第01課集合（學(xué)案）

第1課集合2024高考一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)逐點(diǎn)突破經(jīng)典學(xué)案考試要求：1.了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系.2.理解集合間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集.3.理解兩個(gè)集合的并集、交集與補(bǔ)集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡單集合的并集、交集與補(bǔ)集.4.能使用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系與基本運(yùn)算．一、【考點(diǎn)逐點(diǎn)突破】【考點(diǎn)1】集合的基本概念：一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)【典例】已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為()A.5 B.6C.10 【解析】因?yàn)閤∈A，y∈A，x－y∈A，所以分以下5種情況：①x－y＝1，有四個(gè)，(2，1)，(3，2)，(4，3)，(1，0)；②x－y＝2，有三個(gè)，(3，1)，(4，2)，(2，0)；③x－y＝3，有兩個(gè)，(4，1)，(3，0)；④x－y＝4，有一個(gè)，(4，0)；⑤x－y＝0，有五個(gè)，(0，0)，(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4).綜上，B中所含元素的個(gè)數(shù)為15.故選D.【反思】研究集合問題時(shí)，首先要明確構(gòu)成集合的元素是數(shù)集、點(diǎn)集，還是其他集合；然后再看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件，從而準(zhǔn)確把握集合的含義.【考點(diǎn)2】集合中元素的三個(gè)特性之確定性【典例】下列對(duì)象能構(gòu)成集合的是()A．高一年級(jí)全體較胖的學(xué)生B．sin30°，sin45°，cos60°，1C．全體很大的自然數(shù)D．平面內(nèi)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)【解析】因?yàn)椤拜^胖”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，所以不滿足集合中元素的確定性，故A項(xiàng)錯(cuò)誤.sin30°＝cos60°＝eq\f(1,2)，不滿足集合中元素的互異性，故B項(xiàng)錯(cuò)誤.因?yàn)椤昂艽蟮淖匀粩?shù)”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，所以不滿足集合中元素的確定性，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.平面內(nèi)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)，可知這個(gè)點(diǎn)就是△ABC外接圓的圓心，滿足集合的定義.故D項(xiàng)正確.故選D.【反思】判斷指定的一組對(duì)象能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵是看這組對(duì)象是否滿足集合中元素的“確定性”，即能否找到一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，使得對(duì)于任何一個(gè)對(duì)象，都能確定它是不是給定集合的元素.【考點(diǎn)3】集合中元素的三個(gè)特性之互異性【典例】若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，則實(shí)數(shù)a＝________.【解析】①當(dāng)a－3＝－3時(shí)，a＝0，此時(shí)A＝{－3，－1，－4}，②當(dāng)2a－1＝－3時(shí)，a＝－1，此時(shí)A＝{－4，－3，－3}舍去，③當(dāng)a2－4＝－3時(shí)，a＝±1，由②可知a＝－1舍去，則當(dāng)a＝1時(shí)，A＝{－2，1，－3}，綜上，a＝0或1.【反思】利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.【考點(diǎn)4】集合中元素的三個(gè)特性之無序性【典例】集合A=a1,a2【解析】錯(cuò)誤【反思】集合中的元素是沒有位置關(guān)系的，只要是元素相同，就是同一個(gè)集合.【考點(diǎn)5】元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，表示符號(hào)分別為∈和?.【典例】(多選)若集合A＝{x∈N|2x＋10>3x}，則下列結(jié)論正確的是()A．2eq\r(2)?A B．8?AC．{4}∈A D．{0}?A【解析】元素與集合之間是“屬于”關(guān)系，集合與集合之間是“包含”關(guān)系.故選AD.【反思】判斷元素與集合的關(guān)系的兩種方法(1)直接法：如果元素是直接給出的，那么只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可，此時(shí)應(yīng)明確集合是由哪些元素構(gòu)成的.(2)推理法：對(duì)于一些元素沒有直接給出的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時(shí)應(yīng)明確已知集合中的元素具有什么特征.【考點(diǎn)6】集合的三種表示方法之列舉法【典例】用列舉法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}為()A．