隨機(jī)變量的數(shù)字特征-課件

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數(shù)學(xué)期望 方差 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)其它數(shù)字特征

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征1 第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征2

在一些實(shí)際問(wèn)題中，我們需要了解隨機(jī)變量的分布函數(shù)外，更關(guān)心的是隨機(jī)變量的某些特征。問(wèn)題的提出：2 在一些實(shí)際問(wèn)題中，我們需要了解隨機(jī)變量的分布函數(shù)外，更關(guān)3

例：

在評(píng)定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時(shí)，最關(guān)心的是平均產(chǎn)量；在檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)，既需要注意纖維的平均長(zhǎng)度，又需要注意纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度；

考察杭州市區(qū)居民的家庭收入情況，我們既知家庭的年平均收入，又要研究貧富之間的差異程度。3例：4試問(wèn)哪個(gè)射手技術(shù)較好?例:誰(shuí)的技術(shù)比較好?乙射手甲射手4試問(wèn)哪個(gè)射手技術(shù)較好?例:誰(shuí)的技術(shù)比較好?乙射手甲射手5

解：計(jì)算甲的平均成績(jī)：

計(jì)算乙的平均成績(jī)：

所以甲的成績(jī)好于乙的成績(jī)。

56定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為若級(jí)數(shù)則稱(chēng)級(jí)數(shù)的值為X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)，即4.1數(shù)學(xué)期望(一)數(shù)學(xué)期望定義6定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為4.1數(shù)學(xué)期望(一)7定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，若積分則稱(chēng)積分的值為X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)，即數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱(chēng)期望，又稱(chēng)均值。7定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，若積分?jǐn)?shù)8例1.1澳門(mén)賭場(chǎng)猜大小游戲中有買(mǎi)4點(diǎn)的游戲，游戲規(guī)則如下，擲3顆骰子，點(diǎn)數(shù)之和為4賭場(chǎng)輸，賭場(chǎng)賠率1賠50,否則其押金歸賭場(chǎng)所有,問(wèn)此規(guī)則對(duì)賭場(chǎng)還是賭客更有利?8例1.1澳門(mén)賭場(chǎng)猜大小游戲中有買(mǎi)4點(diǎn)的游戲，游戲規(guī)則如9解：顯然賭客猜中4點(diǎn)的概率為3/216=1/72.設(shè)一賭客押了1元,那么根據(jù)規(guī)則,他贏50元的概率為1/72,輸1元的概率為71/72.因此經(jīng)過(guò)一次賭博,他能"期望"得到的金額為:所以對(duì)賭場(chǎng)有利.9解：顯然賭客猜中4點(diǎn)的概率為3/216=1/72.10例1.2設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為證明X不存在數(shù)學(xué)期望.證明:由于

即該無(wú)窮級(jí)數(shù)是發(fā)散的，由數(shù)學(xué)期望定義知，X不存在數(shù)學(xué)期望.10例1.2設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為證明:由于11例1.3設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為證明X不存在數(shù)學(xué)期望.證明:由于

由數(shù)學(xué)期望定義知，X不存在數(shù)學(xué)期望.11例1.3設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為證明:由于121213131414151516例1.7某廠(chǎng)生產(chǎn)的電子產(chǎn)品,其壽命(單位:年)服從指數(shù)分布,概率密度函數(shù)為若每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為350元,出售價(jià)格為500元,并向顧客承諾,如果售出一年之內(nèi)發(fā)生故障,則免費(fèi)調(diào)換一件;如果在三年之內(nèi)發(fā)生故障,則予以免費(fèi)維修,維修成本為50元.在這樣的價(jià)格體系下,請(qǐng)問(wèn):該廠(chǎng)每售出一件產(chǎn)品,其平均凈收入為多少?

16例1.7某廠(chǎng)生產(chǎn)的電子產(chǎn)品,其壽命(單位:年)服從指17解：記某件產(chǎn)品壽命為X(年),售出一件產(chǎn)品的凈收入為Y(元)，則由于X服從指數(shù)分布，那么17解：記某件產(chǎn)品壽命為X(年),售出一件產(chǎn)品的凈收入為Y(18即Y的分布律為因此售出一件產(chǎn)品的平均凈收入為18即Y的分布律為因此售出一件產(chǎn)品的平均凈收入為19(二)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望19(二)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望20定理的重要意義在于，求E(Y)時(shí)，不必算出Y的分布律或概率密度函數(shù)，只利用X的分布律或概率密度函數(shù);可以將定理推廣到兩個(gè)或兩個(gè)以上隨機(jī)變量的函數(shù)的情況.20定理的重要意義在于，求E(Y)時(shí)，不必算出Y的分21212222232324

例1.9設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為：求E(X),E(XY).

24例1.9設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為：25

例1.9設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為：求E(X),E(XY).

