【解析】上海市黃浦區(qū)格致中學(xué)2023屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試卷

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一、單選題

1．（2023高二上·陽高月考）一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是4.8，方差是3.6，若將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上60，得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（）

A．55.2，3.6B．55.2，56.4C．64.8，63.6D．64.8，3.6

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

【解析】【解答】設(shè)這組數(shù)據(jù)分別為，

由其平均數(shù)為，方差是，則有，

方差，

若將這組數(shù)據(jù)中每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上，則數(shù)據(jù)為，

則其平均數(shù)為，

方差為，

故答案為：D.

【分析】利用平均數(shù)公式和方差公式求出一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，再利用一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是4.8，方差是3.6，再結(jié)合將這組數(shù)據(jù)中每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上，則變形求出所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差。

2．（2023高三上·黃浦期中）已知平面，直線，滿足，且互為異面直線，則“且”是“”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；直線與平面垂直的判定

【解析】【解答】充分性：互為異面直線，且，

則內(nèi)必存在兩條相交直線，使得，

若且，則且，，故充分性成立；

必要性：互為異面直線，且，

則內(nèi)必存在兩條相交直線，使得，

若，則且，且，故必要性成立，

“且”是“”的充要條件.

故答案為：C.

【分析】內(nèi)必存在兩條相交直線，使得，從而可推出.

3．（2023高三上·黃浦期中）設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足且，則的取值范圍為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用

【解析】【解答】畫出函數(shù)的圖像如圖所示：

互不相等的實(shí)數(shù)，滿足，

可得，，，

，，，

，，，

則的取值范圍是.

故答案為：C.

【分析】畫出函數(shù)圖象可得且，則可求出.

4．（2023高三上·黃浦期中）設(shè)集合中至少兩個(gè)元素，且滿足：①對(duì)任意，若，則，②對(duì)任意，若，則，下列說法正確的是（）

A．若有2個(gè)元素，則有3個(gè)元素

B．若有2個(gè)元素，則有4個(gè)元素

C．存在3個(gè)元素的集合，滿足有5個(gè)元素

D．存在3個(gè)元素的集合，滿足有4個(gè)元素

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】元素與集合的關(guān)系；集合中元素的個(gè)數(shù)問題

【解析】【解答】若有2個(gè)元素，不妨設(shè)，

以為中至少有兩個(gè)元素，不妨設(shè)，

由②知，因此集合中的兩個(gè)元素必為相反數(shù)，故可設(shè)，

由①得，由于集合中至少兩個(gè)元素，故至少還有另外一個(gè)元素，

當(dāng)集合有個(gè)元素時(shí)，由②得：，則或.

當(dāng)集合有多于個(gè)元素時(shí)，不妨設(shè)，

其中，

由于，所以，

若，則，但此時(shí)，

即集合中至少有這三個(gè)元素，

若，則集合中至少有這三個(gè)元素，

這都與集合中只有2個(gè)運(yùn)算矛盾，

綜上，，A符合題意；

當(dāng)集合有個(gè)元素，不妨設(shè)，

其中，則，所以，

集合中至少兩個(gè)不同正數(shù)，兩個(gè)不同負(fù)數(shù)，即集合中至少個(gè)元素，與矛盾，排除C，D.

故答案為：A.

【分析】不妨設(shè)，由②知集合中的兩個(gè)元素必為相反數(shù)，設(shè)，由①得，由于集合中至少兩個(gè)元素，得到至少還有另外一個(gè)元素，分集合有個(gè)元素和多于個(gè)元素分類討論，即可求解.

二、填空題

5．（2023高三上·黃浦期中）函數(shù)的定義域?yàn)?

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法

【解析】【解答】依題意，由解得函數(shù)的定義域?yàn)?

故答案為：.

【分析】利用偶次方根的被開方數(shù)大于等于0和分式的分母不等于0，即求得答案.

