第03講等比數(shù)列

第03講等比數(shù)列1．等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示．定義的表達(dá)式：＝q(n∈N*，n≥2)或eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))．2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1·qn－1=am·qn－m．3．等比中項(xiàng)若a，b，c成等比數(shù)列，則b2=a·c．b是a與c的等比中項(xiàng).4．等比數(shù)列的下標(biāo)和公式若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq.5．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)q≠1))6．等比數(shù)列的常用性質(zhì)在等比數(shù)列{an}中，若Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比數(shù)列(n為偶數(shù)且q＝－1除外)．一．等比數(shù)列基本量的運(yùn)算例1．（1）已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.（2）等比數(shù)列是遞增數(shù)列，若，，則公比為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】由題意可知且，由已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解出的值，進(jìn)一步求出的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行驗(yàn)證，由此可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列是遞增數(shù)列，則數(shù)列的公比滿足且，所以，，即，解得或.若，則，解得，此時(shí)，此時(shí)數(shù)列為遞增數(shù)列，合乎題意；若，則，解得，此時(shí)，此時(shí)數(shù)列為遞增數(shù)列，合乎題意.綜上所述，或.故選：D.（3）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則A． B． C．3 D．9【答案】B【詳解】，所以選B.（4）已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則公比（

）A． B．C．或1 D．或1【答案】C【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q.利用基本量代換列方程組即可求出q.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q.因?yàn)椋?，所以，，即，，所以，解得?故選：C.（5）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，則eq\f(Sn,an)等于()A．2n－1 B．2－21－nC．2－2n－1 D．21－n－1【答案】B【詳解】方法一設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q＝eq\f(a6－a4,a5－a3)＝eq\f(24,12)＝2.由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12，得a1＝1.所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝2n－1，所以eq\f(Sn,an)＝eq\f(2n－1,2n－1)＝2－21－n.方法二設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3q2－a3＝12，

①,a4q2－a4＝24，②))eq\f(②,①)得eq\f(a4,a3)＝q＝2.將q＝2代入①，解得a3＝4.所以a1＝eq\f(a3,q2)＝1，下同方法一．（6）在等比數(shù)列中，，且為和的等差中項(xiàng)，則______．【答案】【分析】由已知可得出，解得或.經(jīng)檢驗(yàn)得，又由可得，即可得到的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出答案.【詳解】解：設(shè)公比為.由為和的等差中項(xiàng)可得，，即，因?yàn)?，所以，解得?當(dāng)時(shí)，，這與矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，，又，所以，所以.所以.故答案為：.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解．(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).二．等比數(shù)列的判定與證明例2．（1）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.(=1\*romani)證明：數(shù)列{an＋an＋1}為等比數(shù)列；(=2\*romanii)若a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(3,2)，求{an}的通項(xiàng)公式．【詳解】(=1\*romani)證明an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，因?yàn)閧an}中各項(xiàng)均為正數(shù)，所以an＋1＋an>0，所以eq\f(an＋2＋an＋1,an＋1＋an)＝3，所以數(shù)列{an＋an＋1}是公比為3的等比數(shù)列．(=2\*romanii)解由題意知an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，因?yàn)閍n＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，所以a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an，所以4an＝2×3n－1，an＝eq\f(1,2)×3n－1.（2）已知數(shù)列滿足：.(=1\*romani)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(=2\*romanii)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和的表達(dá)式.【答案】(=1\*romani)證明見解析；(=2\*romanii)；【分析】(=1\*romani)由等比數(shù)列的定義證明即可；(=2\*romanii)由(=1\*romani)得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由等差和等比的求和公式計(jì)算.【詳解】(=1\*romani)由題意可知，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.(=2\*romanii)由(=1\*romani)可知，，即前項(xiàng)和.（3）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，且．(=1\*romani)證明：為等比數(shù)列；(=2\*romanii)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和．【答案】(=1\*romani)證明見解析；(=2\*romanii)；.【分析】(=1\*romani)利用構(gòu)造法，構(gòu)造數(shù)列證明即可；(=2\*romanii)結(jié)合(=1\*romani)變形構(gòu)造得到新數(shù)列，然后利用分組以及等差等比數(shù)列求和公式寫出【詳解】(=1\*romani)證明：由，可化為，即，∴是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；(=2\*romanii)由(=1\*romani)可知，，，是1為首項(xiàng)，公比為－3的等比數(shù)列，∴，，，故，．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：等比數(shù)列的三種常用判定方法(1)定義法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．(2)等比中項(xiàng)法：若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．(3)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列．三．等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用命題點(diǎn)1等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)例3．（1）已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a2a6＋2aeq\o\al(2,4)＝π，則tan(a3·a5)等于()A.eq\r(3)B．－eq\r(3)C．－eq\f(\r(3),3)D．±eq\r(3)【答案】A【詳解】由已知得aeq\o\al(2,4)＋2aeq\o\al(2,4)＝π，∴aeq\o\al(2,4)＝eq\f(π,3)，又a3·a5＝aeq\o\al(2,4)＝eq\f(π,3)，∴tan(a3·a5)＝eq\r(3).（2）(2020·全國(guó)Ⅰ)設(shè){an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8等于()A．12B．24C．30D．32【答案】D【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q＝eq\f(a2＋a3＋a4,a1＋a2＋a3)＝eq\f(2,1)＝2，所以a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)·q5＝1×25＝32.（3）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若則的值是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】由等差中項(xiàng)及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，因此，.故選：B.（4）若等比數(shù)列中的，是方程的兩個(gè)根，則等于（

