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一、單選題(本大題共8小題,共40分)

1.(5分)利用基本不等式求最值,下列各式運(yùn)用正確的有個(gè)

A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)

2.(5分)若實(shí)數(shù),滿足,則的最小值是

A.B.C.D.

3.(5分)某汽車運(yùn)輸公司購(gòu)買了一批豪華大客車投入經(jīng)營(yíng),據(jù)市場(chǎng)分析,每輛客車營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)單位:萬(wàn)元與營(yíng)運(yùn)年數(shù)為二次函數(shù)關(guān)系如圖所示,則每輛客車營(yíng)運(yùn)幾年,營(yíng)運(yùn)的年平均利潤(rùn)最大

A.B.C.D.

4.(5分)若正實(shí)數(shù),滿足,且恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為

A.B.C.D.

5.(5分)對(duì)于函數(shù),若,滿足,則稱,為函數(shù)的一對(duì)“類指數(shù)”.若正實(shí)數(shù)與為函數(shù)的一對(duì)“類指數(shù)”,的最小值為,則的值為

A.B.C.D.

6.(5分)設(shè),,且,則有

A.最小值B.最小值C.最小值D.最小值

7.(5分)已知,,,則的最小值是

A.B.C.D.

8.(5分)已知,則的最小值為

A.B.C.D.

二、多選題(本大題共5小題,共25分)

9.(5分)判斷一下說(shuō)法正確的是

A.“”的一個(gè)必要非充分條件是“”

B.如果,那么

C.函數(shù)的最小值為

D.函數(shù)的任意自變量、滿足

10.(5分)已知,是正數(shù),且,下列敘述正確的是

A.最大值為B.的最小值為

C.最大值為D.最小值為

11.(5分)已知,,且,則()

A.B.

C.D.

12.(5分)已知,,且,則

A.B.

C.D.

13.(5分)已知且則下列不等式成立的是

A.B.

C.D.

三、填空題(本大題共5小題,共25分)

14.(5分)已知是的邊上任一點(diǎn),且滿足,、,則的最小值為_(kāi)_____.

15.(5分)

15-1.某項(xiàng)研究表明:在考慮行車安全的情況下,某路段車流量單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛小時(shí)與車流速度假設(shè)車輛以相同速度行駛,單位:米秒、平均車長(zhǎng)單位:米的值有關(guān),其公式為.

Ⅰ如果不限定車型,,則最大車流量為_(kāi)_____輛小時(shí);

Ⅱ如果限定車型,,則最大車流量比Ⅰ中的最大車流量增加______輛小時(shí).

16.(5分),動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn),動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn),若直線l與相交于點(diǎn)(異于點(diǎn)),則周長(zhǎng)的最大值為_(kāi)________.

17.(5分)在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別是,已知,若的面積,則的最小值為_(kāi)________.

18.(5分)已知,則的最小值為_(kāi)_______.

四、解答題(本大題共5小題,共60分)

19.(12分)在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,有以下個(gè)條件:

①;②;③

請(qǐng)?jiān)谝陨蟼€(gè)條件中選擇一個(gè),求面積的最大值.

20.(12分)己知三個(gè)內(nèi)角,,對(duì)應(yīng)的邊分別為,,,且.

Ⅰ求證:,,成等差數(shù)列;

Ⅱ若,求的取值范圍.

21.(12分)已知函數(shù)

若的解集為,或,求不等式的解集;

若任意,使得恒成立,求的取值范圍.

22.(12分)已知,,.

求的最小值;

若對(duì),,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

23.(12分)已知函數(shù),,且的最大值為

求實(shí)數(shù)的值;

若,,,求證:

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】解:根據(jù)基本不等式成立的條件,對(duì)各命題考察如下:

,這個(gè)運(yùn)算是錯(cuò)誤的,

因?yàn)橹挥小罢龜?shù)”才能用基本不等式,即該式中“”這個(gè)條件缺失;

,這個(gè)運(yùn)算是錯(cuò)誤的,

因?yàn)槿∽钚≈禃r(shí),,不等成立,即“”無(wú)法取得;

,這個(gè)運(yùn)算是錯(cuò)誤的,

因?yàn)橹挥小罢龜?shù)”才能用基本不等式,即該式中應(yīng)限制“”;

,這個(gè)運(yùn)算是正確的,

符合條件“一正,二定,三相等”.

所以,只有是正確的,

故選:.

直接根據(jù)基本不等式求最值時(shí)的前提條件“一正,二定,三相等”,對(duì)各命題作出判斷.

這道題主要考查了運(yùn)用基本不等式求最值,涉及應(yīng)用的前提條件“一正,二定,三相等”,缺一不可,屬于中檔題.

