七年級數(shù)學(xué)上冊專題4.3 平面圖形中的動點問題（強化）（解析版）

/專題4.3平面圖形中的動點問題【例題精講】如圖，是線段上不同于點，的一點，，，兩動點分別從點，同時出發(fā)在線段上向左運動（無論誰先到達(dá)點，均停止運動），點的運動速度為，點的運動速度為．（1）若，①當(dāng)動點，運動了時，12；②當(dāng)，兩點間的距離為時，則運動的時間為；（2）當(dāng)點，在運動時，總有，①求的長度；②若在直線上存在一點，使，求的長度．【解答】解：（1）①，，，動點，運動了，，，，，，故答案為：12；②設(shè)運動時間為，，，，，，，故答案為：4；（2）①，，，，，，，，；②當(dāng)點在點右側(cè)時，，，；當(dāng)點在之間時，，，，，，，；綜上所述：的長度為或．已知，為內(nèi)部的一條射線（1）如圖1，若平分，平分，的度數(shù)為；（2）如圖2，在內(nèi)部，且，平分，平分（射線在射線左側(cè)），求的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，繞點運動過程中，若，求的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖1，平分，平分，，，；故答案為：；（2）平分，平分，，，；（3）當(dāng)在的右側(cè)時，如圖2，設(shè)，則，平分，平分，，，，即，，解得，即，當(dāng)在的左側(cè)時，如圖3，設(shè)，則，平分，平分，，，，，解得，答：的度數(shù)為或．【題組訓(xùn)練】1．如圖，已知線段，點為線段上的一個動點，點，分別是和的中點．（1）若，求的長；（2）若把“點在線段上”改為“點在直線上”，當(dāng)時，求的長．（請畫出圖形，說明理由）【解答】解：（1），，，點、分別是和的中點，，，；（2）分兩種情況：①當(dāng)點在線段上，由（1）得；②當(dāng)點在直線上，如下圖所示，，，且是的中點，，又分別是的中點，，，當(dāng)在直線上時，線段的長度是．綜上所述，的長是．2．如圖①，已知點是線段上一點，點在線段上，點在線段上，、兩點分別從、出發(fā)以、的速度沿直線運動，運動方向如箭頭所示．（1）若，，當(dāng)點、運動了，求的值．（2）若點、運動時，總有，則：．（3）如圖②，若，點是直線上一點，且，求的值．【解答】解：（1）當(dāng)點、運動了時，，，，（2），兩點的速度分別為，3，．又，，即，；（3）當(dāng)點在線段上時，如圖，又，，即．當(dāng)點在線段的延長線上時，如圖，又，即．綜上所述或1．3．如圖，為內(nèi)一條射線，的余角是它自身的兩倍．（1）求的度數(shù)；（2）射線從開始，在內(nèi)以的速度繞著點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到停止，同時射線在內(nèi)從開始以的速度繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)到停止，設(shè)運動時間為秒．①若，運動的任一時刻，均有，求的度數(shù)；②為內(nèi)任一射線，在①的條件下，當(dāng)時，以為邊所有角的度數(shù)和的最小值為．【解答】解：（1）設(shè)，則的余角，依題意有：，，；（2）①運動時間為秒，則，，，，設(shè)，又，則有：，解得：，，②當(dāng)與重合時，以為邊所有角的度數(shù)和的有最小值，當(dāng)時，以為邊所有角的度數(shù)和的最小值為．故答案為：4．如圖，平面內(nèi)一定點在直線的上方，點為直線上一動點，作射線、、，當(dāng)點在直線上運動時，始終保持、，將射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到射線（1）如圖1，當(dāng)點運動到使點在射線的左側(cè)，若平分，求的度數(shù)．（2）當(dāng)點運動到使點在射線的左側(cè)，時，求的值．（3）當(dāng)點運動到某一時刻時，，直接寫出105或135或75或45度．【解答】（本題10分）解：（1）平分，設(shè)，，，，，，；（2）①當(dāng)點運動到使點在射線的左側(cè)，，設(shè)，．，，．．，．．．．．②當(dāng)點運動到使在射線的左側(cè)，但是射線在外部時．，設(shè)，，．．．．．（3）①如圖3，當(dāng)時，由圖可得：．，．．②如圖4，當(dāng)時，由圖可得：．，．．