）A．B．1011C．D．1012【答案】C【分析】利用韋達(dá)定理、等比數(shù)列的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列中的，是方程的兩個(gè)根，所以，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)知，，因?yàn)?，于是，則==.故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.（5）在等比數(shù)列中，，則的值為（

）A．48 B．72 C．144 D．192【答案】D【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)求解【詳解】數(shù)列是等比數(shù)列，則，，而，故．故選：D【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)的變形，三是前n項(xiàng)和公式的變形，根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．(2)巧用性質(zhì)，減少運(yùn)算量，在解題中非常重要．命題點(diǎn)2等比數(shù)列和的性質(zhì)例4．（1）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則為（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列片段和性質(zhì)可構(gòu)造方程求得，再由可得最終結(jié)果.【詳解】由題意知：，，成等比數(shù)列，，解得：或；，.故選：A.（2）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，則（

）A．60 B．10 C．15 D．20【答案】A【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再求出與的值，從而可得答案.【詳解】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，，，所以，故選：A.（3）等比數(shù)列的前項(xiàng)和是,且,若,則(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)成等比數(shù)列，列方程求解【詳解】設(shè),則,所以由等比數(shù)列性質(zhì)知成等比數(shù)列所以,得,所以所以故選：D（4）正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則等于（）A．90B．50C．40D．30【答案】B【分析】由，可得，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可得，代入求解即可.【詳解】解：因?yàn)槭钦?xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以，解得?舍).故選：B.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：等差/等比數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為m2d.(2)若等比數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比數(shù)列(m為偶數(shù)且q＝－1除外)．四．等比數(shù)列的函數(shù)特性例5．（1）在等比數(shù)列中，公比為.已知，則是數(shù)列單調(diào)遞減的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分又不必要【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得出結(jié)論.【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，故充分性成立，若數(shù)列單調(diào)遞減，則，即，故必要性成立，所以是數(shù)列單調(diào)遞減的充要條件.故選：C.（2）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式求出公比q，進(jìn)而即可求解【詳解】設(shè)公比為q（顯然），由得，即，得或（舍去），所以遞增且，所以最小值為．故選：C（3）若等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且，則下列正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義以及可得且，即AB均錯(cuò)誤，再由等比數(shù)列前項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)可知無最大值，由前項(xiàng)積定義解不等式可知的最大值為.【詳解】由可知公比，所以A錯(cuò)誤；又，且可得，即B錯(cuò)誤；由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可知，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得為單調(diào)遞增，即無最大值，所以C錯(cuò)誤；設(shè)為數(shù)列前項(xiàng)積的最大值，則需滿足，可得，又可得，即的最大值為，所以D正確.故選：D（4）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并滿足條件，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是數(shù)列中的最大值C． D．?dāng)?shù)列無最大值【答案】C【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)分析公比的范圍，由此分析選項(xiàng)可得答案．【詳解】解：等比數(shù)列的公比為，則，由，則有，必有，又由，即，又，則有或，又當(dāng)時(shí)，可得，由，則與矛盾所以，則有，由此分析選項(xiàng)：對(duì)于A，，故，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，等比數(shù)列中，，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以前?xiàng)積為中，是數(shù)列中的最大項(xiàng)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，等比數(shù)列中，則，則，故C正確；對(duì)于D，由B的結(jié)論知是數(shù)列中的最大項(xiàng)，故D錯(cuò)誤.故選：C.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1，))則等比數(shù)列{an}遞增．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1，))則等比數(shù)列{an}遞減．1．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則（）A．2 B．54 C．162 D．243【答案】C【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可得，解方程后代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可得，解得，.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力與方程思想，屬于基礎(chǔ)題.2．設(shè)是等比數(shù)列，且，則（

