2021-2022學(xué)年北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊1勾股定理的應(yīng)用

勾股定理的應(yīng)用

一、單選題

1.如圖，AC1BC,一架云梯AB長為25米，頂端A靠在墻AC上，此時云梯底端B與墻

角C距離為7米，云梯滑動后停在的位置上，測得AE長為4米，則云梯底端B在水平方

C.8米D.10米

2.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的重要著作，其中有一道題，原文是：今有戶不知高、廣，從

之不出二尺，斜之適出，不知其高、寬，有竿，竿比門寬長出4尺；豎放；斜放，竿與門對角

線恰好相等問.問門高、寬、對角線長分別是多少？若設(shè)門對角線長為x尺，則可列方程()

A.心=(x-4)2+(x-2)2B.2^=(x-4)2+(x-2)2

C.^—42+(%-2)2D./=(x-4)2+22

3.如圖，一艘輪船在A處測的燈塔C在北偏西15。的方向上，該輪船又從A處向正東方向行

駛20海里到達(dá)3處，測的燈塔C在北偏西60。的方向上，則輪船在B處時與燈塔C之間的距

離(即8C的長)為()

A.40月海里B.(20百+10)海里

c.40海里D.(IOG+IO)海里

4.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為9、3和1,A和B是這個臺階兩個

相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物.則這只螞蟻沿著臺階面爬行的最短

路程是()

A.6B.8C.9D.15

5.一個門框的尺寸如圖所示，下列長x寬型號（單位：m）的長方形薄木板能從門框內(nèi)通過的

是（）

A.2.9x2.2B.2.8x23C.2.7x2.4D.2.6x2.5

6.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個“折竹抵地”問題：“今有竹高丈，末折

抵地，問折者高兒何？”意思是：一根竹子，原來高一丈（一丈為十尺），蟲傷有病，一陣風(fēng)將

竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子根部三尺遠(yuǎn)，問：原處還有多高的竹子？（）

A.4尺B.4.55尺C.5尺D.5.55尺

7.一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，這時它離出發(fā)點有（）千米.

A.26B.18C.13D.32

8.如圖所示，將一根長為24。"的筷子，置于底面直徑為5a”，高為的圓柱形水杯中，

設(shè)筷子露在外面的長為hem,則h的取值范圍是（）

2

A.O</?<11B.ll</z<12C.h>\2D.0</z<12

9.如圖，已知ABCD是長方形紙片，CD=3,在CD上存在一點E,沿直線AE將AAE。折

疊，D恰好落在BC邊上的點F處，且SA"8=6，則的面積是（）.

252

A.-□B.—D.

363

10.用梯子登上20m高的建筑物，為了安全要使梯子的底面距離建筑物15m,至少需要（）

m長的梯子.

A.20B.25C.15D.5

11.如圖，原來從A村到8村，需要沿路4—（7-?8（/。=9（）。）繞過兩地間的一片湖，在A,

B間建好橋后，就可直接從A村到B村.已知AC=5km,BC=12km,那么，建好橋后從

A村到B村比原來減少的路程為（）

A.2kmB.4kmC.10kmD.14km

12.如圖所示，在長方形ABC。中，AD=6,AB=10,若將長方形A3CD沿DE折疊，使

點C落在A8邊上的點F處，則線段CE的長為（）

3

二、填空題

13.如圖，客船以24海里/時的速度從港口A向東北方向航行，貨船以18海里/時的速度同時

從港口A向東南方向航行，則1小時后兩船相距海里.

14.如圖，小明想要測量學(xué)校旗桿AB的高度，他發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，從而

測得繩子比旗桿長。米，小明將這根繩子拉直，繩子的末端落在地面的點C處，點C距離旗桿

底部6米（人＞。），則旗桿A3的高度為米（用含a,b的代數(shù)式表示）.

15.如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為17米,

幾分鐘后船到達(dá)點D的位置，此時繩子CD的長為10米，問船向岸邊移動了一米.

4

16.《九章算術(shù)》中的“引葭赴岸”問題：今有池方一丈，葭（一種蘆葦類植物）生其中央，出水

一尺.引葭赴岸，適與岸齊，水深幾何？其大意是：有一個邊長為10尺的正方形池塘，一棵

蘆葦生長在它的正中央，高出水面1尺.如果把該蘆葦拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳壳『门龅桨?/p>

邊（如圖所示），則水深_______尺.