當(dāng)射線在下面時，或．綜上所述：的度數(shù)為或或或．故答案為：105或135或75或45．5．如圖1，是在數(shù)軸上一定點，表示的數(shù)是5，是數(shù)軸上一動點，從原點出發(fā)沿數(shù)軸正方向運動，速度為每秒1個單位長度，點在的右側(cè)，，點在點的左側(cè)，，設(shè)運動的時間為秒．（1）如圖2，若與點重合，求的長；（2）若在線段上運動，且，求的值；（3）整個運動過程中，當(dāng)時，寫出點所表示的數(shù)（直接寫出答案即可）．【解答】解：（1）當(dāng)點與點重合時，，點在點的左側(cè)，，點表示的數(shù)是5，點表示的數(shù)為3，．（2）當(dāng)點在線段上運動時，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，，，點表示的數(shù)為，，，解得：或．（3）點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，，，點表示的數(shù)為，，．當(dāng)時，有，解得：，，此時點表示的數(shù)為或1；當(dāng)時，有，解得：，此時點表示的數(shù)為2．綜上所述：整個運動過程中，當(dāng)時，點所表示的數(shù)為、1或2．6．如圖，已知，分別為數(shù)軸上的兩點，點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是50．（1）請寫出線段中點表示的數(shù)是10．（2）現(xiàn)有一只螞蟻從點出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左移動，同時另一只螞蟻恰好從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右移動，設(shè)兩只螞蟻在數(shù)軸上的點相遇．①求、兩點間的距離；②求兩只螞蟻在數(shù)軸上的點相遇時所用的時間；③求點對應(yīng)的數(shù)是多少？（3）若螞蟻從點出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，同時另一只螞蟻恰好從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸也向左運動，設(shè)兩只螞蟻在數(shù)軸上的點相遇，求點表示的數(shù)是多少？【解答】解：（1）中點表示的數(shù)是10．故答案為：10（2）①、兩點間的距離為：②兩只螞蟻在數(shù)軸上的點相遇時所用的時間為：（秒③點對應(yīng)的數(shù)是：（3）點表示的數(shù)是：7．已知數(shù)軸上有三點、、．（1）若，點對應(yīng)的數(shù)是200，，求點對應(yīng)的數(shù)；（2）在（1）的條件下動點、分別從、同時出發(fā)，其中向正方向運動，向反方向運動，的速度是的3倍多3個單位長度，20秒后相遇，求的速度和相遇地點對應(yīng)的數(shù)；（3）若，，為中點，對應(yīng)的數(shù)是，求的長以及點對應(yīng)的數(shù)．【解答】解：（1），，，點對應(yīng)的數(shù)是200，點對應(yīng)的數(shù)是；（2）設(shè)的速度是個單位長度秒，則的速度是個單位長度秒，由題意得：，，，相遇地點對應(yīng)的數(shù)是；（3）如圖，，，，，為中點，，對應(yīng)的數(shù)是，點對應(yīng)的數(shù)是．8．如圖，數(shù)軸上有、、、、五個點，點為原點，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是5，線段的長度為3個單位，線段的長度為1個單位，且、兩點之間的距離為12個單位，請解答下列問題：（1）點在數(shù)軸上表示的數(shù)是8，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是；（2）若點以每秒2個單位的速度沿數(shù)軸向右勻速運動秒運動到點處，且的長度是2個單位，求點運動的時間；（3）把線段的中點記作，如果線段以每秒2個單位的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，同時點以每秒4個單位的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，直接寫出點與線段的一個端點的距離為1.5個單位時運動的時間．