第二章：解析函數(shù)

第二章：解析函數(shù)§1解析函數(shù)的概念1.

復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分(1)導(dǎo)數(shù)的定義定義設(shè)是定義在區(qū)域D上的復(fù)變函數(shù),存在，則稱(chēng)在點(diǎn)可導(dǎo),并把這個(gè)極限值稱(chēng)為

z0是區(qū)域D內(nèi)的一點(diǎn).若極限

在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記做或

定義中的極限式可以寫(xiě)為注意的方式是任意的.若在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo),則稱(chēng)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo).的導(dǎo)數(shù)。例1求例2問(wèn)是否可導(dǎo)。z(2)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

函數(shù)f(z)在z0處可導(dǎo)，則在z0處一定連續(xù),但函數(shù)f(z)在z0處連續(xù)不一定在z0處可導(dǎo).

由知,在復(fù)平面上處處不可導(dǎo).但是二元實(shí)函數(shù)連續(xù),于是根據(jù)知,函數(shù)連續(xù).(3)求導(dǎo)法則(1)其中c為復(fù)常數(shù).(2)其中n為正整數(shù).其中其中與是兩個(gè)互為反函數(shù)的單值函數(shù),且

復(fù)變函數(shù)可微的概念在形式上與一元實(shí)變函數(shù)的微分概念完全一致.

微分定義設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義,若存在復(fù)常數(shù)A,使得

則稱(chēng)在點(diǎn)可微，稱(chēng)A△z為(4)

微分的概念記作定理復(fù)變函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件是在點(diǎn)可微，且這個(gè)定理表明,函數(shù)在可導(dǎo)與在可微等價(jià).如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)處處可微,則稱(chēng)在區(qū)域D內(nèi)可微。2.

解析函數(shù)的概念定義設(shè)在區(qū)域D有定義.(1)設(shè),若存在的一個(gè)鄰域，使得在此鄰域內(nèi)處處可導(dǎo),則稱(chēng)在處解析,也稱(chēng)是的解析點(diǎn).(2)若在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱(chēng)在區(qū)域D內(nèi)解析,或者稱(chēng)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)(全純函數(shù)或正則函數(shù)).

(3)設(shè)G是一個(gè)區(qū)域，若閉區(qū)域且在G內(nèi)解析，則稱(chēng)在閉區(qū)域上解析.若函數(shù)在處不解析，則稱(chēng)是的奇點(diǎn).若是的奇點(diǎn),但在的某鄰域內(nèi),除外,沒(méi)有其他的奇點(diǎn)，則稱(chēng)是函數(shù)的孤立奇點(diǎn).δδ/2函數(shù)在處解析和在的某一個(gè)鄰域內(nèi)解析意義相同.

r=δ/2可導(dǎo)解析

復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在該區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價(jià)的.

事實(shí)上，復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析顯然在該區(qū)域內(nèi)可導(dǎo).

反之,設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo),則對(duì)任意存在z的某一個(gè)鄰域U,使得U

D,由在D內(nèi)可導(dǎo),可知在U內(nèi)可導(dǎo),即在z處解析.注:

上述結(jié)論對(duì)閉區(qū)域不成立。由例1和例2知,函數(shù)是全平面內(nèi)不解析的連續(xù)函數(shù).的解析函數(shù)，但是函數(shù)是處處例3：研究函數(shù)、和的解析性。根據(jù)求導(dǎo)法則，很容易得到下面的結(jié)論.1）設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析,則也在D內(nèi)解析.當(dāng)時(shí),是的解析點(diǎn).特別地,多項(xiàng)式P(z)在全平面內(nèi)解析,有理分式在復(fù)平面內(nèi)除分母為零的點(diǎn)之外解析,分母為零的點(diǎn)是有理分式的奇點(diǎn).定理：2）設(shè)函數(shù)在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析，函數(shù)在h平面上的區(qū)域G內(nèi)解析。如果對(duì)D

內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)z，函數(shù)的對(duì)應(yīng)值h都屬于G，那么復(fù)合函數(shù)在D內(nèi)解析。GD§2.2

函數(shù)解析的充要條件

判斷函數(shù)的解析性定義其他方法？（復(fù)雜）一、函數(shù)可導(dǎo)的充要條件定理一、復(fù)變函數(shù)處可微(即可導(dǎo))的充分必要可微，并且在該點(diǎn)滿(mǎn)足Cauchy-Riemann方程此時(shí)在區(qū)域D內(nèi)有定義，則在D內(nèi)一點(diǎn)條件是二元函數(shù)在處都),(yx證明：必要性因?yàn)樵趜可微，故由(2.1.2)式有對(duì)于充分小的其中設(shè)于是我們有從而由于所以由此可知，和在可微，且滿(mǎn)足方程且滿(mǎn)足Cauchy-Riemann方程.充分性.

設(shè)在處可微,由于由在處可微,有因此我們有再由柯西-黎曼方程有因?yàn)楣?，?dāng)△z趨向于零時(shí)，因此即函數(shù)在z=x+yi處可導(dǎo)。定理二復(fù)變函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析的充分必要條件是在區(qū)域D內(nèi)可微,且在D內(nèi)滿(mǎn)足Cauchy-Riemann方程二、函數(shù)解析的充要條件解析函數(shù)的判定方法:(1)定義(2)Cauchy-Riemann方程,例1判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析。例2設(shè)其中a,b,c,d是常數(shù)，問(wèn)它們?nèi)『沃禃r(shí),函數(shù)f(z)在復(fù)平面上解析.

