國會議員的數(shù)學(xué)游戲

國會議員的數(shù)學(xué)游戲\o"分享到QQ空間"\o"分享到新浪微博"\o"分享到微信"1882年，得克薩斯州議員諾加·米爾斯對數(shù)學(xué)進(jìn)行了譴責(zé)，他的發(fā)言是人類最誠懇的演說之一。他說：“我認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門神圣的科學(xué)，它是啟迪神靈的惟一科學(xué)，所說的都是正確的。我所受到的教育一直是：數(shù)學(xué)展示了真理，也知道在天文學(xué)、哲學(xué)、幾何學(xué)和所有其他學(xué)科中，總有些問題需要推測，而數(shù)學(xué)如同《啟示錄》的聲音一樣，它開口時總是說：‘上帝是這樣說的。’但是，這里有個新的數(shù)學(xué)體系表明，真理就是謬誤?！?/p>

米爾斯所說的問題是共和國成立以來眾議院一直面臨的問題：每個州應(yīng)該分配多少個代表？國會代表按比例分配的數(shù)學(xué)聽起來像是采用簡單的、人們擁護(hù)的一人一票的方法。但是，像直接選舉方案一樣，間接代表制卻受著數(shù)學(xué)上悖論的嚴(yán)重困擾，從而遭到米爾斯議員的強(qiáng)烈抨擊。直接選舉方案的悖論是策略運(yùn)籌學(xué)性質(zhì)的，它牽涉到選舉人合謀選舉他們自己的候選人。國會代表分配的問題，只是每個州分配到的代表人數(shù)，而不是怎樣選代表的問題。按比例分配屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域，叫做社會選擇理論。

為什么按比例分配是這樣一個問題呢？美國憲法第一條第二款似乎提供了一個直接的答案：每個州派往眾議院的代表人數(shù)應(yīng)與本州人口成比例。問題是，雖然一個國會議員的忠心可分，而他的軀體卻不可分；人就像便士或電荷或亞原子自旋狀況一樣，是量子化的。

假定你要在只有兩個州的國家成立一個眾議院：X州有人口11，Y州有人口23。每個州按其人口選派代表，最小的眾議院會是怎樣的呢？最小的眾議院會有34個成員，如果成員少一些，則其中一個州（或兩個州）會出現(xiàn)一個分?jǐn)?shù)代表。換句話說，當(dāng)H（眾議院的人數(shù)）少于34人，X和Y就沒有整數(shù)（分別為X州和Y州的代表人數(shù)）能符合等式X＋Y＝H和X／Y＝11／23。為人口34而成立的一個34個成員的眾議院，當(dāng)然不是確切的間接代表制。

像我們有50個州這樣大的國家，這些州的人口數(shù)量相互之間又沒整倍數(shù)，問題就明顯地復(fù)雜了。在一個特定規(guī)模的眾議院，每個州的理想代表人數(shù)是按該州人口與總?cè)丝诘谋嚷食吮娮h院總成員數(shù)得出的。（因此，如果眾議院有235個席位，在一個人口為231，575，493的國家里，人口為2，559，253的州有資格成為代表的理想數(shù)字為2．597099個：2，559，253／231，575，493×235。）既然這個理想數(shù)字可能是個分?jǐn)?shù)，并且不允許代表出現(xiàn)四分之一這種數(shù)，那就需要有個更好的分配代表的方法了。

許多開國元勛，包括亞力山大·漢密爾頓、托馬斯·杰佛遜和丹尼爾·韋伯斯特，曾提出他們各自的解決方法。財政部長漢密爾頓的方法最容易理解，他的方法于1792年經(jīng)國會通過但緊接著被喬治·華盛頓否決——華盛頓在任8年中只行使過兩次否決權(quán)，這是其中的第一次。按照漢密爾頓的方法，開始時先給每個州一個代表數(shù)，與其理想的代表的整數(shù)部分相等，舍棄其分?jǐn)?shù)部分。換言之，如果佛蒙特州理想的代表人數(shù)為3．62，它就有3個代表。在這個基礎(chǔ)分配的代表人數(shù)上計算出代表總數(shù)，如果總數(shù)沒有達(dá)到眾議院要求的人數(shù)，就取那些舍棄了的最大分?jǐn)?shù)值的州的代表，進(jìn)眾議院。

漢密爾頓的按比例分配方法很容易說明。下表顯示5個州的人口和在一個有26個席位的眾議院中，每個州所能獲得的代表人數(shù)。

用漢密爾頓的方法，在一個26席位的眾議院，A、B、C、D和E開始時分別獲得以下代表數(shù)：9、7、5、3和1，但只占26個席位中的25個席位，D州有最高分?jǐn)?shù)（0.319），因而它可增加一個代表，共4個代表。