25例1.9設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為：26例1.10某商店經(jīng)銷(xiāo)某種商品，每周進(jìn)貨量X與需求量Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，都~U[10,20].商店每售出一單位商品可獲利1萬(wàn)元，若需求量超過(guò)進(jìn)貨量，商店可從其他處調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)每單位商品獲利0.5萬(wàn)元；求商店經(jīng)銷(xiāo)該商品每周所獲利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望.26例1.10某商店經(jīng)銷(xiāo)某種商品，每周進(jìn)貨量X與需求量Y是272728例1.11設(shè)按季節(jié)出售的某種應(yīng)時(shí)產(chǎn)品的銷(xiāo)售量X(單位:噸)服從[5,10]上的均勻分布.若銷(xiāo)售出一噸產(chǎn)品可盈利C1

=2萬(wàn)元;但若在銷(xiāo)售季節(jié)未能售完,造成積壓,則每噸產(chǎn)品將會(huì)凈虧損C2=0.5萬(wàn)元.若該廠(chǎng)家需要提前生產(chǎn)該種商品,為使廠(chǎng)家能獲得最大的期望利潤(rùn),問(wèn):應(yīng)在該季生產(chǎn)多少?lài)嵁a(chǎn)品最為合適?28例1.11設(shè)按季節(jié)出售的某種應(yīng)時(shí)產(chǎn)品的銷(xiāo)售量X(單位29解：設(shè)應(yīng)在該季生產(chǎn)a噸產(chǎn)品，所獲利潤(rùn)為Y萬(wàn)元，則Y依賴(lài)于銷(xiāo)售量X及產(chǎn)量a，

29解：設(shè)應(yīng)在該季生產(chǎn)a噸產(chǎn)品303031(三)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù)，則有E(C)=C,2.設(shè)X是隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有E(CX)=CE(X),3.設(shè)X,Y是隨機(jī)變量,

則有E(X+Y)=E(X)+E(Y),合起來(lái)為E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c.推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量線(xiàn)性組合：31(三)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù)，則有E(C)=C,324.設(shè)X,Y是相互獨(dú)立隨機(jī)變量,

則有

E(XY)=E(X)E(Y),推廣到任意有限個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量之積：324.設(shè)X,Y是相互獨(dú)立隨機(jī)變量,則有33下面僅對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量給予證明證明：33下面僅對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量給予證明證明：34343535363637例1.13一專(zhuān)用電梯載著12位乘客從一層上升，最高11層.假設(shè)中途沒(méi)有乘客進(jìn)入，每位乘客獨(dú)立等概率地到達(dá)各層.如果沒(méi)有乘客到達(dá)某層樓，電梯在該層就不停.記電梯停留次數(shù)為X，求E(X).

(設(shè)電梯到達(dá)11層后乘客全部下完)37例1.13一專(zhuān)用電梯載著12位乘客從一層上升，最高1138

解：引入隨機(jī)變量：

38解：引入隨機(jī)變量： 39

本題是將X分解成數(shù)個(gè)隨機(jī)變量之和，然后利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和來(lái)求數(shù)學(xué)期望，這種處理方法具有一定的普遍意義。39本題是將X分解成數(shù)個(gè)隨機(jī)變量之和，然后利用隨機(jī)變量和的4040414142424343444445454646474748484949505051515252534.2方差設(shè)有一批燈泡壽命為：一半約950小時(shí)，另一半約1050小時(shí)→平均壽命為1000小時(shí)；另一批燈泡壽命為：一半約1300小時(shí)，另一半約700小時(shí)→平均壽命為1000小時(shí)；問(wèn)題：哪批燈泡的質(zhì)量更好？ 單從平均壽命這一指標(biāo)無(wú)法判斷，進(jìn)一步考察燈泡壽命X與均值1000小時(shí)的偏離程度。方差─正是體現(xiàn)這種意義的數(shù)學(xué)特征。534.2方差設(shè)有一批燈泡壽命為：一半約950小時(shí)，另一半54(一)方差的定義定義設(shè)X是隨機(jī)變量，若存在，則稱(chēng)其為X的方差，記為Var(X)或D(X),即將記為稱(chēng)為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，它與X有相同的量綱.方差Var(X)刻畫(huà)了X取值的分散程度，若X取值比較集中，則Var(X)較小，反之，若X取值比較分散，則Var(X)較大.因此Var(X)是衡量X取值分散程度的一個(gè)指標(biāo).54(一)方差的定義定義設(shè)X是隨機(jī)變量，若55對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X，55對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X，56

此外，利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可得方差的計(jì)算公式：56此外，利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可得方差的計(jì)算公式：57例2.1設(shè)隨機(jī)變量X具有0-1分布，其分布律為：解：57例2.1設(shè)隨機(jī)變量X具有0-1分布，其分布律為：585859解：X的密度函數(shù)為：59解：X的密度函數(shù)為：60例2.4設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為：60例2.4設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為：61(二)方差的性質(zhì)：61(二)方差的性質(zhì)：62推廣到任意有限個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量線(xiàn)性組合的情況62推廣到任意有限個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量線(xiàn)性組合的情況63證明：63證明：646465Xkp011-pp65Xkp011-pp66666767隨機(jī)變量的數(shù)字特征-課件69表1幾種常見(jiàn)分布的均值與方差數(shù)學(xué)期望方差

分布率或密度函數(shù)

分布69表1幾種常見(jiàn)分布的均值與方差數(shù)學(xué)期望方差分布率隨機(jī)變量的數(shù)字特征-課件717172

定義：設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望72定義：設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望734.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差的計(jì)算公式：方差性質(zhì)的補(bǔ)充：734.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差的計(jì)算公式：方差性質(zhì)的補(bǔ)充74協(xié)方差的性質(zhì)：74協(xié)方差的性質(zhì)：75思考題：75思考題：76定義稱(chēng)為X與Y的相關(guān)系數(shù).它無(wú)量綱的量.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì):76定義相關(guān)系數(shù)的性質(zhì):77續(xù)77續(xù)78續(xù)78續(xù)797980808181828283例3.1設(shè)X,Y服從同一分布，其分布律為：

X-101

p1/41/21/4

已知,判斷X和Y是否不相關(guān)？是否獨(dú)立？

83例3.1設(shè)X,Y服從同一分布，其分布律為：已知8484858586續(xù)86續(xù)878788888989904.4其它數(shù)字特征

904.4其它數(shù)字特征9191929293