例3

如果在區(qū)域D內(nèi)處處為零,則f(z)在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù).證明:由函數(shù)可導(dǎo)知所以都是常數(shù).因此f(z)在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù).例4：如果為一解析函數(shù)，且，那么曲線(xiàn)族與必互相正交。其中c1,c2為常數(shù).§2.3

初等函數(shù)1指數(shù)函數(shù)2對(duì)數(shù)函數(shù)3冪函數(shù)4三角函數(shù)和雙曲函數(shù)5反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)目的:

將指數(shù)函數(shù)推廣到復(fù)變數(shù)的情形.由42頁(yè)例1可知,函數(shù)在z平面上解析，且當(dāng)z為實(shí)數(shù),即當(dāng)y=0時(shí),與通常實(shí)指數(shù)函數(shù)一致,因此給出下面定義.

定義假設(shè)則由定義復(fù)指數(shù)函數(shù)，或簡(jiǎn)記為記顯然

定理設(shè)為指數(shù)函數(shù)，則在全平面解析，且從而其中n正整數(shù);(1)(2)當(dāng)時(shí),其中(3)是周期函數(shù),其周期是n非零整數(shù),(4)的充分必要條件是n為整數(shù).即2.

對(duì)數(shù)函數(shù)定義指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱(chēng)為對(duì)數(shù)函數(shù),即把滿(mǎn)足方程的函數(shù)稱(chēng)為z的對(duì)數(shù)函數(shù)，記作令則由可得從而由復(fù)數(shù)的相等的定義知,即其中k為整數(shù),或所以由于是多值的，所以是多值函數(shù).如果記則對(duì)數(shù)函數(shù)可寫(xiě)為對(duì)應(yīng)某個(gè)確定的k,稱(chēng)為對(duì)數(shù)函數(shù)的第k個(gè)個(gè)分支,對(duì)應(yīng)k=0的分支，稱(chēng)為對(duì)數(shù)函數(shù)主支.

即是對(duì)數(shù)主支,稱(chēng)為對(duì)數(shù)函數(shù)的主值.

對(duì)數(shù)函數(shù)各分支之間，僅差的整數(shù)倍例1：求以及他們的相應(yīng)主值。注：①負(fù)數(shù)也有對(duì)數(shù)②正實(shí)數(shù)的對(duì)數(shù)也是無(wú)窮多值的

定理設(shè)為任意復(fù)數(shù)，則注：①②對(duì)數(shù)函數(shù)的解析性.

考慮對(duì)數(shù)主支

其在即在除去原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面上,

處處連續(xù).定理1.8對(duì)數(shù)主支在區(qū)域上解析(如圖),并且D對(duì)于其他各給定的對(duì)數(shù)分支，因?yàn)?k確定),所以也有因此，對(duì)于確定的k,稱(chēng)為一個(gè)單值解析分支.補(bǔ)例求的值.解因?yàn)樗允聦?shí)上，以上結(jié)果還可以由直接得到．3.

冪函數(shù)定義設(shè)z為不等于零的復(fù)變數(shù),m為任意為一個(gè)復(fù)數(shù)，定義冪函數(shù)即當(dāng)z為正實(shí)變數(shù)，m為實(shí)數(shù)時(shí)，它與實(shí)冪函數(shù)的定義一致，而z為復(fù)變數(shù)，m為復(fù)數(shù)時(shí)1.當(dāng)m是整數(shù)時(shí)，是單值函數(shù)；2.當(dāng)m為有理數(shù)時(shí),其中為既約分?jǐn)?shù),那么是有限多值（q個(gè)）的，且3.當(dāng)m為無(wú)理數(shù)或虛部不為零的復(fù)數(shù)時(shí)，是無(wú)窮多值的.注:上述定義實(shí)質(zhì)上包含了復(fù)數(shù)的n次冪函數(shù)

與n次方根函數(shù)的定義.因?yàn)?1)當(dāng)m=n(n是正整數(shù))時(shí),(指數(shù)為n項(xiàng)之和)(n個(gè)因子之積)(n個(gè)因子z之積)當(dāng)z給定時(shí)，它與復(fù)數(shù)z的n次方根的定義完全一致.(2)當(dāng)時(shí)，有因?yàn)榈拿恳粋€(gè)分支都在區(qū)域上解析,所以?xún)绾瘮?shù)在該區(qū)域上解析,并且根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式,可得解例2求和的值.因?yàn)閷墒较嗉优c相減,得定義1.10定義三角函數(shù)與雙曲函數(shù)如下:正弦函數(shù)余弦函數(shù)4三角函數(shù)和雙曲函數(shù)雙曲正弦函數(shù)雙曲余弦函數(shù)

當(dāng)z是實(shí)變數(shù)時(shí)，它們與實(shí)的正弦、余弦、雙曲正弦、雙曲余弦函數(shù)是一致的.由于在復(fù)平面上是解析的，所以正弦、余弦、雙曲正弦、雙曲余弦函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上都是解析的.容易證明并且具有下面的一些性質(zhì):是以(1)為周期的周期函數(shù)；是以為周期的周期函數(shù).(2)為奇函數(shù);為偶函數(shù).(3)一些恒等式關(guān)系仍成立.(4)

三角函數(shù)與雙曲函數(shù)滿(mǎn)足關(guān)系式(5)

不是有界函數(shù).因?yàn)樗噪m然但是當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),即是無(wú)界函數(shù).這與實(shí)正弦函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別.余弦函數(shù)類(lèi)似.補(bǔ)例解方程解由得到關(guān)于的二次方程其根為兩邊取對(duì)數(shù)，有例1.20解方程解因?yàn)樗栽匠炭筛膶?xiě)為即所以可化簡(jiǎn)得