6．（2023高二上·寶山期中）行列式中，6的代數(shù)余子式的值是．

【答案】6

【知識(shí)點(diǎn)】二階行列式的定義

【解析】【解答】由題意，可得6的代數(shù)余子式．

故答案為6．

【分析】根據(jù)代數(shù)余子式的定義得到6的代數(shù)余子式，利用行列式的展開，即可求得答案．

7．（2023高三上·黃浦期中）若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】拋物線的定義

【解析】【解答】易見，拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則到準(zhǔn)線的距離為，等于到焦點(diǎn)的距離為4，即，故，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.

故答案為：3.

【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，列關(guān)系即得結(jié)果.

8．（2023高三上·黃浦期中）已知復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，且，則復(fù)數(shù).

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的表示；復(fù)數(shù)的模

【解析】【解答】因?yàn)?，所以，解?

又因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以.

所以.

故答案為：

【分析】根據(jù)得到，解方程即可.

9．（2023高三上·黃浦期中）若的展開式中的系數(shù)為，則.

【答案】-1

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理

【解析】【解答】求得二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，

當(dāng)，解得，此時(shí)，

所以，解得.

故答案為：-1.

【分析】由題意，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，結(jié)合題意，求得，進(jìn)而得到關(guān)于的方程，即可求解.

10．（2023高三上·黃浦期中）關(guān)于的方程有大于的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；其他不等式的解法

【解析】【解答】方程有大于的實(shí)數(shù)根，即，故，即，等價(jià)于，即得.

故答案為：.

【分析】利用方程有大于的實(shí)數(shù)根，得到范圍，即得范圍，再解分式不等式即得結(jié)果.

11．已知f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．

【答案】（﹣7，3）

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；一元二次不等式及其解法

【解析】【解答】解：因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以f（|x+2|）=f（x+2），

則f（x+2）＜5可化為f（|x+2|）＜5，

即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，

所以|x+2|＜5，

解得﹣7＜x＜3，

所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．

故答案為：（﹣7，3）．

【分析】由偶函數(shù)性質(zhì)得：f（|x+2|）=f（x+2），則f（x+2）＜5可變?yōu)閒（|x+2|）＜5，代入已知表達(dá)式可表示出不等式，先解出|x+2|的范圍，再求x范圍即可．

12．（2023高三上·黃浦期中）如果直線將圓：平分，且不經(jīng)過第四象限，則的斜率取值范圍是.

【答案】[0,2]

【知識(shí)點(diǎn)】斜率的計(jì)算公式

【解析】【解答】可變?yōu)椋?/p>

由題意，直線過圓心，

在平面直角坐標(biāo)系中作出直線，如圖；

當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線斜率，

數(shù)形結(jié)合可得，的斜率取值范圍是[0,2].

故答案為：[0,2].

【分析】轉(zhuǎn)化條件為直線過圓心，結(jié)合直線斜率的概念數(shù)形結(jié)合即可得解.

13．（2023高三上·黃浦期中）某學(xué)校組織勞動(dòng)實(shí)習(xí)，其中兩名男生和兩名女生參加農(nóng)場(chǎng)體驗(yàn)活動(dòng)，體驗(yàn)活動(dòng)結(jié)束后，農(nóng)場(chǎng)主人與四名同學(xué)站一排合影留念.已知農(nóng)場(chǎng)主人站在中間，兩名男生不相鄰，則不同的站法共有種.

【答案】16

【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)與排列組合

【解析】【解答】農(nóng)場(chǎng)主在中間共有種站法，

農(nóng)場(chǎng)主在中間，兩名男生相鄰共有種站法，

故所求站法共有種.

故答案為：16

【分析】根據(jù)正難則反原理，可求男生相鄰的情況，再拿所有情況減去即可.

14．（2023高三上·黃浦期中）已知數(shù)列的首項(xiàng)，函數(shù)為奇函數(shù)，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為.