{1,1} B．{1}C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}【解析】方程的根為x=1，故選B.【反思】用列舉法表示集合時(shí)，首先要注意元素是數(shù)、點(diǎn)，還是其他的類型，即先定性.【考點(diǎn)7】集合的三種表示方法之描述法【典例】用描述法表示集合：被5除余1的正整數(shù)組成的集合【解析】根據(jù)被除數(shù)＝商×除數(shù)＋余數(shù)，故此集合可表示為{x|x＝5n＋1，n∈N}.【反思】描述法表示集合的步驟(1)確定集合中元素的特征.(2)給出其滿足的性質(zhì).(3)根據(jù)描述法的形式寫出其滿足的集合.【考點(diǎn)8】常用數(shù)集及記法名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法NN*或N＋ZQR【典例】已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,x－2)∈Z))))，則集合A中的元素個(gè)數(shù)為()A．3 B．4C．5 D．6【解析】∵eq\f(4,x－2)∈Z，∴x－2的取值有－4，－2，－1,1,2,4，∴x的值分別為－2,0,1,3,4,6，又x∈N，故x的值為0,1,3,4,6.故集合A中有5個(gè)元素．故選C.【反思】在處理集合問題時(shí)首先要弄清楚集合中研究的對(duì)象以及記準(zhǔn)確特點(diǎn)的集合符號(hào).【考點(diǎn)9】子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集.記作A?B(或B?A).【典例】已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，則滿足條件A?C?B的集合C的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4【解析】由題意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，又因?yàn)锳?C?B，所以C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}．故選D.【反思】判斷集合關(guān)系的方法(1)觀察法：一一列舉觀察.(2)元素特征法：首先確定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關(guān)系.(3)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖.【考點(diǎn)10】真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作A≠?B(或B【典例】設(shè)集合P＝{y|y＝x2＋1}，M＝{x|y＝x2＋1}，則集合M與集合P的關(guān)系是()A.M＝P B.P∈MC.M≠?P D.【解析】因?yàn)镻＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，M＝{x|y＝x2＋1}＝R，所以P≠?故選D.【反思】準(zhǔn)確理解真子集的含義【考點(diǎn)11】相等：若A?B，且B?A，則A＝B.【典例】已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|≤3}，集合C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(x－4,x＋5)≤0))，則集合A，B，C的關(guān)系正確的是()A.B?A B.A＝BC.C?B D.A?C【解析】因?yàn)閤2－2x－3≤0，所以－1≤x≤3，則A＝[－1，3]；又|x－1|≤3，即－3≤x－1≤3，所以－2≤x≤4，則B＝[－2，4]；因?yàn)閑q\f(x－4,x＋5)≤0，所以－5＜x≤4，則C＝(－5，4]，所以A?B，A?C，B?C.故選D.【反思】集合相等要求集合中的元素相同即可【考點(diǎn)12】空集的性質(zhì)：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.【典例】已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【解析】∵B?A，①當(dāng)B＝?時(shí)，2m－1>m＋1，解得m>2；②當(dāng)B≠?時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≤m＋1，,2m－1≥－3，,m＋1≤4，))解得－1≤m≤2.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[－1，＋∞)．【反思】空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問題時(shí)，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解．【考點(diǎn)13】集合的并集：①符號(hào)表示：A∪B；②圖形表示：；③集合表示：{x|x∈A，或x∈B}【典例】已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，則如圖所示的陰影部分表示的集合是()A．(－2，1) B．[－1，0]∪[1，2)C．(－2，－1)∪[0，1] D．[0，1]【解析】因?yàn)榧螦＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2，1]，A∩B＝[－1，0)，所以陰影部分表示的集合為?A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0，1]，故選C．【反思】求集合并集的2種基本方法(1)定義法：若集合是用列舉法表示的，可以直接利用并集的定義求解.