2.【答案】A;

【解析】解:由于實(shí)數(shù),滿足,則,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,

故選A.

根據(jù),利用基本不等式求得的最小值.

這道題主要考查基本不等式的應(yīng)用,注意基本不等式使用條件和等號(hào)成立條件,屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C;

【解析】

由題意列得營(yíng)運(yùn)的年平均利潤(rùn),再運(yùn)用不等式可得答案.

解:由題意得,則營(yíng)運(yùn)的年平均利潤(rùn)為

,即

故選

4.【答案】A;

【解析】

該題考查了不等式恒成立和利用基本不等式求最小值,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬基礎(chǔ)題.

先利用基本不等求出的最小值,然后根據(jù)恒成立,可得,再求出的范圍.

解:正實(shí)數(shù),滿足,

,

當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)取等號(hào),

恒成立,

只需,

,,

的取值范圍為.

故選:.

5.【答案】B;

【解析】

此題主要考查新定義和利用基本不等式的求解參數(shù)問(wèn)題,屬于中檔題.

根據(jù)題意與為函數(shù)的一對(duì)“類指數(shù)”,根據(jù)已知關(guān)系式求得,再對(duì)利用基本不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)求解,即可求得值.解:根據(jù)題意,正實(shí)數(shù)與為函數(shù)的一對(duì)“類指數(shù)”,

,

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),

故答案為:

6.【答案】A;

【解析】

此題主要考查了基本不等式求最值,屬于基礎(chǔ)題.

利用已知的等式得出,代入所求的代數(shù)式進(jìn)行變形,結(jié)合基本不等式即可.

解:,且,則,

,

當(dāng)且僅當(dāng),即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,

所以的最小值為

故選

7.【答案】D;

【解析】解:,,,

,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式取得等號(hào),

則的最小值是,

故選:.

由題意可得,運(yùn)用基本不等式可得最小值.

該題考查基本不等式的運(yùn)用,注意乘法和等號(hào)成立的條件,考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力,屬于中檔題.

8.【答案】D;

【解析】

此題主要考查了利用基本不等式求最值,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.

變形得,利用基本不等式即可得出.

解:,

,

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),

的最小值為

故選

9.【答案】BD;

【解析】

此題主要考查命題的真假判斷,涉及充分條件和必要條件,函數(shù)解析式,基本不等式等,比較基礎(chǔ).

,取特值可判斷,解方程組可判斷,換元,利用函數(shù)的單調(diào)性求出最小值即可判斷,用分析法轉(zhuǎn)化成基本不等式求解.

解:,取,,則,但,得,則成立,故“”的充分非必要條件是“”,錯(cuò)誤;

B.,將此式中的換成得,

,得,正確;

C.令,則在時(shí)遞增,

故,故錯(cuò)誤;

D.,,由基本不等式可知,當(dāng)時(shí),成立,正確.

故選

10.【答案】AB;

【解析】

此題主要考查利用基本不等式求最值,涉及不等式的性質(zhì),屬于中檔題.

根據(jù)已知條件,直接利用基本不等式可得的最大值從而判定;

利用,得:,可求得的最小值,從而判定;

,利用基本不等式,并注意等號(hào)是否能夠取到,從而判定;

,展開(kāi)之后,利用基本不等式求最值,即可判定解:,是正數(shù),

又,

,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),

最大值為,故正確;

由不等式,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,

得:,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),

的最小值為,故正確;

,

,

取等號(hào)的條件是,這樣,與已知矛盾,

故上述“”中“”無(wú)法取到,

,故錯(cuò)誤;

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得等號(hào),

最小值為,故錯(cuò)誤.

故答案選:

11.【答案】ABD;

【解析】因?yàn)?,,且?/p>

所以,故A正確;

由已知得,,所以,所以,故B正確;

,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,故C錯(cuò)誤;

,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,故D正確,

故選ABD.

12.【答案】ABD;

【解析】

此題主要考查了基本不等式以及對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算,考查了學(xué)生的分析以及計(jì)算能力,屬中檔題.

由題意根據(jù)各函數(shù)并運(yùn)用基本不等式依次判斷.

解:對(duì)于,因?yàn)?,,且,所以,所以,故正確

對(duì)于,因?yàn)?,所以,?dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)取等號(hào),故正確:

對(duì)于,因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)取等號(hào),

所以,即,故錯(cuò)誤:

對(duì)于,因?yàn)?,且,所以,即,?dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)取等號(hào),故正確.

故選

13.【答案】ABC;

【解析】

此題主要考查利用基本不等式求最值屬于中檔題.

運(yùn)用基本不等式可以判定,,的正誤,利用換元法以及對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì),可以判定的正確,由此即可得到答案.

解:因?yàn)椋?,所以?/p>

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),故正確.

