2024屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8練 正弦定理和余弦定理（解析版）

第8練正弦定理和余弦定理一、單選題1．（2023秋·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊101中學(xué)校考開學(xué)考試）在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．32．（2023·河南鄭州·校聯(lián)考二模）在中，，，，是的外接圓上的一點(diǎn)，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．3．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過作垂直于軸的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心分別為，則的面積是（

）A． B． C． D．5．（2023春·廣東揭陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則（

）A． B． C． D．6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在中，內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別是，若，，，則（

）A． B． C． D．7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線l過點(diǎn).若點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)P恰好在橢圓C上，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．8．（2023·寧夏銀川·六盤山高級(jí)中學(xué)?？既＃E圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·江蘇南京·?？既＃╇p曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．10．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的，已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是B．的取值范圍是C．面積的最大值為D．的取值范圍是11．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知圓錐頂點(diǎn)為S，高為1，底面圓的直徑長(zhǎng)為．若為底面圓周上不同于的任意一點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．圓錐的側(cè)面積為B．面積的最大值為C．圓錐的外接球的表面積為D．若，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為12．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）的內(nèi)角A，，的對(duì)邊分別為a，b，c，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則此三角形為等腰三角形C．若，，，則解此三角形必有兩解D．若是銳角三角形，則13．（2023·江蘇南京·南京市第五高級(jí)中學(xué)?？级＃┤鐖D，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．兩條異面直線和所成的角為B．存在點(diǎn)P，使得平面C．對(duì)任意點(diǎn)P，平面平面D．點(diǎn)到直線的距離為414．（2023春·湖北襄陽·高三襄陽五中?？茧A段練習(xí)）如圖1，在中，，，，DE是的中位線，沿DE將進(jìn)行翻折，連接AB，AC得到四棱錐（如圖2），點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，在翻折過程中下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)，三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體的表面積為B．四棱錐的體積的最大值為C．若三角形ACE為正三角形，則點(diǎn)F到平面ACD的距離為D．若異面直線AC與BD所成角的余弦值為，則A、C兩點(diǎn)間的距離為三、填空題15．（2023秋·四川成都·高二成都外國(guó)語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面，，，已知?jiǎng)狱c(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿外表面經(jīng)過棱上一點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離為，則該棱錐的外接球的體積為.16．（2023·廣西桂林·?？寄M預(yù)測(cè)）△ABC中，角A，B，C所對(duì)的三邊分別為a，b，c，c＝2b，若△ABC的面積為1，則BC的最小值是．17．（2023·安徽安慶·安慶一中?？寄M預(yù)測(cè)）在中，，D為BC的中點(diǎn)，則的最大值為．18．（2023·四川眉山·?？既＃┰阡J角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，且，則的取值范圍是．四、解答題19．（2023秋·甘肅臨夏·高三統(tǒng)考期末）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．20．（2023春·云南紅河·高一開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長(zhǎng)．參考答案：1．D【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長(zhǎng)度的方程，解方程即可求得邊長(zhǎng).【詳解】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【點(diǎn)睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個(gè)角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，解三角形．2．B【分析】先解三角形得到為直角三角形，建立直角坐標(biāo)系，通過表示出，借助三角函數(shù)求出最小值.【詳解】由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，易得A（－1，0），C（1，0），B（－，），設(shè)P的坐標(biāo)為，所以，，，又，所以，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故選：B．3．A【分析】根據(jù)可知，再根據(jù)角平分線定理得到的關(guān)系，再根據(jù)雙曲線定義分別把圖中所有線段用表示出來，根據(jù)邊的關(guān)系利用余弦定理即可解出離心率.【詳解】因?yàn)?，所以∽，設(shè)，則，設(shè)，則，．因?yàn)槠椒郑山瞧椒志€定理可知，，所以，所以，由雙曲線定義知，即，，①又由得，所以，即是等邊三角形，所以．在中，由余弦定理知，即，化簡(jiǎn)得，把①代入上式得，所以離心率為．故選：A．4．A【分析】由題意畫出圖，由已知求出的值，找出的坐標(biāo)，由的內(nèi)切圓圓心分別為，進(jìn)行分析，由等面積法求出內(nèi)切圓的半徑，從而求出的底和高，利用三角形的面積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意如圖所示：由雙曲線，知，所以，所以，所以過作垂直于軸的直線為，代入中，解出，由題知的內(nèi)切圓的半徑相等，且，的內(nèi)切圓圓心的連線垂直于軸于點(diǎn)，設(shè)為，在中，由等面積法得：由雙曲線的定義可知：由，所以，所以，解得：，因?yàn)闉榈牡慕瞧椒志€，所以一定在上，即軸上，令圓半徑為，在中，由等面積法得：，又所以，所以，所以，，所以，故選：A.5．B【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理邊化角，由三角形內(nèi)角和定理，展開化簡(jiǎn)得．【詳解】由，邊化角得，又，所以，展開得，所以，因?yàn)?，所以．故選：B．6．D【分析】利用余弦定理直接構(gòu)造方程求解即可.【詳解】由余弦定理得：，即，解得：（舍）或，.故選：D.7．C【分析】根據(jù)已知結(jié)合橢圓的定義可推得，.然后根據(jù)，可推得.最后根據(jù)余弦定理，即可得到關(guān)于的齊次方程，即可得出離心率.【詳解】設(shè)，由已知可得，，根據(jù)橢圓的定義有.又，所以.在中，由余弦定理可得，，即，整理可得，等式兩邊同時(shí)除以可得，，解得，或（舍去），所以.故選：C.8．D【分析】由橢圓的定義及題設(shè)，求出、、，利用，由余弦定理建立方程化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】因?yàn)?，由橢圓定義知，又，所以，再由橢圓定義，因?yàn)?，所以，所以由余弦定理可得，即，化?jiǎn)可得，即，解得或（舍去）.故選：D9．AC【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，利用正弦定理結(jié)合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用情況一

