正弦定理說(shuō)課稿

正弦定理說(shuō)課稿各位老師大家好！今天我說(shuō)課的題目是《正弦定理及其應(yīng)用》，選自人教A版必修五第一章《解三角形》第一節(jié)。下面主要從以下幾個(gè)方面對(duì)本課進(jìn)行說(shuō)明。教材分析1、教材地位《解三角形》這一章內(nèi)容，是初中解直角三角形內(nèi)容的拓展與延續(xù)，也是高一《三角函數(shù)》在解三角形中的應(yīng)用。初中階段著重定性的討論三角形中線(xiàn)段與角的位置關(guān)系，本章主要是定量地揭示三角形邊、角之間的數(shù)量關(guān)系。本章內(nèi)容在高考中主要與三角函數(shù)、平面向量等知識(shí)聯(lián)系起來(lái)以及在立體幾何問(wèn)題求解中的應(yīng)用。正弦定理是解斜三角形的基本工具之一，同時(shí)它的推導(dǎo)過(guò)程也為余弦定理的推導(dǎo)設(shè)下伏筆，因此它具有承上啟下的重要地位，并且它還是解決實(shí)際生活中與三角形有關(guān)的問(wèn)題的有力工具。據(jù)此，我們制定以下教學(xué)目標(biāo)2、教學(xué)目標(biāo)(1)知識(shí)與技能第一，理解并掌握正弦定理，能初步運(yùn)用正弦定理解斜三角形；第二，理解用解直角三角形的方法推導(dǎo)正弦定理的過(guò)程，掌握由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由特殊到一般的學(xué)習(xí)方法(3)情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；3、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)(1)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明及基本應(yīng)用（正弦定理揭示了任意三角形邊角之間的客觀(guān)規(guī)律，是解三角形的重要工具，也是三角函數(shù)與平面向量知識(shí)在三角形中的應(yīng)用.因此，本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容是正弦定理證明與基本應(yīng)用.）(2)難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)（在證明過(guò)程中通過(guò)教師的引導(dǎo)，學(xué)生的研討，對(duì)知識(shí)多角度地挖掘來(lái)證明定理.因此，本節(jié)課難點(diǎn)的內(nèi)容是證法的多樣性.）教學(xué)過(guò)程1、設(shè)疑引入，創(chuàng)設(shè)情景興趣是最好的老師,如果一節(jié)課有個(gè)好的開(kāi)頭，那就意味著成功了一半，因此通過(guò)在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上提出問(wèn)題，巧設(shè)疑問(wèn)來(lái)激發(fā)學(xué)生的思維，激活學(xué)生的求知欲。首先復(fù)習(xí)初中接觸的解直角三角形問(wèn)題，教師給學(xué)生指明一個(gè)探究的方向，在直角三角形這樣的特殊情況下，有，，，即，，，故，在此提出問(wèn)題1，對(duì)任意的三角形，是否都存在呢？通過(guò)學(xué)生分組討論并進(jìn)行猜想，引導(dǎo)學(xué)生自己探索證明方法。這樣由特殊情況到一般問(wèn)題的提出，符合由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識(shí)過(guò)程。（在證明方法的探索過(guò)程中，說(shuō)明以下問(wèn)題，以幫助學(xué)生獲得證明思路：1．強(qiáng)調(diào)將猜想轉(zhuǎn)化為定理，需要嚴(yán)格的理論證明。2．提示學(xué)生通過(guò)做三角形外接圓構(gòu)造直角三角形進(jìn)行證明，并利用圓周角與弦之間的關(guān)系證明其他兩種情況。4．思考是否還有其他的方法來(lái)證明正弦定理，提示，做三角形的高轉(zhuǎn)化為較為熟悉的直角三角形進(jìn)行證明。2、帶疑探究，嚴(yán)謹(jǐn)推理（外接圓法）：可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，利用三角形外接圓進(jìn)行證明，并演示銳角三角形證明過(guò)程。示例：如圖5-32，⊙O是銳角△ABC的外接圓.過(guò)點(diǎn)C作直徑，交圓O于B′，并設(shè)直徑為2R.∵AC=AC，B′C是直徑∴∠B′=∠B，∠CAB′=90°在Rt△CAB′中，∴即.∴同理,可得=2R，＝2R(R為外接圓半徑)圖5-32想一想：如果將圖5-32中的三角形改成鈍角三角形，你能證明嗎？（課后思考題）（此法在將一般三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題時(shí)，通過(guò)構(gòu)建三角形的外接圓來(lái)進(jìn)行證明，不但證明了定理并且說(shuō)明了正弦定理比值的幾何意義即三角形的外接圓直徑）（總結(jié)：在此應(yīng)注意提醒學(xué)生考慮問(wèn)題的全面性，即注意對(duì)鈍角三角形情況的證明，體會(huì)分類(lèi)討論思想的應(yīng)用）通過(guò)以上證明，我們說(shuō)明對(duì)于銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形來(lái)說(shuō)，上面的關(guān)系式均成立，因此我們得到下面的定理正弦定理：在一個(gè)三角形中各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，均為三角形外接圓的直徑即==(外接圓半徑)。