【答案】1010

【知識(shí)點(diǎn)】奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì)；數(shù)列的求和；數(shù)列的遞推公式

【解析】【解答】解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，，

所以，，

，

，

，

，

如此繼續(xù)，

得..

故答案為：1010.

【分析】利用是奇函數(shù)，推出，推出函數(shù)的周期，然后轉(zhuǎn)化求解即可.

15．（2023高二下·南充月考）已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，P是C左支上一點(diǎn)，，當(dāng)周長最小時(shí)，該三角形的面積為．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【解答】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，由雙曲線定義知，，

∴△APF的周長為|PA|+|PF|+|AF|=|PA|++|AF|=|PA|++|AF|+，

由于是定值，要使△APF的周長最小，則|PA|+最小，即P、A、共線，

∵，（－3,0），∴直線的方程為，即代入整理得，

解得或(舍)，所以P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

∴=.

【分析】由雙曲線定義得到，由于是定值，得到P、A、共線時(shí)△APF的周長最小，把直線的方程代入雙曲線方程，解得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可求出該三角形的面積.

16．（2023高三上·黃浦期中）如圖，已知，為的中點(diǎn)，分別以，為直徑在的同側(cè)作半圓，，分別為兩半圓上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)，，），且，則的最大值為．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

【解析】【解答】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，可得

以為直徑的半圓方程為

以為直徑的半圓方程為（，

設(shè)

可得

即有

即為

即有可得，即，

則

可得即β時(shí)，

的最大值為，

故答案為．

【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)，可得以為直徑的半圓方程，以為直徑的半圓方程，設(shè)出的坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換可得，再由余弦函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，計(jì)算可得最大值．

三、解答題

17．（2023高三上·黃浦期中）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱平面，為的中點(diǎn)，.

（1）證明：直線平面；

（2）求點(diǎn)到平面的距離.

【答案】（1）證明：連接交于，連接，因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所以為中點(diǎn)，

因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，在中，分別為兩邊中點(diǎn)，所以，

又因?yàn)槠矫妫灾本€平面，

（2）解：建立如圖所示空間坐標(biāo)系，，，

所以，，，

設(shè)為平面的法向量，，

所以，令，其中一個(gè)法向量，

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，

所以.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行的判定；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

【解析】【分析】（1）連接交于，連接，利用中位線證明，結(jié)合線面平行的判定定理可完成證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先求解出平面的法向量和，然后根據(jù)即可求解出結(jié)果.

18．（2023高三上·黃浦期中）設(shè)函數(shù)

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）在銳角中，若，求的面積.

【答案】（1）解：由已知得，

令，解得，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；

（2）解：因?yàn)?，所以，又銳角中，，即，所以，所以，

由，，得，

所以，故，

由正弦定理得，，，故三角形面積.

【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的性質(zhì)；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；正弦定理

【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式和兩角和與差的正弦公式的逆應(yīng)用化簡(jiǎn)，再利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)遞增區(qū)間即可；（2）先結(jié)合（1），利用解得，再利用解得角的正余弦，再計(jì)算B角的正弦，結(jié)合正弦定理和面積公式計(jì)算三角形面積即可.

19．（2023高三上·黃浦期中）新冠肺炎疫情造成醫(yī)用防護(hù)服緊缺，當(dāng)?shù)卣疀Q定為防護(hù)服生產(chǎn)企業(yè)A公司擴(kuò)大生產(chǎn)提供（萬元）的專項(xiàng)補(bǔ)貼，并以每套80元的價(jià)格收購其生產(chǎn)的全部防護(hù)服.A公司在收到政府x（萬元）補(bǔ)貼后，防護(hù)服產(chǎn)量將增加到（萬件），其中k為工廠工人的復(fù)工率，A公司生產(chǎn)t萬件防護(hù)服還需投入成本（萬元）.