【解答】解：（1）點在數(shù)軸上表示的數(shù)是5，線段的長度為3個單位，且點在點右側(cè)，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為8．線段的長度為1個單位，且、兩點之間的距離為12個單位，且點在點的左側(cè)，點在點的左側(cè)，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為．故答案為：8；．（2）點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，的長度是2個單位，，解得：或．點的運動時間為5秒或7秒．（3）點在數(shù)軸上表示的數(shù)為5，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為8，點為線段的中點，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為．運動時間為時，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，當(dāng)時，有，解得：或；當(dāng)時，有，解得：或．綜上所述：點與線段的一個端點的距離為1.5個單位時運動的時間為2秒、秒、秒或秒．9．如圖甲，點是線段上一點，、兩點分別從、同時出發(fā)，以、的速度在直線上運動，點在線段之間，點在線段之間．（1）設(shè)、兩點同時沿直線向左運動秒時，，求的值；（2）在（1）的條件下，若、運動秒后都停止運動，此時恰有，求的長；（3）在（2）的條件下，將線段在線段上左右滑動如圖乙（點在之間，點在之間），若、分別為、的中點，試說明線段的長度總不發(fā)生變化．【解答】解：（1）設(shè)，則，又，，，；（2）設(shè)，，又，，由，得，，，；（3）在（2）中有，，，，設(shè)，，，，．10．如圖，是線段上一點，且，、兩點分別從、同時出發(fā)，點以的速度向點運動，點以的速度向點運動，當(dāng)一點到達(dá)終點時，另一點也停止運動．（1）當(dāng)，點、運動了時，求這時與的數(shù)量關(guān)系；（2）若點、運動了時，恰好點是的中點，求的長；（3）若點、運動時，總有，求的長．【解答】解：（1），，．當(dāng)、運動時，，，．，．（2）當(dāng)、運動時，，．是的中點，，，．（3）設(shè)、運動，則，，，設(shè)，則．，．，．11．如圖，已知線段，，線段在線段上運動，、分別是、的中點．（1）若，7；（2）當(dāng)線段在線段上運動時，試判斷的長度是否發(fā)生變化？如果不變，請求出的長度，如果變化，請說明理由．【解答】解：（1），，，，、分別是、的中點，，，；故答案為：7；（2）不改變，理由：，，，、分別是、的中點，，，，．12．點為直線上一點，過點作射線，使，將一直角的頂點放在點處，．（1）如圖1，當(dāng)?shù)囊贿吪c射線重合時，則；（2）將繞點逆時針運動至圖2時，若，則；．（3）在上述從圖1運動到圖3的位置過程中，當(dāng)?shù)倪吽谥本€恰好平分時，求此時是多少度？【解答】解：（1），，．故答案為：；（2）；，，；故答案為：；；（3）①當(dāng)平分時，，，，平分，，；②當(dāng)?shù)姆聪蜓娱L線平分時，如圖，作的反向延長線，則，，平分，，．綜上所述，的度數(shù)為或．13．已知數(shù)軸上有，兩點，分別代表，20，兩只電子螞蟻甲，乙分別從兩點同時出發(fā)，甲沿線段以3個單位長度秒的速度向右運動，甲到達(dá)點處時運動停止，乙沿方向以5個單位長度秒的速度向左運動．（1），兩點間的距離為60個單位長度；甲到達(dá)點時共運動了秒．（2）甲，乙在數(shù)軸上的哪個點相遇？（3）多少秒時，甲、乙相距28個單位長度？（4）若乙到達(dá)點后立刻掉頭并保持速度不變，則甲到達(dá)點前，甲，乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，求出相遇點所對應(yīng)的數(shù)；若不能，請說明理由．【解答】解：（1）、兩點的距離為，甲到達(dá)點時共運動了秒；故答案為：60，20；（2）設(shè)它們按上述方式運動，甲，乙經(jīng)過秒會相遇，根據(jù)題意得，解得，．