M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為B，所以，因?yàn)?，所以在雙曲線的左支，，，，設(shè)，由即，則，選A情況二若M、N在雙曲線的兩支，因?yàn)椋栽陔p曲線的右支，所以，，，設(shè)，由，即，則，所以，即，所以雙曲線的離心率選C[方法二]：答案回代法特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點(diǎn)都在左支,，，則，特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點(diǎn)在左右兩支，在右支，，，則，[方法三]：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，若分別在左右支，因?yàn)?，且，所以在雙曲線的右支，又，，，設(shè)，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以雙曲線的離心率若均在左支上，同理有，其中為鈍角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故選：AC.10．BC【分析】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，列出方程并化簡(jiǎn)整理，放縮解不等式判斷A；利用幾何意義并結(jié)合求函數(shù)值域判斷B；利用三角形面積公式計(jì)算判斷C；取點(diǎn)計(jì)算判斷D作答.【詳解】設(shè)點(diǎn)，依題意，，對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解不等式得：，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，顯然，因此，B正確；對(duì)于C，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在以線段MN為直徑的圓上，由解得，所以面積的最大值為，C正確；對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上，當(dāng)點(diǎn)P為此點(diǎn)時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：求解軌跡方程問題，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)條件求列出方程，再化簡(jiǎn)整理求解，還應(yīng)特別注意：補(bǔ)上在軌跡上而坐標(biāo)不是方程解的點(diǎn)，剔出不在軌跡上而坐標(biāo)是方程解的點(diǎn).11．BCD【分析】對(duì)A：根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式分析運(yùn)算；對(duì)B：根據(jù)題意結(jié)合三角形的面積公式分析運(yùn)算；對(duì)C：根據(jù)題意可得圓錐的外接球即為的外接圓，利用正弦定理求三角形的外接圓半徑，即可得結(jié)果；對(duì)D：將平面與平面展開為一個(gè)平面，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，結(jié)合余弦定理分析運(yùn)算.【詳解】對(duì)A：由題意可知：，故圓錐的側(cè)面積為，A錯(cuò)誤；對(duì)B：面積，在中，，故為鈍角，由題意可得：，故當(dāng)時(shí)，面積的最大值為，B正確；對(duì)C：由選項(xiàng)B可得：，為鈍角，可得，由題意可得：圓錐的外接球半徑即為的外接圓半徑，設(shè)其半徑為，則，即；故圓錐的外接球的表面積為，C正確；對(duì)D：將平面與平面展開為一個(gè)平面，如圖所示，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，此時(shí)，在，，則為銳角，則，在，則，由余弦定理可得，則，故的最小值為，D正確.故選：BCD.12．AD【分析】由正弦定理可求A，然后可判斷A；根據(jù)角的范圍直接求解可判斷B；正弦定理直接求解可判斷C；利用誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)單調(diào)性可判斷D.【詳解】由正弦定理可知，又，所以，可得，因?yàn)?，所以，A正確；因?yàn)椋医?A，2最多有一個(gè)大于，所以由可知，或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，故此三角形有唯一解，C錯(cuò)誤；因?yàn)槭卿J角三角形，所以，即，又在上單調(diào)遞增，所以，同理，所以，D正確.故選：AD13．