（1）將A公司生產(chǎn)防護(hù)服的利潤y（萬元）表示為補(bǔ)貼x（萬元）的函數(shù)；

（2）對(duì)任意的（萬元），當(dāng)復(fù)工率k達(dá)到多少時(shí)，A公司才能不產(chǎn)生虧損？（精確到0.01）

【答案】（1）解：因?yàn)楣旧a(chǎn)萬件防護(hù)服還需投入成本，政府以每套80元的價(jià)格收購其生產(chǎn)的全部防護(hù)服，且提供（萬元）的專項(xiàng)補(bǔ)貼，

所以，公司生產(chǎn)防護(hù)服的利潤

；

（2）解：為使公司不產(chǎn)生虧損，只需利潤在上恒成立；即在上恒成立；

因?yàn)椋?/p>

令，因?yàn)椋裕?/p>

記，

任取，

則

因?yàn)?，，所以，即?/p>

所以，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

因此，即的最大值為；

所以只需，即.

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的最大（?。┲?；根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由利潤等于收入減去成本，即可列出函數(shù)關(guān)系；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，由題意，只需在上恒成立，即在上恒成立，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，求出的最大值，即可得出結(jié)果.

20．（2023高三上·黃浦期中）已知橢圓的短軸為2，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求證：直線與的斜率之和為定值；

（3）過右焦點(diǎn)作相互垂直的弦，求的最小值.

【答案】（1）解：因?yàn)槎梯S為2，所以，

又因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為，所以，

又因?yàn)椋獾茫?/p>

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）解：由題意得，

設(shè)直線為，與聯(lián)立得：

設(shè)，則

所以，

所以與的斜率之和為定值；

（3）解：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，直線為，

得，

所以，

所以，

同理，

所以

因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以的最小值為.

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】（1）由題知，，再結(jié)合即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意得，設(shè)，直線為，直線與橢圓聯(lián)立化簡(jiǎn)得，進(jìn)而；（3）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，直線為，進(jìn)而得，再結(jié)合基本不等式即可得答案.

21．（2023高三上·黃浦期中）若無窮數(shù)列滿足：只要，必有，則稱具有性質(zhì).

（1）若具有性質(zhì)，且，求；

（2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，，判斷是否具有性質(zhì)，并說明理由；

（3）設(shè)是無窮數(shù)列，已知，求證：“對(duì)任意都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”.

【答案】（1）解：因?yàn)榫哂行再|(zhì)，且，所以，所以，

所以，，所以，

（2）解：設(shè)無窮數(shù)列的公差為：，無窮數(shù)列的公比為，則，，所以，所以，

，所以，則，

因?yàn)?，而?/p>

，但是，所以不具有性質(zhì)；

（3）解：充分性：若是常數(shù)列，設(shè)，則

若存在使得，則，故具有性質(zhì)，

必要性：若對(duì)于任意具有性質(zhì)，則，設(shè)函數(shù)

由圖像可得，對(duì)于任意的，二者圖象必有一個(gè)交點(diǎn)，所以一定能找到一個(gè)，使得，

所以，所以，故，所以是常數(shù)列.

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合；等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

【解析】【分析】（1）由具有性質(zhì)，可得，，則可求出；（2）求出的通項(xiàng)公式，可得出，但是，即可判斷；（3）由充要條件的定義分別證明充分性和必要性成立.

1/1上海市黃浦區(qū)格致中學(xué)2023屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試卷

一、單選題

1．（2023高二上·陽高月考）一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是4.8，方差是3.6，若將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上60，得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（）

A．55.2，3.6B．55.2，56.4C．64.8，63.6D．64.8，3.6

2．（2023高三上·黃浦期中）已知平面，直線，滿足，且互為異面直線，則“且”是“”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

3．（2023高三上·黃浦期中）設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足且，則的取值范圍為（）

A．B．C．D．

4．（2023高三上·黃浦期中）設(shè)集合中至少兩個(gè)元素，且滿足：①對(duì)任意，若，則，②對(duì)任意，若，則，下列說法正確的是（）

A．若有2個(gè)元素，則有3個(gè)元素

B．若有2個(gè)元素，則有4個(gè)元素

C．存在3個(gè)元素的集合，滿足有5個(gè)元素

D．存在3個(gè)元素的集合，滿足有4個(gè)元素

二、填空題

5．（2023高三上·黃浦期中）函數(shù)的定義域?yàn)?