答：甲，乙在數(shù)軸上的點相遇；（3）兩種情況，相遇前，設(shè)秒時，甲、乙相距28個單位長度，根據(jù)題意得，，解得：，第一次相遇后，設(shè)秒時，甲、乙相距28個單位長度，根據(jù)題意得，，解得：，答：4秒或11秒時，甲、乙相距28個單位長度；（4）甲到達(dá)點前，甲，乙不能在數(shù)軸上相遇，理由：設(shè)甲到達(dá)點前，甲，乙經(jīng)過秒在數(shù)軸上相遇，根據(jù)題意得，，解得：，，故甲，乙不能在數(shù)軸上相遇．14．如圖，已知點為直線上一點，射線和在直線的兩側(cè)，，，、分別平分、，射線以秒的速度繞點順時針勻速旋轉(zhuǎn)，射線以秒的速度繞點逆時針勻速旋轉(zhuǎn)．設(shè)運動時間為秒．（1）運動開始前，的度數(shù)是多少？請寫出計算過程．（2）當(dāng)為多少時，？請寫出計算過程．（3）當(dāng)為多少時，射線和射線在同一條直線上？請寫出計算過程．【解答】解：（1）平分，．同理．．．；（2），．或或，解得或或，答：的值為6或14或96時，；（3）①當(dāng)與重合時，即與重合在一起，解得．②當(dāng)與互為反向延長線上時，解得：答：的值為10或70時．15．如圖，已知數(shù)軸上有三點、、，它們對應(yīng)的數(shù)分別為，，，且，點對應(yīng)的數(shù)是20．（1）若，求、的值；（2）在（1）的條件下，動點、分別從、兩點同時出發(fā)向左運動，同時動點從點出發(fā)向右運動，點、、的速度分別為8個單位長度秒、4個單位長度秒、2個單位長度秒，點為線段的中點，點為線段的中點，在、相遇前，多少秒時恰好滿足？（3）在（1）的條件下，為原點，動點、分別從、同時出發(fā)，向左運動，向右運動，點的運動速度為8個單位長度秒，點的運動速度為4個單位長度秒，為的中點，為的中點，在、運動的過程中，的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，請說明理由．【解答】解：（1）如圖1，，，點對應(yīng)20，點對應(yīng)的數(shù)為：，點對應(yīng)的數(shù)為：，的值為，的值為；（2）如圖2，由（1）可得，設(shè)秒時，在右邊時，恰好滿足，，，當(dāng)時，，解得：，秒時恰好滿足；（3）如圖3，設(shè)運動的時間為，則，，由（1）可得，點表示20，，，，，為的中點，為的中點，，，，，即的值不發(fā)生變化，是定值10．16．如圖：在數(shù)軸上點表示的數(shù)是，點與點的距離為7個單位長度，（1）點表示的數(shù)是或3；（2）當(dāng)點在點右側(cè)時，動點從點出發(fā)以每秒3個單位長度向右運動；同時，另一動點從點出發(fā)以每秒2個單位長度也向右運動，設(shè)運動時間為．當(dāng)為何值時，點與點的距離為3個單位長度？（3）在（2）問的條件下，動點到達(dá)點后立即以原來的速度返回到點，此時點、同時停止運動．在整個運動過程中，設(shè)運動時間為．當(dāng)時，求的值．【解答】解：（1）在數(shù)軸上點表示的數(shù)是，點與點的距離為7個單位長度，點表示的數(shù)是或3，故答案為：或3；（2）根據(jù)題意得，或，或，答：為4或10時，點與點的距離為3個單位長度；（3）或，，當(dāng)時，即或，解得：或，當(dāng)時，的值是1.5或．17．如圖1，已知線段，點是線段上一點，點在線段上，點在線段上，、兩點分別從、出發(fā)以、的速度沿直線運動，運動方向如箭頭所示，其中、滿足條件：．（1）直接寫出：1，；（2）若，當(dāng)點、運動了，求的值；（3）如圖2，若，點是直線上一點，且，求與的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得，，，可得：，．故答案為：1，3；（2）當(dāng)、運動時，，，．（3）①當(dāng)點在線段上時，，又，，．②當(dāng)點在線段的延長線上時，，又，．（9分）綜上所述，或．18．如圖1，點、、依次在直線上，現(xiàn)將射線繞點沿順時針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，同時射線繞點沿逆時針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，直線保持不動，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為，單位秒）（1）當(dāng)時，求的度數(shù)；（2）在運動過程中，當(dāng)?shù)诙芜_(dá)到時，求的值；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在這樣的，使得射線與射線垂直？