：景區(qū)六月份的門票總收入為798萬元.

②設(shè)丙種門票價(jià)格降低機(jī)元，景區(qū)六月份的門票總收人為W萬元，

由題意，得

W=100（2-0.06/77）+80（3-0.04/77）+（160-/n）（2+0.06nz+0.04m）

化簡(jiǎn)，得W=-0.1（〃―24）2+817.6,

,/-0.1<0,

當(dāng)加=24時(shí)，W取最大值，為817.6萬元.

答：當(dāng)丙種門票價(jià)格降低24元時(shí)，景區(qū)六月份的門票總收人有最大值，為817.6萬元.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)求

解利潤(rùn)的最大值是解題的關(guān)鍵.

20.（本題8分）電子政務(wù)、數(shù)字經(jīng)濟(jì)、智慧社會(huì)……一場(chǎng)數(shù)字革命正在神州大地激蕩.在

第二屆數(shù)字中國(guó)建設(shè)峰會(huì)召開之際，某校舉行了第二屆“掌握新技術(shù)，走進(jìn)數(shù)時(shí)代”信息

技術(shù)應(yīng)用大賽，將該校八年級(jí)參加競(jìng)賽的學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)后，繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖表（不完

整）：

“掌握新技術(shù)，走進(jìn)數(shù)時(shí)代”信息技術(shù)應(yīng)用大賽成績(jī)頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表

組別成績(jī)X（分）人數(shù)

A60<x<701()

B70<x<80m

C80<x<9016

D90<x<1004

“掌握新技術(shù)，走進(jìn)新時(shí)代”信息

技術(shù)應(yīng)用大賽成績(jī)扇形統(tǒng)計(jì)圖

請(qǐng)觀察上面的圖表，解答下列問題：

（D統(tǒng)計(jì)表中加=；統(tǒng)計(jì)圖中〃=,O組的圓心角是

度.

（2）。組的4名學(xué)生中，有2名男生和2名女生.從。組隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加5G體

驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)你畫出樹狀圖或用列表法求恰好1名男生和1名女生被抽取參加5G體驗(yàn)活

動(dòng)的概率.

2

【答案】（1）20,32,28.8：（2）-

【分析】

（1）由A組的人數(shù)除以所占百分比求出該校八年級(jí)參加競(jìng)賽的學(xué)生人數(shù)，即可解決問

題;

(2)畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，恰好1名男生和1名女生被抽取參加5G體

驗(yàn)活動(dòng)的結(jié)果有8種，再由概率公式求解即可.

【詳解】

解：(1)該校八年級(jí)參加競(jìng)賽的學(xué)生人數(shù)為：10+20%=50(人)，

4

A/n=50-l0-16-4=20,〃％=16+50xl00%=32%,。組的圓心角為：360°x—=28.8°,

n=32,

故答案為：20,32,28.8；

(2)畫樹狀圖如下：

男男女女

/I\/T\/T\

男女女男女女男男女男男女

共有12種等可能的結(jié)果，恰好1名男生和1名女生被抽取參加5G體驗(yàn)活動(dòng)的結(jié)果有8

種，

恰好1名男生和1名女生被抽取參加5G體驗(yàn)活動(dòng)的概率為%g.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的

結(jié)果，適合于兩步完成的事件：樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注

意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn).用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之

比.也考查了頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖.

21.(本題10分)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(〃?,〃)是某函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，作該函

數(shù)圖象中自變量大于m的部分關(guān)于直線E”的軸對(duì)稱圖形，與原函數(shù)圖象中自變量大于

或等于膽的部分共同構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)的圖象，則這個(gè)新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(見，。的

“派生函數(shù)”.

例如：圖①是函數(shù)y=x+i的圖象，則它關(guān)于點(diǎn)(0,1)的“派生函數(shù)”的圖象如圖②所示，

x+l(x>0)

且它的“派生函數(shù)”的詳解式為y=

-x+l(x<0)

y

圖③

(1)直接寫出函數(shù)y=x+i關(guān)于點(diǎn)(1,2)的，，派生函數(shù)，，的詳解式.

(2)請(qǐng)?jiān)趫D③的平面坐標(biāo)系(單位長(zhǎng)度為1)中畫出函數(shù)y=3關(guān)于點(diǎn)(-1,-3)的“派生

X

函數(shù)”的圖象，并求出圖象上到x軸距離為6的所有點(diǎn)的坐標(biāo).

(3)點(diǎn)M是函數(shù)G:y=-/+4x_3的圖象上的一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為如G'是函

數(shù)G關(guān)于點(diǎn)M的“派生函數(shù)”.

①當(dāng)，"=1時(shí)，若函數(shù)值了'的范圍是-14y