）A．8 B．12 C．16 D．24【答案】C【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再代入中即可求得的值.【詳解】,.故選：C.3．等比數(shù)列中，若，則公比為（

）A．1 B．－2 C．2 D．2或－2【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，即，解得：，故選：.4．等比數(shù)列{an}中，若a5＝9，則log3a4+log3a6＝（

）A．2 B．3 C．4 D．9【答案】C【分析】利用等比中項(xiàng)得到，直接求得.【詳解】等比數(shù)列{an}中，若a5＝9，所以，所以.故選：C5．已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．21 B．81 C．243 D．729【答案】C【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)得到，設(shè)出公比，得到方程組，求出公比，進(jìn)而求出答案.【詳解】，因?yàn)?，所以，，又，故，設(shè)公比是，則，兩式相除得：，解得：或（舍去），故.故選：C6．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（

）A．5 B．10 C．4 D．【答案】A【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】由題有，則=5.故選：A7．正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）．A．8 B．16 C．27 D．81【答案】B【分析】利用基本量代換先求出，即可求出.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q.由可得：，所以.所以，解得：（舍去）所以.故選：B8．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，則（

）A． B．43 C． D．41【答案】A【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)成等比數(shù)列即可求解.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，，仍成等比數(shù)列．因?yàn)?，所以，所以，故．故選：A.9．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S10＝1，S30＝13，S40＝（）A．﹣51 B．﹣20 C．27 D．40【答案】D【分析】由{an}是等比數(shù)列可得S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比數(shù)列，列方程組，從而即可求出S40的值．【詳解】由{an}是等比數(shù)列，且S10＝1＞0，S30＝13＞0，得S20＞0，S40＞0，且1＜S20＜13，S40＞13所以S10，S20﹣S10，S30﹣S20，S40﹣S30成等比數(shù)列，即1，S20﹣1，13﹣S20，S40﹣13構(gòu)成等比數(shù)列，∴（S20﹣1）2＝1×（13﹣S20），解得S20＝4或S20＝﹣3（舍去），∴（13﹣S20）2＝（S20﹣1）（S40﹣13），即92＝3×（S40﹣13），解得S40＝40．故選：D．10．已知是首項(xiàng)為32的等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且，則數(shù)列前10項(xiàng)和為（

）A．58 B．56 C．50 D．45【答案】A【分析】先求出的公比得到通項(xiàng)公式，再求出，計(jì)算前10項(xiàng)和即可.【詳解】根據(jù)題意，所以，從而有，所以，所以有，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和等于.故選：A.11．在等比數(shù)列中，公比是，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性舉出反例，如，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)椋?，所以，故，所以不能推出，?dāng)時(shí)，則，由，得，則，所以，所以不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.12．在等比數(shù)列中，，，則（

）A．2 B． C．2或 D．或【答案】C【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)列方程組即可求解.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以.又，聯(lián)立解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故選：C13．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，，則（

）A． B． C．48 D．96【答案】C【分析】根據(jù)題意，由條件得到關(guān)于與的方程，即可得到，從而得到結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，即，又，所以，解得所以故選:C14．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若，，成等差數(shù)列，且，則（