如果存在，請求出的值；如果不存在，請說明理由．【解答】解：（1）當(dāng)時，．（2）依題意，得：，解得：．答：當(dāng)?shù)诙芜_(dá)到時，的值為．（3）當(dāng)時，，解得：；當(dāng)時，或，解得：或．答：在旋轉(zhuǎn)過程中存在這樣的，使得射線與射線垂直，的值為9、27或45．19．如圖，直線、相交于點，，．（1）若，則．（2）從（1）的時刻開始，若將繞點以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周，求運動多少秒時，直線平分．（3）從（1）的時刻開始，若將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周，如果射線是的角平分線，請直接寫出此過程中與的數(shù)量關(guān)系．（不考慮與、重合的情況）【解答】解：（1），，，，，，故答案為：；（2）情況1：如圖：平分，，，設(shè)運動秒時平分，根據(jù)題意得，，解得，；情況2：如圖：平分，，，設(shè)運動秒時平分，根據(jù)題意得，，解得，，綜上，運動11或23秒時，直線平分；（3）①，如圖：②，如圖：③，如圖：④，如圖：綜上，或．20．已知，過頂點作射線，若，則稱射線為的“好線”，因此的“好線”有兩條，如圖1，射線，都是的“好線”．（1）已知射線是的“好線”，且，求的度數(shù)．（2）如圖2，是直線上的一點，，分別是和的平分線，已知，請通過計算說明射線是的一條“好線”．（3）如圖3，已知，．射線和分別從和同時出發(fā)，繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，的速度為每秒，的速度為每秒，當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)到上時，兩條射線同時停止．在旋轉(zhuǎn)過程中，射線能否成為的“好線”．若不能，請說明理由；若能，請求出符合條件的所有的旋轉(zhuǎn)時間．【解答】解：（1）是的“好線”，且，，①當(dāng)在的外部時，，②當(dāng)在的內(nèi)部時，．（2）是的平分線，且，，，，是的平分線，，，是的一條“好線”；（3）設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為秒，①，，②，，綜上所述，所有符合條件的旋轉(zhuǎn)時間為5秒或秒．21．（1）如圖，，，在外部，平分，平分，則45度．（2）若，其他條件不變，則度．（3）若為銳角），其他條件不變，則度．（4）若且為銳角），且點在的上方，求的度數(shù)．（請在圖2中畫出示意圖并解答）【解答】解：，，，又為平分線，為平分線，，，；故答案為：45．（1），，，又為平分線，為平分線，，，；故答案為：．（2）當(dāng)時．，，，又為平分線，為平分線，，，；故答案為：45．（3）如圖所示：，，，又為平分線，為平分線，，，．22．將直角三角板的直角頂點放在直線上，射線平分．（1）如圖，若，求的度數(shù)；（2）若，求的度數(shù)；（3）將直角三角板繞頂點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中：當(dāng)時，求的度數(shù)．【解答】解：（1），，，（2）平分，，又，設(shè)，，，，，解得，；（3）①當(dāng)在直線上方時，，，平分，，，，當(dāng)在直線下方時，，，平分，，，，綜上所述：的度數(shù)為或．23．已知，，，，是內(nèi)的射線．（1）如圖1，若平分，平分，，則60；（2）如圖2，若平分，平分，求的度數(shù)；（3）如圖3，是內(nèi)的射線，若，平分，平分，當(dāng)射線在內(nèi)時，求的度數(shù)．【解答】解：（1），，，平分，，故答案為：60；（2）平分，平分，，，，；（3）設(shè)，則，平分，平分，，，．24．如圖所示，，，是以直線上一點為端點的三條射線，且，，，以為端點作射線，分別與射線，重合．射線從處開始繞點逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為1度秒，射線從處開始繞點順時針勻速旋轉(zhuǎn)，（射線旋轉(zhuǎn)至與射線重合時停止，射線旋轉(zhuǎn)至與射線重合時停止），兩條射線同時開始旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)速度旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)時間）．