BCD【分析】根據(jù)異面直線所成角的概念結(jié)合正方體的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)線面平行的判定定理可判斷B，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，然后根據(jù)線線垂直的判定定理可判斷C，利用余弦定理結(jié)合條件可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由正方體的性質(zhì)可知，兩條異面直線和所成的角即為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)重合時(shí)，由題可知，所以，四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，則平面，所以B正確；對(duì)于C，連結(jié)，由于平面，平面，故，又，故，故，即，故，又相交，平面，故平面，又平面，故對(duì)任意點(diǎn)，平面平面，所以C正確；對(duì)于D，由正方體的性質(zhì)可得，，所以，所以，所以點(diǎn)到直線的距離，所以D正確．故選：BCD．14．ABD【分析】A項(xiàng)，分析點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體類型，即可得到幾何體的表面積；B項(xiàng)，通過表達(dá)出的體積，即可求出四棱錐的體積的最大值；C項(xiàng)，通過三角形的等面積法即可求出點(diǎn)F到平面ACD的距離；D項(xiàng)，通過C項(xiàng)的三角形ACE為正三角形時(shí)，由余弦定理得到異面直線AC與BD所成角的余弦值為，即可求出異面直線AC與BD所成角的余弦值為時(shí)，A、C兩點(diǎn)間的距離.【詳解】由題意，在中，，，，DE是的中位線，∴,,,∴,，對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)，三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體為以2為半徑高為1的半個(gè)圓錐，∴三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體的表面積為：,故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)，則，設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，∴四棱錐的體積為：，在中，，∴，∴四棱錐的體積的最大值為，故B正確；對(duì)于C，D項(xiàng)，當(dāng)三角形ACE為正三角形時(shí)，，,過點(diǎn)作，連接，取的中點(diǎn),連接，，在中，,點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，由幾何知識(shí)得，，在中，,∴，為的中點(diǎn)，在中，為的中點(diǎn)，,點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，∴,,,在中，在四邊形中，由幾何知識(shí)得，,，∴四邊形是矩形，，設(shè)點(diǎn)F到平面ACD的距離為，在中，，即，解得：,故C錯(cuò)誤，由幾何知識(shí)得，，,∴,此時(shí)即為異面直線AC與BD所成的角，由余弦定理，，代入數(shù)據(jù)，解得：，∴異面直線AC與BD所成角的余弦值為，則A、C兩點(diǎn)間的距離為，故D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的表面積，體積，空間點(diǎn)到平面的距離，異面直線所成的角，余弦定理等，具有極強(qiáng)的綜合性。15．【分析】將沿翻折到與共面得到平面四邊形如圖1所示，設(shè)，利用余弦定理求出，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體如圖2所示，該棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，求出外接球的半徑，即可求出其體積.【詳解】解：將沿翻折到與共面得到平面四邊形如圖1所示，設(shè)，即，由題意得，在中，由余弦定理得即即，解得或（舍去），將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體如圖2所示，該棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，則外接球的半徑，所以外接球的體積.故答案為：16．【分析】由三角形面積公式得到，利用角A的三角函數(shù)表達(dá)出，利用數(shù)形結(jié)合及的幾何意義求出最值.【詳解】因?yàn)椤鰽BC的面積為1，所，可得，由，可得，設(shè)，其中，因?yàn)楸硎军c(diǎn)與點(diǎn)（cosA，sinA）連線的斜率，如圖所示，當(dāng)過點(diǎn)P的直線與半圓相切時(shí)，此時(shí)斜率最小，在直角△OAP中，，可得，所以斜率的最小值為，所以m的最大值為，所以，所以，即BC的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】解三角形中最值問題，要結(jié)合基本不等式，導(dǎo)函數(shù)或者數(shù)形結(jié)合，利用代數(shù)式本身的幾何意義求解.17．【分析】先設(shè)，由三角形三邊關(guān)系得到，再利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與余弦定理得到，從而利用換