6．（2023高二上·寶山期中）行列式中，6的代數(shù)余子式的值是．

7．（2023高三上·黃浦期中）若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

8．（2023高三上·黃浦期中）已知復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，且，則復(fù)數(shù).

9．（2023高三上·黃浦期中）若的展開式中的系數(shù)為，則.

10．（2023高三上·黃浦期中）關(guān)于的方程有大于的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

11．已知f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．

12．（2023高三上·黃浦期中）如果直線將圓：平分，且不經(jīng)過第四象限，則的斜率取值范圍是.

13．（2023高三上·黃浦期中）某學(xué)校組織勞動(dòng)實(shí)習(xí)，其中兩名男生和兩名女生參加農(nóng)場(chǎng)體驗(yàn)活動(dòng)，體驗(yàn)活動(dòng)結(jié)束后，農(nóng)場(chǎng)主人與四名同學(xué)站一排合影留念.已知農(nóng)場(chǎng)主人站在中間，兩名男生不相鄰，則不同的站法共有種.

14．（2023高三上·黃浦期中）已知數(shù)列的首項(xiàng)，函數(shù)為奇函數(shù)，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為.

15．（2023高二下·南充月考）已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，P是C左支上一點(diǎn)，，當(dāng)周長最小時(shí)，該三角形的面積為．

16．（2023高三上·黃浦期中）如圖，已知，為的中點(diǎn)，分別以，為直徑在的同側(cè)作半圓，，分別為兩半圓上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)，，），且，則的最大值為．

三、解答題

17．（2023高三上·黃浦期中）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱平面，為的中點(diǎn)，.

（1）證明：直線平面；

（2）求點(diǎn)到平面的距離.

18．（2023高三上·黃浦期中）設(shè)函數(shù)

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）在銳角中，若，求的面積.

19．（2023高三上·黃浦期中）新冠肺炎疫情造成醫(yī)用防護(hù)服緊缺，當(dāng)?shù)卣疀Q定為防護(hù)服生產(chǎn)企業(yè)A公司擴(kuò)大生產(chǎn)提供（萬元）的專項(xiàng)補(bǔ)貼，并以每套80元的價(jià)格收購其生產(chǎn)的全部防護(hù)服.A公司在收到政府x（萬元）補(bǔ)貼后，防護(hù)服產(chǎn)量將增加到（萬件），其中k為工廠工人的復(fù)工率，A公司生產(chǎn)t萬件防護(hù)服還需投入成本（萬元）.

（1）將A公司生產(chǎn)防護(hù)服的利潤y（萬元）表示為補(bǔ)貼x（萬元）的函數(shù)；

（2）對(duì)任意的（萬元），當(dāng)復(fù)工率k達(dá)到多少時(shí)，A公司才能不產(chǎn)生虧損？（精確到0.01）

20．（2023高三上·黃浦期中）已知橢圓的短軸為2，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求證：直線與的斜率之和為定值；

（3）過右焦點(diǎn)作相互垂直的弦，求的最小值.

21．（2023高三上·黃浦期中）若無窮數(shù)列滿足：只要，必有，則稱具有性質(zhì).

（1）若具有性質(zhì)，且，求；

（2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，，判斷是否具有性質(zhì)，并說明理由；

（3）設(shè)是無窮數(shù)列，已知，求證：“對(duì)任意都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”.