（這一部分的設(shè)計(jì)，首先通過(guò)實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生的思維盡快進(jìn)入探究正弦定理這個(gè)主題，逐步完成“研究特例”——“提出問(wèn)題”——“歸納猜想”——“理論探究”——“解決問(wèn)題”這一思維和解決問(wèn)題的操作過(guò)程，進(jìn)而形成解決問(wèn)題的能力。同時(shí)，由實(shí)際問(wèn)題出發(fā)又與第三部分正弦定理的應(yīng)用相銜接。）一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形。以上是本節(jié)課的新課講解過(guò)程，下面通過(guò)兩個(gè)例題，來(lái)深化和鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容。3、實(shí)例分析，深化理解教師分析，正弦定理實(shí)際上可以寫(xiě)成三個(gè)等式，實(shí)際應(yīng)用時(shí)根據(jù)題意選取，每一個(gè)等式中有兩邊與兩角，引導(dǎo)學(xué)生歸納出正弦定理可解決的兩類(lèi)解三角形問(wèn)題：（1）已知兩角與一邊（2）已知兩邊與其中一邊的對(duì)角即知三求一，另正弦定理適合于任何三角形。三、講解范例例1．在中，已知∠B=60°,∠C=15°,，求b,c的值.解:∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-15°=105°.∵∴,.說(shuō)明：正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，是解三角形時(shí)常用的兩個(gè)定理，并且在解題過(guò)程中經(jīng)常聯(lián)合使用.本題是已知三角形的兩個(gè)內(nèi)角和一條邊，求三角形的其他兩條邊，這是利用正弦定理求解的典型問(wèn)題之一.例2已知在△ABC中，∠A=45°，求c,∠B,∠C.分析：由a,b,∠A，根據(jù)正弦定理可求得sinB，由于0°<∠B<180°,因此對(duì)于0<sinB<1的每一個(gè)值，都有兩個(gè)∠B值和它對(duì)應(yīng)，因此求解這一類(lèi)問(wèn)題時(shí)，需要討論，不要漏掉解.解：∵∴.∵∠B是三角形內(nèi)角，∴0°<∠B<180°∴∠B=60°，∠B=120°，都符合題意.當(dāng)∠B=60°時(shí)，∠C=180°—（∠A+∠B）=75°,當(dāng)∠B=120°時(shí)，∠C=180°—（∠A+∠B）=15°,所以，本題有兩個(gè)解：（1）∠B=60°，∠C=75°，c=；（2）∠B=120°，∠C=15°，c=.說(shuō)明：已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求三角形的其他邊和角，是利用正弦定理求解的又一種典型問(wèn)題.應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。練一練：根據(jù)正弦定理，解下列問(wèn)題：已知，c=4，∠B=30°，求∠C.已知a=6，，∠A=120°，求∠B.已知a=3，b=5，∠B=100°，求∠A.（這三個(gè)練習(xí)題是針對(duì)以上例題設(shè)計(jì)的鞏固練習(xí)。練習(xí)主要是針對(duì)已知兩邊及其中一個(gè)對(duì)角問(wèn)題，目的在于分析多解問(wèn)題的鞏固）[課堂小結(jié)]（由學(xué)生歸納總結(jié)）定理的表示形式：2R（R為三角形外接圓半徑）（2）用正弦定理求解三角形，主要有下面兩種情況：①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；②已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。練習(xí)填空：已知在△ABC中，,∠A=45°,∠C=60°,則b=____,c=___;已知在△ABC中，,b=2,∠A=30°,則角B的度數(shù)為_(kāi)__；已知在△ABC中，sinA:sinB=1:3，則a:b=_______;已知在△ABC中，a:sinA=4,∠B=120°，則b=_____，2.一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的比為3:4:5，它的最短邊長(zhǎng)為4cm，求這個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊。評(píng)價(jià)分析我認(rèn)為我的這堂課的設(shè)計(jì)基本符合新課程改革的理念.在整堂課的設(shè)計(jì)中,我充分考慮了數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)和高中學(xué)生的心理特點(diǎn),運(yùn)用了已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)的參與學(xué)習(xí),幫助他