漢密爾頓的方法至少符合一個平等的原則：它給每一個州能夠就近上下浮動的理想的代表數(shù)。換句話說，如果D州的理想代表數(shù)為3．319，他的方法總會給D州3個或4個代表，永遠(yuǎn)不會給2或5個代表。符合這個自然準(zhǔn)則的方法據(jù)說能滿足定額。許多別的方法不能滿足定額，這定額似乎是你所希望的一種被認(rèn)為是公平的按比例分配方法的最低的定額。

可是，漢密爾頓的方法違背另一個更難理解的公平準(zhǔn)則。在我們5個州的例子里，設(shè)想眾議院的規(guī)模由26個席位增加到27個：

在27席位的眾議院，A、B、C、D和E各州分別獲得9、8、6、3和1個代表數(shù)。奇怪的是，即使眾議院的規(guī)模增加了，D州卻少了一個代表。這是漢密爾頓方法的一個嚴(yán)重缺點(diǎn)?？梢赃@樣想：雖然總?cè)丝诤虳州的人口都一點(diǎn)兒沒有變，眾議院人數(shù)增加了，D州的代表人數(shù)現(xiàn)在反而較少了。數(shù)學(xué)上一種令人痛苦的扭曲，叫做亞拉巴馬悖論，使D州處于雙重的不利境地（因為這種悖論是頭一次在牽涉到亞拉巴馬州的計算中發(fā)覺的）。上述5個州的例子是邁克爾·巴林斯基和H．佩頓·揚(yáng)在一篇關(guān)于按比例分配的文章中虛構(gòu)出來的。巴林斯基和揚(yáng)花了9年時間調(diào)查按比例分配問題中數(shù)學(xué)的悖論，研究按比例分配提案的政治辯論歷史。我的大部分?jǐn)⑹鍪且运麄兊闹鳛榛A(chǔ)的。

這個亞拉巴馬矛盾——在一個更大的眾議院一個州會失去一個代表——并不是華盛頓否決漢密爾頓提案的原因。確實沒有證據(jù)能證明開國元勛們知道這種數(shù)學(xué)的特殊性。華盛頓在否決漢密爾頓提案時，是被國務(wù)卿托馬斯·杰佛遜的論點(diǎn)所左右。杰佛遜告誡說：“不損害憲法是最基本的問題，他們耍弄的按比例分配數(shù)字的花招，是很危險的?！苯芊疬d自己提出了一個方案，華盛頓采納了，盡管其方案有違反定額的嚴(yán)重缺點(diǎn)。

在巴林斯基和揚(yáng)的5個州例子中，因總?cè)丝冢?6，000）除以眾議院規(guī)模（26）是1，000，每一個眾議院成員理想地代表著1，000個人。漢密爾頓的方法是把每州的人口除以1，000，然后除了有最高分?jǐn)?shù)的州外，其余州的分?jǐn)?shù)全部舍棄，最高分?jǐn)?shù)按需要入到整數(shù)，以湊滿眾議院人數(shù)。杰佛遜的方法不用1，000做除數(shù)（也叫最大除數(shù)方法），要求用最大的除數(shù)，以產(chǎn)生每個州的代表數(shù)，不變動這些數(shù)或舍棄其分?jǐn)?shù)，以達(dá)到眾議院的規(guī)模。換句話說，這些數(shù)絕不需要升值。在5個州的例子中，906．1成為最大的除數(shù)，由此可得出以下結(jié)果：

如上表所示，杰佛遜和漢密爾頓的方法產(chǎn)生不同的結(jié)果。用杰佛遜的方法，A州——人口最多的州——多得一個代表（D州失去一個代表）。杰佛遜的方法幫助了A州并非僥幸，從數(shù)學(xué)上可以表明其方法對大州有利。他那高傲的演講從未提到過數(shù)學(xué)的這種偏袒性，雖然，他這個精明的科學(xué)家無疑是完全意識到這一點(diǎn)的。但他贊成這種偏袒性，因為他和華盛頓一樣，都是來自最大的州，弗吉尼亞（人口630，558）。確實，1792年第一次實行按比例分配眾議院成員時，杰佛遜的方法（與漢密爾頓的方法相反）保證了弗吉尼亞州增加一個代表，從而損害了最小的特拉華州（人口55，538）。