17.如圖，一只螞蟻沿長方體的表面從頂點A爬到另一頂點M,已知A8=A￡>=2,BF=3.這

只螞蟻爬行的最短距離

18.如圖，在四邊形A8C。中，AD=2y/2,AB=2幣，BC=10,C￡>=8,/BAT>=90°,

那么四邊形ABCD的面積是

B

三、解答題

19.如圖是一個長方形的大門，小強拿著一根竹竿要通過大門.他把竹竿豎放，發(fā)現(xiàn)竹竿比大

門高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大門的對角線的長.已知大門寬4尺，請求出竹

5

竿的長.

20.如圖，A村和B村在河岸CD的同側(cè)，它們到河岸CD的距離AC,BD分別為1千米和3

千米，又知道。的長為3千米，現(xiàn)要在河岸上建一水廠向兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的

工程費用為每千米20000元.

（1）請在上選取水廠的位置，使鋪設(shè)水管的費用最??；

（2）求鋪設(shè)水管的最省總費用.

_____□______________k

CD

21.如圖是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：AM=4米，AB=8

米，ZMAD=45°,NMBC=30。，求警示牌的高CO（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：血?、?，

斤1.73）.

____C

6

22.《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閘（讀kiin,門檻的意思）一

尺，不合二寸，問門廣幾何?題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門,

雙門間隙CD的距離為2寸，點。和點。距離門檻A3都為1尺（1尺=10寸），則AB的長是

圖1

23.一艘輪船從A港向南偏西48。方向航行100km到達(dá)B島，再從B島沿BM方向航行125km

到達(dá)C島，A港到航線BM的最短距離是60km.

（1）若輪船速度為25km/小時，求輪船從C島沿CA返回A港所需的時間.

（2）C島在A港的什么方向？

7

參考答案

1.c

解：在直角AABC中，已知43=25米，BC=7米，

AC=y/AB'-BC2=也52-72=24米，

在直角ACDE中，已知AC=CE+E4=24米，￡>E=AB=25米，A￡=4米,

.?.CE=AC-AE=20米，

:.CD=ylDE2-CE2=1252-2()2=15米，

.?.8￡>=15-7=8米

故云梯底端5在水平方向滑動了8米，

故選：C.

2.A

解：根據(jù)勾股定理可得：

x2=(x-4)2+(x-2)2,

故選：A.

3.D

解：過A作AOL8C于。，如圖所示：

在RtZVLBD中，ZAB￡>=30°,A3=20海里，

AO=gAB=10（海里），BD=j3AD=^-AB=10y/3（海里）,

,/ZABC=30°,NBAC=90°+15°=105°,

NC=180?！?05?！?0°=45°,

二AACZ）是等腰直角三角形，

，8=45=10海里，

BC=BO+CD=（IOG+IO）海里，

故選：D.

1

4.D

解：如圖，將臺階展開,

因為AC=3x3+lx3=12,BC=9,

所以AB2=ACQ+BC2=225,

所以AB=15,

所以螞蟻爬行的最短線路為15.

故選：D.

5.A

解：門框的對角線長為JF+2?=6米.

,??布a2.236米.

,只有A選項的薄木板的寬小于2.236,即只有A選項的薄木板可以通過.

故選：A.

6.B

解：設(shè)竹子折斷處離地面X尺，則斜邊為(10-X)尺，

根據(jù)勾股定理得：X2+32=(10-X)2,

解得：x=4.55.

所以，原處還有4.55尺高的竹子.

故選：B.

7.A

解：如圖，根據(jù)題意得：是直角三角形，

2

BA

C

VZB=90°,AB=24km,BC=10km,

根據(jù)勾股定理得AC2=AB-+BC\

/.AC2=242+102,

；.AC=26km.

故選：A.

8.B

解：當(dāng)筷子與杯底垂直時力最大，力最大=24-12=12cvn.

當(dāng)筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時h最小，

如圖所示：

此時，A8=^AC2+BC2=7122+52=13c，〃,

/./?=24-13=11cm.

:?h的取值范圍是Hc7n</i<12c7n.

故選：B.

9.B

解：ABCD是長方形紙片，

AAB=CD=3,

,**SAAFB=5A8.BF,

：.6=-x3-BF,

2

；.BF=4,

3

.\AF=7AB2+BF2=5-

；.AF=AD=BC=5,CF=1,

設(shè)DE為x,EF=DE=x,EC=3-x,

x2=(3-x)2+1,

解得，x=-,

3

?c1Ancn_1<5_25

??oAArn_=—A.D*ED——x5x—=—,

M￡D2236

故選:B.