）A．-1 B．-3 C．-5 D．-7【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列列式，代入等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，計(jì)算得，從而求解.【詳解】∵，，成等差數(shù)列，∴，由題意，∴，可得，所以∴.故選:B.15．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝eq\f(2,3)，eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＝eq\f(13,2)，則S3等于()A．eq\f(26,9)B．eq\f(13,3)C．eq\f(13,9)D．6【答案】A【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，因?yàn)閍2＝eq\f(2,3)，且eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＝eq\f(13,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝\f(2,3)，,\f(1,a1)＋\f(1,a1q)＋\f(1,a1q2)＝\f(13,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(2,9)，,q＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,q＝\f(1,3)，))當(dāng)a1＝eq\f(2,9)，q＝3時(shí)，S3＝eq\f(\f(2,9)1－33,1－3)＝eq\f(26,9)；當(dāng)a1＝2，q＝eq\f(1,3)時(shí)，S3＝eq\f(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3)),1－\f(1,3))＝eq\f(26,9)，所以S3＝eq\f(26,9).16．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初日健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)……”其大意為：有一個(gè)人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地……則此人后四天走的路程比前兩天走的路程少()A．198里B．191里C．63里D．48里【答案】A【詳解】設(shè)每天走的路程里數(shù)為{an}，則{an}是公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，由S6＝378，得eq\f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，∴an＝192·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，∴后四天走的路程為a3＋a4＋a5＋a6，前兩天走的路程為a1＋a2，又a1＋a2＝192＋96＝288，且S6＝378，∴a3＋a4＋a5＋a6＝378－288＝90，∴(a1＋a2)－(a3＋a4＋a5＋a6)＝288－90＝198，故此人后四天走的路程比前兩天走的路程少198里，故選A.17．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k等于()A．2B．3C．4D．5【答案】C【詳解】a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，則an＋1＝a1an＝2an，∴{an}是以a1＝2為首項(xiàng)，q＝2為公比的等比數(shù)列，∴an＝2×2n－1＝2n.又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，∴eq\f(2k＋11－210,1－2)＝215－25，即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.18．已知為等比數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．若，則數(shù)列單調(diào)遞增B．若，則數(shù)列單調(diào)遞增C．若數(shù)列單調(diào)遞增，則D．若數(shù)列單調(diào)遞增，則【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式可得與，進(jìn)而可得、取值同號(hào)，即可判斷A、B；舉例首項(xiàng)和公比的值即可判斷C；根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可得，進(jìn)而得到，求出，即可判斷D.【詳解】A：由，得，即，則、取值同號(hào)，若，則不是遞增數(shù)列，故A錯(cuò)誤；B：由，得，即，則、取值同號(hào)，若，則數(shù)列不是遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；C：若等比數(shù)列，公比，則，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，但，故C錯(cuò)誤；D：由數(shù)列為遞增數(shù)列，得，所以，即，所以，故D正確.故選：D19．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，成等差數(shù)列，則的最小值為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)表示出，再表示成同一變量，然后利用基本不等式求出其最小值即可.【詳解】因?yàn)槭钦?xiàng)等比數(shù)列，所以，，仍然構(gòu)成等比數(shù)列，所以.又，，成等差數(shù)列，所以，，所以.又是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：B.20．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】先利用，，成等差數(shù)列解出，再利用求和公式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，由，，成等差數(shù)列可得，，化簡(jiǎn)得，解得，.故選：B.21．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則的值為（

）A．30 B．10 C．9 D．6【答案】B【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)可得，對(duì)根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得，運(yùn)算求解即可得答案.【詳解】為正數(shù)的等比數(shù)列，則，可得，∵，∴，又∵，則，可得，∴，解得，故.故選：B.22．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出的值，進(jìn)而可求得等比數(shù)列的公比，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可知，對(duì)任意的，，，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，解得，所以，，整理可得，，解得，因此，.故選：A.23．已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，前項(xiàng)之積為，則（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】求出等比數(shù)列的公比，結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可求得的值.【詳解】由題意可得所有項(xiàng)之和是所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，所以，，故設(shè)等比數(shù)列的公比為，設(shè)該等比數(shù)列共有項(xiàng)，則，所以，，因?yàn)?，可得，因此?故選：C.24．已知在各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列中，與的等比中項(xiàng)為8，則取最小值時(shí)，首項(xiàng)（）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】C【分析】由題意可得，可得，由基本不等式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果.【詳解】∵，設(shè)公比為，∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，故選C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用基本不等式求最值的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有等比數(shù)列的性質(zhì)，利用基本不等式求最值，屬于簡(jiǎn)單題目.25．已知各項(xiàng)均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足、、項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)，，成等差數(shù)列以及單調(diào)遞減，求出公比，再由即可求出，再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式即可求出.【詳解】解：由，，成等差數(shù)列，得：，設(shè)的公比為，則，解得：或，又單調(diào)遞減，，，解得：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，.故選：C．26．設(shè)等比數(shù)列滿足，，則的最大值為（