(2)數(shù)形結(jié)合法：若集合是用描述法表示的由實(shí)數(shù)組成的數(shù)集，則可以借助數(shù)軸分析法求解.【考點(diǎn)14】集合的交集：①符號(hào)表示：A∩B；②圖形表示：；③集合表示：{x|x∈A，且x∈B}【典例】已知集合A＝{1，a}，B＝{x|log2x<1}，且A∩B有2個(gè)子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(－∞，0]B．(0,1)∪(1,2]C．[2，＋∞)D．(－∞，0]∪[2，＋∞)【解析】由題意得，B＝{x|log2x<1}＝{x|0<x<2}，∵A∩B有2個(gè)子集，∴A∩B中的元素個(gè)數(shù)為1；∵1∈(A∩B)，∴a?(A∩B)，即a?B，∴a≤0或a≥2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，0]∪[2，＋∞)．故選D.【反思】求集合A∩B的常見類型(1)若A，B的元素是方程的根，則應(yīng)先解方程求出方程的根后，再求兩集合的交集.(2)若A，B的元素是有序數(shù)對(duì)，則A∩B是指兩個(gè)方程組成的方程組的解集，交集是點(diǎn)集.(3)若A，B是無限數(shù)集，可以利用數(shù)軸來求解，但要注意利用數(shù)軸表示不等式時(shí)，含有端點(diǎn)的值用實(shí)心點(diǎn)表示，不含有端點(diǎn)的值用空心圈表示.【考點(diǎn)15】集合的補(bǔ)集：①符號(hào)表示：若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為?UA；②圖形表示：；③集合表示：{x|x∈U，且x?A}【典例】已知全集U＝{x|－3<x<3}，集合A＝{x|－2<x≤1}，則?UA＝()A.(－2，1] B.(－3，－2)∪[1，3)C.[－2，1) D.(－3，－2]∪(1，3)【解析】因?yàn)槿疷＝(－3，3)，A＝(－2，1]，所以?UA＝(－3，－2]∪(1，3).故選D.【反思】求集合補(bǔ)集的兩種方法(1)當(dāng)集合用列舉法表示時(shí)，直接用定義或借助Venn圖求解.(2)當(dāng)集合是用描述法表示的連續(xù)數(shù)集時(shí)，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解.【考點(diǎn)16】子集個(gè)數(shù)：若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè)，非空子集有2n－1個(gè)，非空真子集有2n－2個(gè).【典例】已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，則集合A∩B的子集個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．4 D．8【解析】因?yàn)锳＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，所以B＝{－1，1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}．所以集合A∩B的子集個(gè)數(shù)為22＝4.故選C．【反思】會(huì)求子集與真子集的個(gè)數(shù)，并會(huì)用排列組合知識(shí)解釋.【考點(diǎn)17】A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.【典例】設(shè)集合M＝{x|－3＜x＜7}，N＝{x|2－t＜x＜2t＋1，t∈R}.若M∪N＝M，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為________.【解析】由M∪N＝M，得N?M.因?yàn)榧螹＝{x|－3＜x＜7}，N＝{x|2－t＜x＜2t＋1，t∈R}，當(dāng)N＝?時(shí)，有2－t≥2t＋1，解得t≤eq\f(1,3)；當(dāng)N≠?時(shí)，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2t＋1＞2－t，,2t＋1≤7，,2－t≥－3，))解得eq\f(1,3)＜t≤3.綜上，實(shí)數(shù)t的取值范圍為(－∞，3].【反思】準(zhǔn)確理解兩個(gè)集合之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)18】利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值(范圍)【典例】已知集合A＝{x|3x2－2x－1≤0}，B＝{x|2a<x<a＋3}，若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)<－eq\f(10,3)或a>eq\f(1,2)B．a(chǎn)≤－eq\f(10,3)或a≥eq\f(1,2)C．a(chǎn)<－eq\f(1,6)或a>2D．a(chǎn)≤－eq\f(1,6)或a≥2【解析】A＝{x|3x2－2x－1≤0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤1))))，①B＝?，2a≥a＋3?a≥3，符合題意；②B≠?，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<3，,a＋3≤－\f(1,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<3，,2a≥1，))解得a≤－eq\f(10,3)或eq\f(1,2)≤a<3.∴a的取值范圍是a≤－eq\f(10,3)或a≥eq\f(1,2).故選B.【反思】對(duì)于集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；如果集合中的元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況．