10.B

解：如圖所示：

VAC=20m,BC=15m,

二在RsABC中，AB=J15?+2()2=25m,

故選：B.

11.B

解：由題意可得：AB=y/AC2+BC2=V52+122=13(fon)

則打通隧道后從A村到B村比原來減少的路程為：5+12-13=4(km).

故選:B.

12.C

解：如圖所示：

設(shè)CE長為x,CE=EF—x,BE=6—x,

?.FDCEADFE(翻折)，

DC=DF=10,AD=6,

根據(jù)勾股定理可得：

AF2+AD2=DF2，

4

：.AF=8,

:.BF=AB-AF=X0-S=2,

???在RsEBF中，

BF2^EF2-BE2<

4=xz-(6x)2,

4=—36+12x—>

12x=40,

x=—40=—10.

123

.?.CE長為W.

3

010c

AFB

故選C.

13.30

解：：客船以24海里/時的速度從港口A向東北方向航行，

貨船以18海里/時的速度同時從港口A向東南方向航行，

，客船與貨船方向的夾角為90°,

且客船行駛1小時的距離為24海里，貨船行駛1小時的距離為18海里,

故兩船1小時后的距離為=也不+18?=，^面=30海里，

故答案為：30.

14.Z

2a

解：設(shè)米，則有AC=(x+〃)米，根據(jù)勾股定理得：

x2+Z?2=(%+”,

2a

5

h1—

故答案為￡__匕“2.

la

15.9.

解：在RtZkABC中：

VZCAB=90°,3c=17米，AC=8米，

，AB=7BC2-AC2=7172-82=15（米），

VCD=10（米），

?,?^0=7CD2-AC2=V100-64=6（米），

：.BD=AB-AD=15-6=9（米），

答：船向岸邊移動了9米，

故答案為：9.

16.12

解：依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長A8=A￡=x尺，則水深A(yù)C=（x-1）尺,

因為8七=10尺，所以8c=5尺

在R/AAB'C中，52+（廣1）2=后

解得：x=13,

即水深12尺，

故答案為：12

17.5

解：如圖1,將長方體沿C8展開,

6

AM=yl(AB+BFy+MF2='(2+3.+2?=揚,

如圖2,將長方體沿ND展開，

AM=y](AD+DC)2+MC2=7(2+2)2+32=5，

如圖3,將長方體沿OC展開，

AM=yl（BC+CMf+AB2=7（2+3）2+22=729，

比較以上三種情況，一只螞蟻從頂點A爬到頂點M,那么這只螞蟻爬行的最短距離是5.

故答案為：5.

18.2714+24

解：連結(jié)BD,

,/NBM>=9()°,

7

：?BD=yjAD2^AB2

?AD-2>/2，AB=，

ABD=6,

VBD2=36,CD2=64,BC2=100,

BD2+CD2=BC2,

???ZBDC=90°,

SAABD=-X2V2X2A/7=2V14,

2

SABDC=-x6x8—24,

2

四邊形ABCD的面積是=SAABD+SABDC=2-\/14+24

故答案為：2舊+24.

19.8.5尺

解：設(shè)門高為X尺，則竹竿長為（X+1）尺，

根據(jù)勾股定理可得：

x2+42=（x+1）2,即工2+16=/+2^+1,

解得：x=7.5,

，門高7.5尺，竹竿高=75+1=8.5（尺）.

故答案為8.5尺.

20.（1）見解析；（2）100000元

解：（1）延長AC到b，使AC=CF,連接BE,交CD于E,

8

則在8上選擇水廠位置是E時，使鋪設(shè)管道的費用最省;

(2)過B作&V_LC4,交C4的延長線于N,

QAC±C￡>,BDLCD,

ZBNC=ANCD=ABDC=90°,

，四邊形NCDB是矩形，

:.BN=CD=3千米,BD=CN=3千米,

?.?AC=CF=1千米，

，八歲=3千米+1千米=4千米，

在RtZ^BNF中，由勾股定理得：BF=\lBN2+NF2=732+42=5（千米）,

QAC1CD,AC=CF,

:.AE=FE，

:.AE+BE=EF+BE=BF=5^-^.,

，鋪設(shè)水管的最最省總費用是：20000元/千米x5千