（1）直接寫出射線停止運動時的時間為180秒．（2）當(dāng)射線平分時，直接寫山它的旋轉(zhuǎn)時間是秒．（3）若射線的轉(zhuǎn)速為3度秒，當(dāng)時，直接寫出射線的旋轉(zhuǎn)時間是秒．（4）若時，射線旋轉(zhuǎn)到的位置恰好將分成度數(shù)比為的兩個角，直接寫出射線的旋轉(zhuǎn)速度是度秒．【解答】解：（1）射線旋轉(zhuǎn)至與射線重合時停止，旋轉(zhuǎn)，射線停止運動時的時間為180秒．故答案為：180．（2），當(dāng)射線平分時，，此時旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為：，射線從處開始繞點逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為，旋轉(zhuǎn)的時間：．故答案為：55．（3）設(shè)射線旋轉(zhuǎn)的時間為，則①當(dāng)和在未重合之前，，；②當(dāng)和在重合之后，，解得；時按題目條件早已停止運動，但未停止，因此第二種情況．故經(jīng)過5秒或70秒．故答案為：5或70．（4）若，①當(dāng)在和之間時，，此時，，此時，此時旋轉(zhuǎn)時間：，那就旋轉(zhuǎn)了，旋轉(zhuǎn)到的位置恰好將分成度數(shù)比為的兩個角，分成2種情況，、，，此時，的旋轉(zhuǎn)速度，；、，，此時，此時，的旋轉(zhuǎn)速度，；②當(dāng)在左側(cè)時，，此時，，此時，此時旋轉(zhuǎn)時間：，那就旋轉(zhuǎn)了，旋轉(zhuǎn)到的位置恰好將分成度數(shù)比為的兩個角，分成2種情況，、，，此時，的旋轉(zhuǎn)速度；、，，此時，此時，的旋轉(zhuǎn)速度，，故答案為：或0.5或或．25．如圖，已知線段，，線段在直線上運動（點在點的左側(cè)，點在點的左側(cè)），若．（1）求線段，的長；（2）若點，分別為線段，的中點，，求線段的長；（3）當(dāng)運動到某一時刻時，點與點重合，點是線段的延長線上任意一點，下列兩個結(jié)論：①是定值，②是定值，請選擇你認(rèn)為正確的一個并加以說明．【解答】解：（1），，，，，，，；（2）如圖1，、分別為線段、的中點，，，；如圖2，、分別為線段、的中點，，，；（3）②正確．理由如下：，②是定值2．26．已知，，是的角平分線．（1）如圖1，當(dāng)時，求；（2）如圖2，若在內(nèi)部運動，且是的角平分線時，求的值；（3）在（1）的條件下，若射線從出發(fā)繞點以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，射線從出發(fā)繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，若射線、同時開始旋轉(zhuǎn)秒后得到，求的值．【解答】解：（1），，，，平分，，；（2）平分，，平分，，，又，；（3）分三種情況：①當(dāng)射線、在內(nèi)部時，即時，由題意得：，，，，，，解得：（舍去）；②當(dāng)射線在內(nèi)部時，射線在外部時，即時，則，，，解得：；③當(dāng)射線、在外部時，即時，則，，，解得：；綜上所述，的值為秒或秒．27．如圖，直線上有，兩點，，點是線段上的一點，．（1）8，；（2）若點是線段上一點（點不與點重合），且滿足，求的長；（3）若動點，分別從，同時出發(fā)，向右運動，點的速度為，點的速度為．設(shè)運動時間為，當(dāng)點與點重合時，，兩點停止運動．求當(dāng)為何值時，．【解答】解：（1），，，解得，．故答案為：8，4；（2）設(shè)的長為，分兩種情況：①點在線段上時，，，；②點在線段上時，，，（不符合題意，舍）．故的長是；（3）以點為原點，向右為正方向作數(shù)軸．后，點所到的點表示的數(shù)為；此時，點所到的點表示的數(shù)為．當(dāng)在的左側(cè)）時，，，，則，解得；當(dāng)在的右側(cè)）時，，，，則，解得．綜上所述，或8時，．28．如圖，已知點、、是數(shù)軸上三點，為原點．點對應(yīng)的數(shù)為6，，．（1）求點、對應(yīng)的數(shù)；（2）動點、分別同時從、出發(fā)，分別以每秒6個單位和3個單位的