【考點(diǎn)19】Venn圖的應(yīng)用【典例】對(duì)班級(jí)40名學(xué)生調(diào)查對(duì)A，B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成，另外，對(duì)A，B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對(duì)A，B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人，問對(duì)A，B都贊成的學(xué)生有___________人．【解析】贊成A的人數(shù)為40×eq\f(3,5)＝24，贊成B的人數(shù)為24＋3＝27，設(shè)對(duì)A，B都贊成的學(xué)生有x人，則eq\f(1,3)x＋1＋27－x＋x＋24－x＝40，解得x＝18.【反思】在部分有限集中，我們經(jīng)常遇到元素個(gè)數(shù)的問題，常用Venn圖表示兩個(gè)集合的交、并、補(bǔ)集，借助于Venn圖解決集合問題，直觀簡捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的個(gè)數(shù)，即Card(A)表示有限集A的元素個(gè)數(shù).【考點(diǎn)20】集合新定義問題【典例】若集合A1，A2滿足A1∪A2＝A，則稱(A1，A2)為集合A的一種分拆，并規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)A1＝A2時(shí)，(A1，A2)與(A2，A1)是集合A的同一種分拆．若集合A有三個(gè)元素，則集合A的不同分拆種數(shù)是________．【解析】不妨令A(yù)＝{1,2,3}，∵A1∪A2＝A，當(dāng)A1＝?時(shí)，A2＝{1,2,3}，當(dāng)A1＝{1}時(shí)，A2可為{2,3}，{1,2,3}共2種，同理A1＝{2}，{3}時(shí)，A2各有2種，當(dāng)A1＝{1,2}時(shí)，A2可為{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共4種，同理A1＝{1,3}，{2,3}時(shí)，A2各有4種，當(dāng)A1＝{1,2,3}時(shí)，A2可為A1的子集，共8種，故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27(種)不同的分拆．【反思】解決新定義問題時(shí)，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義，結(jié)合題目所給定義和要求進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆．二、【考點(diǎn)教材拓廣】【典例1】【教材第6頁第5題】集合論是德國數(shù)學(xué)家康托爾（18451918）于19世紀(jì)末創(chuàng)立的.當(dāng)時(shí),康托爾在解決涉及無限量研究的數(shù)學(xué)問題時(shí),越過“數(shù)集”限制,提出了一般性的“集合”概念.關(guān)于集合論,希爾伯特贊譽(yù)其為“數(shù)學(xué)思想的驚人的產(chǎn)物,在純粹理性的范疇中人類活動(dòng)的最美的表現(xiàn)之一”,羅素描述其為“可能是這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最偉大的工作”.請(qǐng)你查閱相關(guān)資料,用簡短的報(bào)告闡述你對(duì)這些評(píng)價(jià)的認(rèn)識(shí).【解析】略【典例2】【教材第9頁第5題】（1）設(shè)a,b∈R,P={1,（2）已知集合A={x∣0<x<a【解析】(1)∵P=∵B?A,

(2)∴利用數(shù)軸分析法(如圖),可知【典例3】【教材14頁第6題】已知全集U=A∪B={【解析】U={0,1,2,3,4,5【典例4】【教材35頁第11題】學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí),高一(1)班共有28名同學(xué)參加比賽,有15人參加游泳比賽,有8人參加田徑比賽,有14人參加球類比賽,同時(shí)參加游泳比賽和田徑比賽的有3人,同時(shí)參加游泳比賽和球類比賽的有3人,沒有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽.同時(shí)參加田徑和球類比賽的有多少人?只參加游泳一項(xiàng)比賽的有多少人?【解析】設(shè)只參加田徑一項(xiàng)比賽的有x人.根據(jù)題意作出如圖所示的Venn圖.

由Venn圖知只參加游泳一項(xiàng)比賽的有9人,又由題意知9+3+3+x+5-x+三、【考點(diǎn)真題回歸】【典例1】【2022新高考Ⅰ】若集合M＝{x|x＜4}，N＝{x|3x≥1}，則M∩N＝（）A．{x|0≤x＜2} B．{x|13≤x＜2} C．{x|3≤x＜16} D．{x|13≤x【解析】由x＜4，得0≤x＜16，∴M＝{x|x＜4}＝{x|0≤x＜16}，由3x≥1，得x≥13，∴N＝{x|3x≥1}＝{x|xx≥13∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|xx≥13}＝{x|13≤x＜故選：D．【典例2】【2022乙卷】設(shè)全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M滿足?UM＝{1，3}，則（）A．2∈M B．3∈M C．4?M D．5?M【解析】因?yàn)槿疷＝{1，2，3，4，5}，?UM＝{1，3}，所以M＝{2，4，5}，所以2∈M，3?M，4∈M，5∈M．故選：A．【典例3】【2022新高考Ⅱ】已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