）A．32 B．16 C．128 D．64【答案】D【分析】結(jié)合已知條件，求出的通項(xiàng)公式，然后求解當(dāng)時(shí)的范圍，進(jìn)而可得到答案.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列滿足，，所以，從而，故，則數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，故.故選：D.27．若分別是與的等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件可得，，然后結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系，以及恒等變換公式化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)果.【詳解】依題意可得，，且，所以，即，解得又因?yàn)椋裕怨蔬x:A28．已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若存在、，使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，根據(jù)已知條件求出的值，由已知條件可得出，將代數(shù)式與相乘，利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由可得，解得，因?yàn)?，則，，可得，由已知、，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：D.29．（多選）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．是等比數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．成等比數(shù)列 D．成等比數(shù)列【答案】AB【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義即可判斷求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，則有，所以，所以是以為公比的等比數(shù)列，A正確；，所以是以為公比的等比數(shù)列，B正確；若公比，則，所以不能構(gòu)成等比數(shù)列，C錯(cuò)誤；若公比，且為偶數(shù)，則都等于0，此時(shí)不能構(gòu)成等比數(shù)列，D錯(cuò)誤.故選:AB.30．（多選）已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為．則下列結(jié)論正確的是（

）A．若數(shù)列是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列B．若數(shù)列是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列C．若數(shù)列是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列【答案】AC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義等差中項(xiàng)的性質(zhì)判斷AC，結(jié)合等比數(shù)列的定義舉例說明判斷BD．【詳解】對(duì)于A，若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則為常數(shù)，因此是等差數(shù)列，A正確；對(duì)于C，，，，顯然有，，…，，所以，即是等差數(shù)列，C正確；對(duì)于B，，則是等比數(shù)列，但，不是等比數(shù)列，B錯(cuò)誤，對(duì)于D，，當(dāng)，，，，則不是等比數(shù)列，D錯(cuò)誤．故選：AC．31．（多選）已知數(shù)列滿足（其中，q為非零常數(shù)，），則下列說法正確的是（