從1792年至1841年，杰佛遜的方法被采用了大約半個世紀(jì)左右。（我說的“左右”是因為有時眾議院的規(guī)模沒有預(yù)先固定，它受到政治利益的調(diào)整，使各州不會在一個新的按比例分配制度下失去代表。）丹尼爾·韋伯斯特意識到杰佛遜的方法沒有給他的家鄉(xiāng)新英格蘭各州以充分的代表名額之后，說服國會采用一個新的按比例分配方案。同杰佛遜的方法一樣，韋伯斯特的方法（也叫最大分?jǐn)?shù)法）是以選擇最大除數(shù)為基礎(chǔ)的，但是得出的數(shù)字不是自動地舍棄分?jǐn)?shù)，而是按照四舍五入的標(biāo)準(zhǔn)常規(guī)計算的。對5個州來說，最大除數(shù)是957．2，這樣B州的情況就比其他兩個方法得出的結(jié)果更好。

每走一步總有些國會議員反對增加眾議院人數(shù)，但他們的呼吁無論怎樣有說服力，其他人都充耳不聞。奇怪的是，對于一個較大規(guī)模的眾議院來說，它的笨拙不便要比它的非法行為多。紐約州代表塞繆爾·考克斯說的話很有代表性。他說：“一個人不是因為身材高大而偉大。肥胖不是健康或嚴(yán)厲。喘息的肥胖病不一定是頭腦機(jī)警的狀態(tài)。成年人不需要大量的豬油和脂肪?！?/p>

沒有按照漢密爾頓的方法做曾引起不小的后果：塞繆爾·蒂爾登1876年喪失了總統(tǒng)職位。在選舉團(tuán)里，每個州的選舉人數(shù)與它的眾議員和參議員人數(shù)相等。在那次著名的選舉中，蒂爾登比盧瑟?！．哈依斯多獲得264，292張民眾選票，但哈依斯卻因比他多獲一張選舉團(tuán)的選票而使他落選。巴林斯基和揚(yáng)論證，如果按照法律上要求的漢密爾頓的方法做，蒂爾登就會獲勝，因為支持他的一個州應(yīng)該增加一個選舉團(tuán)成員，而支持哈依斯的州就少了一票。

1881年當(dāng)人口調(diào)查局的科長根據(jù)1880年人口統(tǒng)計，在調(diào)查歷屆眾議院從275席位到350席位規(guī)模的按比例分配情況中，終于找出了亞拉巴馬悖論。他寫信告訴一位議員：“我進(jìn)行這些計算的時候，我遇到所謂的‘亞拉巴馬悖論’問題，我發(fā)現(xiàn)在議員總數(shù)299位中，亞拉巴馬州分配到8個議員席位，但總數(shù)是300時，它只獲得7個席位?！北M管如此，其后20年，亞拉巴馬悖論的缺陷以在理論勝于在實踐的方式繼續(xù)存在。

接著在1901年眾議院席位以1900年的人口統(tǒng)計為基礎(chǔ)重新按比例分配時，亞拉巴馬悖論成為一個實際問題，引起了激烈的辯論。大多數(shù)議員通過了一項議案，確定眾議院規(guī)模為357個席位，科羅拉多州獲兩個席位?？屏_拉多州議員約翰·C．貝爾譴責(zé)“由數(shù)學(xué)家推出的并稱之為悖論的暴行”。他注意到，在其他每個擁有350至400席位的眾議院，他的州會獲得3個而不是2個議員席位。在357席位的眾議院，緬因州也受到亞拉巴馬悖論的損害，它的一位議員說：“這就像是數(shù)學(xué)和科學(xué)聯(lián)合起來，把緬因州當(dāng)作板羽球耍……當(dāng)數(shù)學(xué)抓住緬因州的時候，愿上帝保佑她！”

在以后幾十年中，杰出的數(shù)學(xué)家們向眾議院進(jìn)行標(biāo)榜，并提供了復(fù)雜的公式，以避免亞拉巴馬悖論，他們的公式對大多數(shù)政客來說，是莫明其妙的。其中一個公式在1941年弗蘭克林·羅斯福簽署“規(guī)定用等比例方法在若干州中按比例分配國會議員代表的法令”時被采納了。

等比例法早在20年前由哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)家愛德華·享廷頓提出。他認(rèn)為，假設(shè)在許多州人口不同的情況下，把授于任何兩個州的代表名額做比較，其中一個州的名額難免會短少，短多少可以計算。如果從境況較好的州轉(zhuǎn)移一個代表到境況較差的州，能減少它們相對的短少數(shù)，就應(yīng)該轉(zhuǎn)移。例如，拿弗吉尼亞和馬薩諸塞兩州做比較，如發(fā)現(xiàn)弗吉尼亞處境較差，短少3個單位，從馬薩諸塞轉(zhuǎn)移一個代表到弗吉尼亞，局面就會轉(zhuǎn)變?yōu)轳R薩諸塞少了兩個單位，這個轉(zhuǎn)移應(yīng)該做，因為相對的短少數(shù)——2個單位對3個單位來說——是減少了。倘若不是這種情況，而是轉(zhuǎn)移使馬薩諸塞州少了4個單位，那就不應(yīng)轉(zhuǎn)移，維持現(xiàn)狀還公正一些。采用這種按比例分配代表的方式的用意是使相對的短少數(shù)減到最低程度。在那些沒有成雙做比較的州需要轉(zhuǎn)移一個代表時，這種情況將會發(fā)生。

