等差數(shù)列（精講）（原卷版）

6.1等差數(shù)列（精講）一．等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示．二．等差中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)，由等差數(shù)列的定義知2A＝a＋b．①a，A，b是等差數(shù)列的充要條件是2A＝a＋b．②數(shù)列{an}是等差數(shù)列?2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．③若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an．三．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d；an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)四．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1.設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，其前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)或Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d．2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n?數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列{an}中，若a1>0，d<0，則滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0，則滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值Sm．一．等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的通性方法1.等差數(shù)列運(yùn)算的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d，然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解．2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)。二．等差數(shù)列的判定與證明的常用方法1.定義法：an＋1－an＝d(d是常數(shù)，n∈N*)或an－an－1＝d(d是常數(shù)，n∈N*，n≥2)?{an}為等差數(shù)列．2.等差中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列．3.通項(xiàng)公式法：an＝an＋b(a，b是常數(shù)，n∈N*)?{an}為等差數(shù)列．4.前n項(xiàng)和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))?{an}為等差數(shù)列．三．在等差數(shù)列{an}中前n項(xiàng)和性質(zhì)1.Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，構(gòu)成等差數(shù)列；2.S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；3.S2n－1＝(2n－1)an．5.若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n，則S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)．6.若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1，則S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1)．四．求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn及最值1，二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)最值的方法(配方法)求其前n項(xiàng)和的最值，但要注意n∈N*.2.圖象法：利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性來(lái)確定n的值，使Sn取得最值．3.項(xiàng)的符號(hào)法(鄰項(xiàng)變號(hào)法)：①當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；②當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)d>0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列．考法一等差數(shù)列基本量的計(jì)算【例11】（2023·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（

）A．54 B．71 C．80 D．81【例12】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和是，則（

）A． B．C． D．【例13】（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．15【一隅三反】1．（2023·四川雅安·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，則（

）A．16 B．25 C．29 D．322．（2023春·廣東佛山）（多選）若為等差數(shù)列，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．－11是數(shù)列中的項(xiàng)C．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和 D．?dāng)?shù)列的前7項(xiàng)和最大3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且，，則下列結(jié)論中正確的有（）A．?dāng)?shù)列的公差為 B．C．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列 D．4．（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列和均為等差數(shù)列，且，則（

）A． B． C． D．考法二等差數(shù)列的判定與證明【例21】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足．證明：是等差數(shù)列，并求出數(shù)的通項(xiàng)公式．【例22】（2023·北京）已知數(shù)列滿足，記．求證：數(shù)列是等差數(shù)列．【一隅三反】1．（2023·安徽）若數(shù)列為等差數(shù)列，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．?dāng)?shù)列，，，…，…為等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列，，，…，，…為等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列2．（2023·云南）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)證明:數(shù)列為等差數(shù)列.3．（2023·廣東）已知數(shù)列{}滿足．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式．4．（2023福建）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，求證：(1)數(shù)列為等差數(shù)列；(2)數(shù)列中任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等比數(shù)列.考法三等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)【例31】（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【例32】（2023·湖北）等差數(shù)列中，若，則的前15項(xiàng)和為（

）A．1 B．8 C．15 D．30【一隅三反】1．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．82．（2023·重慶·校聯(lián)考三模）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，若，，則（

）A． B． C． D．3．（2023·廣東）設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則（

）A．9 B．8 C．7 D．64．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）用表示等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則m的值為_(kāi)_____．考法四等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)【例41】（2023·海南）若兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和滿足，則（

）A． B． C． D．【例42】（2023·云南）已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，且=，則的值為（

）A． B． C． D．【例43】（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（

）A．9 B． C．12 D．【例44】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．【例45】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝﹣2018，，則S2020等于（

）A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040【一隅三反】1．（2023·山西）設(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，，若對(duì)任意自然數(shù)n都有，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023·山東）設(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，.若對(duì)于任意的正整數(shù)n都有，則（

）A． B． C． D．3．（2023·河北）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．0 B． C． D．4．（2023·海南·校考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．5．（2023春·河南洛陽(yáng)·高三新安縣第一高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若且，則(

)A． B．C． D．考法五等差數(shù)列的最值【例51】（2023·甘肅）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知是方程的兩根，則能使成立的n的最大值為（

）A．15 B．16 C．17 D．18【例52】（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？家荒＃┰O(shè)等差數(shù)列的公差為，共前項(xiàng)和為，已知，，則下列結(jié)論不正確的是（

）.A．， B．與均為的最大值C． D．【一隅三反】1．（2023·內(nèi)蒙古）已知等差數(shù)列（）的前n項(xiàng)和為，公差，，則使得的最大整數(shù)n為（

）A．9 B．10 C．17 D．182．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，那么當(dāng)時(shí)，的最大值為（

）A．10 B．11 C．20 D．213．（2023春·重慶·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則（

）A． B．的最小值為C． D．滿足的最大自然數(shù)的值為25考法六等差數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用【例61】（2023·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）《張丘建算經(jīng)》是我國(guó)南北朝時(shí)期的一部重要數(shù)學(xué)著作，書(shū)中系統(tǒng)地介紹了等差數(shù)列，同類結(jié)果在三百年后在印度才首次出現(xiàn)，卷中記載“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈”，其意思為：“現(xiàn)有一善于織布的女子，從第二天開(kāi)始，每天比前一天多織相同量的布，第一天織了5尺布，現(xiàn)在一個(gè)月（30天）共織390尺布”，假如該女子1號(hào)開(kāi)始織布，則這個(gè)月中旬（第11天到第20天）的織布量為（

）A．26 B．130 C． D．156【例62】（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國(guó)家境內(nèi)舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.某網(wǎng)站全程轉(zhuǎn)播了該次世界杯，為紀(jì)念本次世界杯，該網(wǎng)站舉辦了一針對(duì)本網(wǎng)站會(huì)員的獎(jiǎng)品派發(fā)活動(dòng)，派發(fā)規(guī)則如下：①對(duì)于會(huì)員編號(hào)能被2整除余1且被7整除余1的可以獲得精品足球一個(gè)；②對(duì)于不符合①中條件的可以獲得普通足球一個(gè).已知該網(wǎng)站的會(huì)員共有1456人（編號(hào)為1號(hào)到1456號(hào)，中間沒(méi)有空缺），則獲得精品足球的人數(shù)為（

）A．102 B．103 C．104 D．105【一隅三反】1．（2023·河南）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌若干塊扇面形石板構(gòu)成第1環(huán)，依次向外共砌27環(huán)，從第2環(huán)起，每環(huán)依次增加相同塊數(shù)的扇面形石板．已知最內(nèi)3環(huán)共有54塊扇面形石板，最外3環(huán)共有702塊扇面形石板，則圜丘壇共有扇面形石板（不含天心石）（

）A．3339塊 B．3402塊 C．3474塊 D．3699塊2．（2023·吉林）一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時(shí)期的實(shí)心塔群，共分十二階梯式平臺(tái)，自上而下一共12層，每層的塔數(shù)均不少于上一層的塔數(shù)，總計(jì)108座．已知其中10層的塔數(shù)成公差不為零的等差數(shù)列，剩下兩層的塔數(shù)之和為8，則第11層的塔數(shù)為（

）A．17 B．18 C．19 D．203．（2023·黑龍江）廣豐永和塔的前身為南潭古塔，建于明萬(wàn)歷年間，清道光二十五年（1845）重修.磚石結(jié)構(gòu)，塔高九層，沿