）A．若，則不是等比數(shù)列 B．若，則既是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列C．若，則是遞減數(shù)列 D．若是遞增數(shù)列，則【答案】BC【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷A，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義判斷B，根據(jù)遞減數(shù)列的定義判斷C，根據(jù)遞增數(shù)列的性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，由等比數(shù)列的定義可知，是等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，所以既是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)，時(shí)，，即，所以是遞減數(shù)列，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)，不是遞增數(shù)列，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，由是遞增數(shù)列得，，所以或，即或，故D錯(cuò)誤．故選：BC．32．（多選）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，，則下面說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列C． D．【答案】ABD【分析】由已知遞推式可得或，從而可得數(shù)列為公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列為常數(shù)列，從而可求出，進(jìn)而可分析判斷【詳解】根據(jù)題意得，令或，所以可得：或，所以數(shù)列為公比為3的等比數(shù)列，故選項(xiàng)A正確；數(shù)列為常數(shù)列，即為公差為0的等差數(shù)列，故選項(xiàng)B正確；所以，且，解得，所以C錯(cuò)誤，所以，所以D正確，故選：ABD．33．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n，則S4=___________．【答案】.【分析】本題根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算得到．題目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．【詳解】詳解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，即，解得，所以．【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類問題的基本要求．本題由于涉及冪的乘方運(yùn)算、繁分式分式計(jì)算，部分考生易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤．一題多解：本題在求得數(shù)列的公比后，可利用已知計(jì)算，避免繁分式計(jì)算．34．已知等比數(shù)列中，，，則___________.【答案】32【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，所以.故答案為：32.35．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為______.【答案】91【分析】方法一：利用等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)即可求解；方法二：利用等比數(shù)列前項(xiàng)和的公式，代入計(jì)算即可求解.【詳解】方法一：等比數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列，∴，∴，∴.方法二：設(shè)公比為，由題意顯然且,所以，∴，故答案為：.36．等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為______．【答案】21【分析】先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，可知數(shù)列是等差數(shù)列，然后根據(jù)通項(xiàng)公式的特征求得前項(xiàng)和的最大值．【詳解】由于等比數(shù)列中，，，所以，解得，所以，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為6，公差為的等差數(shù)列，當(dāng)1≤n≤6時(shí)，；當(dāng)n＝7時(shí)，；當(dāng)n＞7時(shí)，，則當(dāng)n＝6或n＝7時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和取得最大值，最大值為6＋5＋4＋3＋2＋1＝21．故答案為：21．37．已知數(shù)列是等差數(shù)列，并且，，若將，，，去掉一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)依次為等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則為__________．【答案】【分析】先求得，進(jìn)而求得，，，，根據(jù)等比數(shù)列的知識(shí)求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意，則，解得，所以，所以，通過觀察可知，去掉后，成等比數(shù)列，所以等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，所以.故答案為：38．在等比數(shù)列{}中，若，則當(dāng)……取得最大值時(shí)，n=___________.【答案】6【分析】利用等式得到數(shù)列的公比，進(jìn)而求出首項(xiàng)，即可得到通項(xiàng)公式，判斷數(shù)列的單調(diào)性和符號(hào)，即可求解.【詳解】在等比數(shù)列中，，，所以公比，所以，解得，故，易得單調(diào)遞減，且，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)取得最大值時(shí)，．故答案為：639．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，前項(xiàng)滿足，，則正整數(shù)m＝______.【答案】4【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)先求出公比，再由等比數(shù)列前項(xiàng)和列出，即可得到答案【詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)滿足，，所以，所以公比，所以，解得，故答案為：440．已知為等比數(shù)列．(1)若，，求(2)若，求的值．【答案】(1)5；(2)10【分析】（1）將帶入條件等式，配方可求得（2）利用帶入求解．【詳解】（1）因?yàn)?，所以?．因?yàn)樗?（2）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得所以所以.41．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求的最大值和最小值．【答案】(1)，；(2)最大值16，最小值8【分析】（1）根據(jù)給定的條件，求出等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差，等比數(shù)列公比求解作答.（2）由（1）可得，再分為奇數(shù)與偶數(shù)時(shí)，結(jié)合的單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因，，則，解得，即有，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因，，則，解得，即，所以數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，.（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列是遞減的，恒有，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列是遞增的，恒有，此時(shí)；綜上可得，的最大值為16，最小值為8.42．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式．【答案】證明見解析，【分析】利用與關(guān)系即可證明是等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求出其通項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以．又因?yàn)?，所以．又由，知，所以，所以是等比?shù)列．因?yàn)?，所以?3．已知數(shù)列{an}，{cn}滿足cn＝2an＋1＋an.若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，試判斷數(shù)列{cn}是否為等比數(shù)列，并說明理由．【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則cn＝2an＋1＋an＝2anq＋an＝(2q＋1)an，當(dāng)q＝－eq\f(1,2)時(shí)，cn＝0，數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列；當(dāng)q≠－eq\f(1,2)時(shí)，因?yàn)閏n≠0，所以eq\f(cn＋1,cn)＝eq\f(2q＋1an＋1,2q＋1an)＝q，所以數(shù)列{cn}是等比數(shù)列．44．已知等比數(shù)列的公比，且依次成等差數(shù)列．(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與等差中項(xiàng)公式得到關(guān)于的方程，解之即可得解；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論得到，從而判斷是等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得解即可.【詳解】（1）因?yàn)橐来纬傻炔顢?shù)列，所以，因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比，所以，即，解得，所以.（2）由題意知，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，故數(shù)列的前n項(xiàng)和．45．設(shè)等比數(shù)列{an}滿足，．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列{log3an}的前n項(xiàng)和．若，求m．【答案】（1）；（2）.【分析】（1