答案解析部分

1．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

【解析】【解答】設(shè)這組數(shù)據(jù)分別為，

由其平均數(shù)為，方差是，則有，

方差，

若將這組數(shù)據(jù)中每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上，則數(shù)據(jù)為，

則其平均數(shù)為，

方差為，

故答案為：D.

【分析】利用平均數(shù)公式和方差公式求出一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，再利用一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是4.8，方差是3.6，再結(jié)合將這組數(shù)據(jù)中每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上，則變形求出所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差。

2．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；直線與平面垂直的判定

【解析】【解答】充分性：互為異面直線，且，

則內(nèi)必存在兩條相交直線，使得，

若且，則且，，故充分性成立；

必要性：互為異面直線，且，

則內(nèi)必存在兩條相交直線，使得，

若，則且，且，故必要性成立，

“且”是“”的充要條件.

故答案為：C.

【分析】內(nèi)必存在兩條相交直線，使得，從而可推出.

3．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用

【解析】【解答】畫出函數(shù)的圖像如圖所示：

互不相等的實(shí)數(shù)，滿足，

可得，，，

，，，

，，，

則的取值范圍是.

故答案為：C.

【分析】畫出函數(shù)圖象可得且，則可求出.

4．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】元素與集合的關(guān)系；集合中元素的個(gè)數(shù)問題

【解析】【解答】若有2個(gè)元素，不妨設(shè)，

以為中至少有兩個(gè)元素，不妨設(shè)，

由②知，因此集合中的兩個(gè)元素必為相反數(shù)，故可設(shè)，

由①得，由于集合中至少兩個(gè)元素，故至少還有另外一個(gè)元素，

當(dāng)集合有個(gè)元素時(shí)，由②得：，則或.

當(dāng)集合有多于個(gè)元素時(shí)，不妨設(shè)，

其中，

由于，所以，

若，則，但此時(shí)，

即集合中至少有這三個(gè)元素，

若，則集合中至少有這三個(gè)元素，

這都與集合中只有2個(gè)運(yùn)算矛盾，

綜上，，A符合題意；

當(dāng)集合有個(gè)元素，不妨設(shè)，

其中，則，所以，

集合中至少兩個(gè)不同正數(shù)，兩個(gè)不同負(fù)數(shù)，即集合中至少個(gè)元素，與矛盾，排除C，D.

故答案為：A.

【分析】不妨設(shè)，由②知集合中的兩個(gè)元素必為相反數(shù)，設(shè)，由①得，由于集合中至少兩個(gè)元素，得到至少還有另外一個(gè)元素，分集合有個(gè)元素和多于個(gè)元素分類討論，即可求解.

5．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法

【解析】【解答】依題意，由解得函數(shù)的定義域?yàn)?

故答案為：.

【分析】利用偶次方根的被開方數(shù)大于等于0和分式的分母不等于0，即求得答案.

6．【答案】6

【知識(shí)點(diǎn)】二階行列式的定義

【解析】【解答】由題意，可得6的代數(shù)余子式．

故答案為6．

【分析】根據(jù)代數(shù)余子式的定義得到6的代數(shù)余子式，利用行列式的展開，即可求得答案．

7．【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】拋物線的定義

【解析】【解答】易見，拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則到準(zhǔn)線的距離為，等于到焦點(diǎn)的距離為4，即，故，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.

故答案為：3.

【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，列關(guān)系即得結(jié)果.

8．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的表示；復(fù)數(shù)的模

【解析】【解答】因?yàn)?，所以，解?

又因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以.

所以.

故答案為：

【分析】根據(jù)得到，解方程即可.

9．【答案】-1

【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理

【解析】【解答】求得二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，

當(dāng)，解得，此時(shí)，

所以，解得.

故答案為：-1.

【分析】由題意，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，結(jié)合題意，求得，進(jìn)而得到關(guān)于的方程，即可求解.

10．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；其他不等式的解法

【解析】【解答】方程有大于的實(shí)數(shù)根，即，故，即，等價(jià)于，即得.

