可測(cè)函數(shù)的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)1

./補(bǔ)充:特征函數(shù)定義1設(shè)X是非空全集,,稱為集合A的特征函數(shù).顯然的充分必要條件是A=B.例如：取,,則特征函數(shù)如圖圖1-13-1特征函數(shù)定理1〔1；〔2；〔3.特別時(shí)；〔4；〔5；〔6；〔7設(shè)是任一集列,則；〔8存在,且當(dāng)極限存在時(shí),.證明僅證〔3,〔7.；〔3任意,.當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；同理；當(dāng)時(shí),有.〔7設(shè)是任一集列,則；〔7先證任意,存在使,故,從而.又由特征函數(shù)定義知,所以；當(dāng),存在自然數(shù)N,,故,,而,所以也有,故.再證任意時(shí),存在自然數(shù)N,,故,從而,而,所以；當(dāng)時(shí),.由下限集的定義知,存在無(wú)窮多個(gè),使于是,從而,所以,因此.第三章可測(cè)函數(shù)為了建立新的積分即Lebesgue積分,我們需要介紹一類比連續(xù)函數(shù)更為廣泛的重要函數(shù)——可測(cè)函數(shù),這類函數(shù)與連續(xù)函數(shù)有著密切的聯(lián)系.首先我們拓廣函數(shù)的概念,以下我們提到的函數(shù)都是指定義在中某點(diǎn)集上的實(shí)值函數(shù),且允許它取值±∞.另外,我們規(guī)定：<+∞>+〔+∞=+∞,〔-∞+〔-∞=-∞,對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,總有a+<+∞>=<+∞>+a=+∞,a+<-∞>=-∞,對(duì)于b>0,c<0,b·<±∞>=±∞,c·<±∞>=∞,<±∞>·〔±∞=+∞,〔+∞·〔-∞=〔-∞·〔+∞=-∞,0·〔±∞=〔±∞·0=0,對(duì),,對(duì),,但〔+∞-〔+∞,〔±∞+〔∞,〔-∞-〔-∞均無(wú)意義.§1可測(cè)函數(shù)的定義及簡(jiǎn)單性質(zhì)可測(cè)函數(shù)的定義方法很多,本節(jié)我們將采用從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的方法定義可測(cè)函數(shù),即先給出簡(jiǎn)單函數(shù),再用簡(jiǎn)單函數(shù)的極限定義非負(fù)可測(cè)函數(shù),然后通過(guò)分析非負(fù)可測(cè)函數(shù)的特性給出一般可測(cè)函數(shù)的定義.一、可測(cè)函數(shù)的定義及等價(jià)定義1．簡(jiǎn)單函數(shù)定義1設(shè)為一個(gè)可測(cè)集,為定義在上的實(shí)函數(shù),如果〔1=,其中為兩兩不交的可測(cè)集,〔2在每個(gè)上=,即=,亦即,其中表示的特征函數(shù),則稱為上的簡(jiǎn)單函數(shù).圖3-1-1簡(jiǎn)單函數(shù)顯然=及=均為其定義域上的簡(jiǎn)單函數(shù).圖3-1-2符號(hào)函數(shù)可以證明,可測(cè)集上的兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的和、差及乘積仍為上的簡(jiǎn)單函數(shù)；當(dāng)時(shí),也是上的簡(jiǎn)單函數(shù).另外,若是G上的函數(shù),是可測(cè)集上的簡(jiǎn)單函數(shù),且,則仍為上的簡(jiǎn)單函數(shù).例1證明可測(cè)集上的兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的和仍為上的簡(jiǎn)單函數(shù)證明設(shè)是上的簡(jiǎn)單函數(shù),下證也是上的簡(jiǎn)單函數(shù).事實(shí)上,設(shè),那么,其中則是個(gè)互不相交的可測(cè)集,且所以是上的簡(jiǎn)單函數(shù).定義2設(shè)為上的非負(fù)實(shí)函數(shù),集合{}稱為在上的下方圖形,記為,當(dāng)時(shí),簡(jiǎn)記為.圖3-1-3下方圖形例2如果是中可測(cè)子集的示性函數(shù)：則,這都是中的可測(cè)集.例3設(shè)為可測(cè)集上的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)