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PAGEPAGE3第十八講全面最小二乘法一、法向回歸一組測量數(shù)據(jù),欲擬和直線最小二乘法實行目標函數(shù)：它隱含了在測量中，是精確測量的,只有才測得不精準，而在實際測量中，,都是無法精準測量的，因此，采納法向回歸更有可能。點到直線的距離為故法向回歸的目標函數(shù)為將代入之，可得其中另一種推導(dǎo)方法：“"中，“－”對應(yīng)的E的最大值作為比較,最小二乘法給出7點測量擬合直線解：計算結(jié)果最小二乘法給出全面最小二乘法（法向回歸）給出測量數(shù)據(jù)誤差小，分布合理時，兩種方法效果格外接近。二、全面最小二乘法（TotallyLeastSquareMethod）當(dāng)方程成為沖突方程時,采納最小二乘法求解的觀點實際上認為b存在誤差,而A不存在誤差，故應(yīng)有，使得應(yīng)盡量小以使得不至于嚴重得破壞方程全面最小二乘法實行如下觀點解決沖突方程的問題，不僅b存在誤差,A也存在誤差，故，存在E和，使也應(yīng)該盡量小，以使得不至于嚴重偏離原方程記，則全面最小二乘解即求如下方程的非零解v，且v的最后重量不能為零,而其中應(yīng)滿意引理：設(shè),且存在奇異值分解，,其中。又設(shè)則首先來考慮F-范數(shù)。設(shè)分別為m階、n階酉矩陣。Q為階矩陣（上式不肯定是奇異值分解）。則（依據(jù)教材上的說法，正交相抵或酉相抵的矩陣與F范數(shù)相同）,又令，則對任意z矩陣而言，各之間完全獨立，則是可能等于零的。但是.故不行能為零。簡略論證可知時,最小下面僅考慮在實際應(yīng)用中非常常見的一種情況：，，即A是列滿秩的，也是列滿秩的。這樣，系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩不相等，方程不相容。定理1：設(shè)具有如下的奇異值分解則使方程具有非零解，且F范數(shù)最小的存在，并且證明：方程要有非零解，必須，故由引理知顯然滿意定理2：設(shè)為C的n-k+1重奇異值，且相應(yīng)的為的屬于重特征值的正交歸一特征向量，則使方程具有非零的解且F范數(shù)最小的為而方程的解則為，其中證：（1）顯然（2）（3)雖然， 定理3：在定理2的條件下，全面最小二乘解存在的充要條件為：向量不正交于。此時,，則最小二乘解為說明：（1)最小二乘解肯定存在，但全面最小二乘解不肯定（2）存在全面最小二乘解時，若為C的單重奇異值，全面最小二乘解唯一,否則，解不唯一例2.采納全面最小二乘法重新

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