將相對的短少數(shù)降到最低，這個主意是有吸引力的，但如何衡量短少數(shù)呢？在等比例法中，計算短少數(shù)是先得出一個州的眾議員選區(qū)平均數(shù)和另一個州的眾議員選區(qū)平均數(shù)之間的差額，然后將該差額表示為較小選區(qū)規(guī)模的分?jǐn)?shù)。在5個州的例子中，等比例法又產(chǎn)生另一種代表分配情況，有利于C州：

根據(jù)上述短少數(shù)的計算情況，D州短少了（1106.23—876．50）／876．50，或0．2621。從D州轉(zhuǎn)移一個代表到C州會把C州的平均選區(qū)規(guī)模改為1，051．80，把D州改為829．75。這種分配不大公正，因為短少數(shù)的相對量增加了，C州短少了（1051，80—829.75）／829.75，或0.2676。如果你玩弄上表中的數(shù)字，你會發(fā)現(xiàn)，再沒有其他分配代表的方法比用這個短少數(shù)計算的方法更公正了。

可是，這個計算短少數(shù)的方法，不能先驗地斷定它是公正的。你可以只計算出兩個規(guī)模之間的差數(shù)，而不必用分?jǐn)?shù)表示出來?；蛘吣憧梢杂嬎愠雒總€州每位居民所等于的代表的分?jǐn)?shù)，然后把逐個州的分?jǐn)?shù)之差減到最低。也可能還有其他同樣自稱公正的計算方法。

用類推法就可以理解短少的定義問題。如果我告訴你，鮑勃的年收入超過杰克1萬美元，用這種計算法——收入的絕對差額——杰克少收入1萬美元，但這并不能告訴你你想知道的有關(guān)他們的生活水平的一切事情。杰克可能每年只掙1萬美元，在這種情況下，鮑勃比他多掙100％?？墒?，如果杰克每年能掙到100萬美元，在這種情況下，鮑勃就只比他多掙1％了。倘若申報的收入不是絕對按美元來報，而是按百分比報，則你需要的其他判斷他們生活標(biāo)準(zhǔn)的信息就會有所刪減。例如，假定你知道鮑勃比杰克多掙100％，這并沒告訴你鮑勃在另外用現(xiàn)金買一幢10萬美元的房子的情況下，是否能生活得同杰克一樣好。如果鮑勃掙20萬美元（杰克掙10萬美元），他就能省出多余的現(xiàn)金。但是，如果他只掙1萬美元（杰克掙5，000美元），他只能買一臺家用計算機(jī)，買不起房子了。這說明沒有一種計算收入差別的方法——不管是以絕對美元、百分比差額、或其他什么方法——可以先驗地自稱是最好的方法。計算各州派往眾議院代表團(tuán)的相對的代表短少程度，也同樣如此。

正如巴林斯基和揚(yáng)在《美國數(shù)學(xué)月刊》的一文中提到的那樣，羅斯福和國會都不知道等比例法也違反定額。再者，它傾向于照顧較小的州（從5個州的例子中你可以看出這些缺點(diǎn)）。也許你開始認(rèn)識到，除了由于無法分開一個國會議員所產(chǎn)生的明顯不公正這一因素之外，每種按比例分配的制度都受到悖論的干擾。在巴林斯基和揚(yáng)1982年出版的《公正的代表制：達(dá)到一人一票的理想》一書中，他們提出了一項數(shù)學(xué)論證：既能滿足定額又能避免亞拉巴馬悖論的按比例分配法是不存在的。

在社會選擇理論的最佳方案中（應(yīng)用數(shù)學(xué)的一門分支，提出個人的選擇機(jī)會應(yīng)該如何結(jié)合起來以形成社會的選擇），巴林斯基和揚(yáng)沒有停留在只識別各種悖論上，而是繼續(xù)研究它們是如何反復(fù)出現(xiàn)的?，F(xiàn)實世界畢竟需要一個解決辦法——一個又一個的分配代表的方案。顯然，一種幾乎可以一勞永逸地擺脫悖論的方法比令他們摸不著頭腦的方法更可取。巴林斯基和揚(yáng)能表明，在任意人口的資料的基礎(chǔ)上，韋伯斯特的方法不論是對于大州還是小州都有利，而且