,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立,故正確;

,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)故正確;

令,

則,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),則,故不正確;

故選

14.【答案】;

【解析】解:,共線

存在實(shí)數(shù),滿足

,,即

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取最小值為

故答案為:

利用向量加法三角形法則將表示出來(lái),找出,的關(guān)系,進(jìn)而求出的最小值

本題主要考察了向量加法與減法三角形法則,及不等式的求解問(wèn)題,屬于中檔題.

15.【答案】1900;100;

【解析】解:Ⅰ,

,當(dāng)時(shí)取最小值,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立,

故最大車流量為:輛小時(shí);

Ⅱ,

,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,

,

輛小時(shí)

故最大車流量比Ⅰ中的最大車流量增加輛小時(shí).

故答案為:,

Ⅰ把帶入,分子分母同時(shí)除以,利用基本不等式求得的最大值.

Ⅱ把帶入,分子分母同時(shí)除以,利用基本不等式求得的最大值最后于Ⅰ中最大值作差即可.

這道題主要考查了基本不等式的性質(zhì).基本不等式應(yīng)用時(shí),注意“一正,二定,三相等”必須滿足.

16.【答案】;

【解析】由條件得直線過(guò)定點(diǎn),直線過(guò)定點(diǎn),且.

又直線,

所以,

∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,

∴,即周長(zhǎng)的最大值為.

故答案為:.

17.【答案】;

【解析】

此題主要考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式,正弦定理,余弦定理,利用基本不等式求最值,需要對(duì)公式的靈活運(yùn)用,屬于一般題.

先利用正弦定理將化為,由兩角和的三角函數(shù)公式與誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得的值,由此可得的值,代入三角形面積公式可得與得大小關(guān)系,最后利用余弦定理和基本不等式可求的最小值.

【解析】

解:,

,

方程兩邊消去得,

又,由此可得,且,

,

將代入,得,

,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立,

將兩邊平方得,化簡(jiǎn)得,

的最小值為

故答案為

18.【答案】;

【解析】此題主要考查基本不等式求函數(shù)的最值,屬基礎(chǔ)題,熟記基本不等式求最值的條件是解題關(guān)鍵.解:,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得“”,

故答案為

19.【答案】解:若選擇①

由正弦定理將化為:,

又,所以,

所以,

即,

,,

,

所以當(dāng)時(shí)取到等號(hào)

所以面積的最大值為

若選擇②

由正弦定理將化為:

又,所以,

所以

即,又,

,

又,,

又由余弦定理可得:

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),

所以面積的最大值為

若選擇③

因?yàn)?,所以?/p>

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

又由余弦定理得:

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

所以面積的最大值為;

【解析】此題主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式,基本不等式求最值,是中檔題.

若選擇①,可求得,由三角函數(shù)有界性可求面積的最大值;

若選擇②,由余弦定理和基本不等式可得,再由面積公式可求面積的最大值;

若選擇③,由余弦定理和基本不等式可得,再由面積公式可得答案.

20.【答案】解:Ⅰ證明:,

,

,

,

,,

,可得,,成等差數(shù)列

Ⅱ,

,

.;

【解析】這道題主要考查了正弦定理,兩角和的正弦函數(shù)公式,等差數(shù)列的性質(zhì),余弦定理,基本不等式在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題,

Ⅰ利用正弦定理,兩角和的正弦函數(shù)公式,結(jié)合,可得,結(jié)合范圍,可求,,由,可得,,成等差數(shù)列

Ⅱ由已知利用余弦定理,基本不等式即可求得.

21.【答案】解:,

由不等式的解集為,或,

,是方程的根,

可得,,

解得,,

不等式,

可得不等式的解集為;

,

任意,使得成立,

當(dāng)時(shí),恒成立;

當(dāng)時(shí),使得恒成立,

令,,則,

令,則,,

,

當(dāng)且僅當(dāng)即即時(shí)等號(hào)成立.

可得當(dāng)時(shí),,

則,

即的取值范圍為.;

【解析】該題考查二次不等式的解法,注意運(yùn)用二次方程的韋達(dá)定理,考查不等式恒成立問(wèn)題的解法,注意運(yùn)用分類討論思想方法和參數(shù)分離法、換元法,結(jié)合基本不等式的運(yùn)用,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

由題意可得的解集為,或,可得,是方程的根,運(yùn)用韋達(dá)定理可得,,再由二次不等式的解法可得解集;

討論,不等式顯然成立;當(dāng)時(shí),運(yùn)用參數(shù)分離可得恒成立,令,,則,運(yùn)用換元法和基本不等式可得最小值,即可得到所求范圍.

22.【答案】解:(1)∵a∈(0,+∞)

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