故答案為：.

【分析】利用方程有大于的實(shí)數(shù)根，得到范圍，即得范圍，再解分式不等式即得結(jié)果.

11．【答案】（﹣7，3）

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；一元二次不等式及其解法

【解析】【解答】解：因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以f（|x+2|）=f（x+2），

則f（x+2）＜5可化為f（|x+2|）＜5，

即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，

所以|x+2|＜5，

解得﹣7＜x＜3，

所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．

故答案為：（﹣7，3）．

【分析】由偶函數(shù)性質(zhì)得：f（|x+2|）=f（x+2），則f（x+2）＜5可變?yōu)閒（|x+2|）＜5，代入已知表達(dá)式可表示出不等式，先解出|x+2|的范圍，再求x范圍即可．

12．【答案】[0,2]

【知識(shí)點(diǎn)】斜率的計(jì)算公式

【解析】【解答】可變?yōu)椋?/p>

由題意，直線過圓心，

在平面直角坐標(biāo)系中作出直線，如圖；

當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線斜率，

數(shù)形結(jié)合可得，的斜率取值范圍是[0,2].

故答案為：[0,2].

【分析】轉(zhuǎn)化條件為直線過圓心，結(jié)合直線斜率的概念數(shù)形結(jié)合即可得解.

13．【答案】16

【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)與排列組合

【解析】【解答】農(nóng)場(chǎng)主在中間共有種站法，

農(nóng)場(chǎng)主在中間，兩名男生相鄰共有種站法，

故所求站法共有種.

故答案為：16

【分析】根據(jù)正難則反原理，可求男生相鄰的情況，再拿所有情況減去即可.

14．【答案】1010

【知識(shí)點(diǎn)】奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì)；數(shù)列的求和；數(shù)列的遞推公式

【解析】【解答】解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，，

所以，，

，

，

，

，

如此繼續(xù)，

得..

故答案為：1010.

【分析】利用是奇函數(shù)，推出，推出函數(shù)的周期，然后轉(zhuǎn)化求解即可.

15．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【解答】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，由雙曲線定義知，，

∴△APF的周長為|PA|+|PF|+|AF|=|PA|++|AF|=|PA|++|AF|+，

由于是定值，要使△APF的周長最小，則|PA|+最小，即P、A、共線，

∵，（－3,0），∴直線的方程為，即代入整理得，

解得或(舍)，所以P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

∴=.

【分析】由雙曲線定義得到，由于是定值，得到P、A、共線時(shí)△APF的周長最小，把直線的方程代入雙曲線方程，解得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可求出該三角形的面積.

16．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

【解析】【解答】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，可得

以為直徑的半圓方程為

以為直徑的半圓方程為（，

設(shè)

可得

即有

即為

即有可得，即，

則

可得即β時(shí)，

的最大值為，

故答案為．

【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)，可得以為直徑的半圓方程，以為直徑的半圓方程，設(shè)出的坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換可得，再由余弦函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，計(jì)算可得最大值．

17．【答案】（1）證明：連接交于，連接，因?yàn)榈酌鏋榫匦危詾橹悬c(diǎn)，

因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，在中，分別為兩邊中點(diǎn)，所以，

又因?yàn)槠矫?，所以直線平面，

（2）解：建立如圖所示空間坐標(biāo)系，，，

所以，，，

設(shè)為平面的法向量，，

所以，令，其中一個(gè)法向量，

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，

所以.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行的判定；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

【解析】【分析】（1）連接交于，連接，利用中位線證明，結(jié)合線面平行的判定定理可完成證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先求解出平面的法向量和，然后根據(jù)即可求解出結(jié)果.

18．【答案】（1）解：由已知得，

令，解得，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；

（2）解：因?yàn)?，所以，又銳角中，，即，所以，所以，

由，，得，

所以，故，

由正弦