初中數(shù)學(xué)倍長(zhǎng)中線法(最全最新倍長(zhǎng)中線法專題)

幾何模型四：倍長(zhǎng)中線法當(dāng)線段出現(xiàn)一個(gè)中點(diǎn)時(shí)，特別是三角形中，常常采用“倍長(zhǎng)中線法”添加輔助線．倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法．倍長(zhǎng)中線法：△ABC中AD是BC邊中線方式1：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE

倍長(zhǎng)中線法例1.已知：如圖，AD是△ABC的中線，求證：AB+AC＞2AD．證明：延長(zhǎng)AD到M，使DM＝AD，連接BM，CM，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝DC，∵AD＝DM，∴四邊形ABMC是平行四邊形，∴BM＝AC，在△ABM中，AB+BM＞AM，即AB+AC＞2AD．

例題講解例2.已知，如圖△ABC中，AB＝5，AC＝3，則中線AD的取值范圍是

．解：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使AD＝ED，連接CE，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝EC，在△AEC中，AC+EC＞AE，且EC﹣AC＜AE，即AB+AC＞2AD，AB﹣AC＜2AD，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4，故答案為：1＜AD＜4．

例題講解練習(xí)1.如圖，在△ABC中，AC＝5，中線AD＝7，則AB邊的取值范圍是

．課堂練習(xí)例3.如圖，△ABC中，∠A＝90°，D為斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且DE⊥DF．若BE＝3，CF＝4，試求EF的長(zhǎng)．解：延長(zhǎng)FD至點(diǎn)G，使得DG＝DF，連接BG，EG，∵在△CDF和△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS），∴BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，∵∠C+∠ABC＝90°，∴∠DBG+∠ABC＝90°，即∠ABG＝90°，∵DE⊥FG，DF＝DG，∴EF＝EG＝＝5．例題講解練習(xí)2.如圖，已知AD為△ABC的中線，DE平分∠ADB交AB于點(diǎn)E，DF平分∠ADC交AC于點(diǎn)F．求證：BE+CF＞EF．

課堂練習(xí)練習(xí)3.如圖，在正方形ABCD中，E為AB邊的中點(diǎn)，G，F(xiàn)分別為AD，BC邊上的點(diǎn)，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，求GF的長(zhǎng)．課堂練習(xí)練習(xí)4.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在BC上，AE＝BE，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6．求CE的長(zhǎng)．

課堂練習(xí)例4.如圖，在△ABC中，AB＝AC，E是AB中點(diǎn)，延長(zhǎng)AB到D，使BD＝BA，延長(zhǎng)CE至F，使得EF＝CE．求證：CD＝2CE．證明：∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴BE＝AE，在△BEF和△AEC中，∴△BEF≌△AEC（SAS），∴BF＝AC，∠EBF＝∠A，∵AB＝AC＝BD，∴∠ACB＝∠ABC，BF＝BD，∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，∴∠CBD＝∠CBF，在△CBD和△CBF中，∴△CBD≌△CBF（SAS），∴CD＝CF，∵CF＝CE+EF，CE＝EF，∴CF＝2CE，∴CD＝2CE．例題講解練習(xí)5.已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，延長(zhǎng)AB到D，使BD＝AB，E為AB的中點(diǎn)．求證：CD＝2CE

課堂練習(xí)練習(xí)6.已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C＝∠BAE．課堂練習(xí)練習(xí)7.如圖，已知D是△ABC的邊BC上的一點(diǎn)，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線．求證：AD是∠EAC的平分線．課堂練習(xí)例5.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，E為BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD交AB于點(diǎn)G，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：BG＝CF．證明：作CM∥AB交FE的延長(zhǎng)線于M．∵BG∥CM，∴∠B＝∠MCE，∵E是BC中點(diǎn)，∴BE＝EC，在△BEG和△CEM中，∴△BEG≌△CEM，∴BG＝CM，∵AD∥EF∴∠1＝∠FGA，∠2＝∠F，∵∠1＝∠2，∴∠F＝∠FGA，∵AB∥CM，∴∠FGA＝∠M，∴∠F＝∠M，∴CF＝CM，∴BG＝CF．

例題講解練習(xí)8.已知：如圖，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE＝EC，過(guò)D作DF∥BA交AE于點(diǎn)F，DF＝AC．求證：AE平分∠BAC．課堂練習(xí)例6.已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖，求證：EF＝2AD．證明：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使得AD＝DG，連接BG，CG，∵AD＝DG，BD＝CD，∴四邊形ABGC是平行四邊形，∴AC＝AF＝BG，AB＝AE＝CG，∠BAC+∠ABG＝180°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAF＝∠ABG，在△EAF和△BAG中，∴△EAF≌△BAG（SAS）∴EF＝AG，∵AG＝2AD，∴EF＝2AD．

例題講解練習(xí)9.如圖，兩個(gè)正方形ABDE和ACGF，點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，連接PA交EF于點(diǎn)Q，試探究AP與EF的數(shù)量和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．課堂練習(xí)例7.如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，DE交BC于F，且DF＝EF，求證：BD＝CE．證明：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG∥AE，交BC于點(diǎn)G；則△DGF≌△ECF，∴DG＝CE；∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB；∵DG∥AE，∴∠DGB＝∠ACB，∴∠DBG＝∠DGB，∴DG＝BD，∴BD＝CE．

例題講解練習(xí)9.如圖，△ABC中，點(diǎn)D在AB上，E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD＝CE，DE交BC于點(diǎn)F，DF＝EF，DP∥AE交BC于點(diǎn)P，求證：AB＝AC．

課堂練習(xí)1、如圖1已知：AD為△ABC的中線，易證AB+AC＞2AD．（1）如圖2，在△ABC中，AC＝5，AB＝13，D為BC的中點(diǎn)，DA⊥AC．求△ABC的面積．（2）問(wèn)題2：如圖3，在△ABC中，AD是三角形的中線．點(diǎn)F在中線AD上，且BF＝AC，連接并延長(zhǎng)BF交AC于點(diǎn)E．求證AE＝EF．

課后練習(xí)2.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點(diǎn)，∠BAE＝∠EAF，AF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，試探究線段AB與AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．課后練習(xí)3.如圖，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，求證：（1）AE平分∠DAB；（2）AB+CD＝AD．

課后練習(xí)4.在正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E，作EF⊥AB交BD于點(diǎn)F，取FD的中點(diǎn)G，連接EG、CG，如圖（1），易證EG＝CG且EG⊥CG．

（1）將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖（2），證明：EG＝CG且EG⊥CG．（2）如圖（3）將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，證明：EG＝CG且EG⊥CG．課后練習(xí)5.如圖，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中點(diǎn)，AD平分∠BAC，過(guò)M作FM∥AD交AC于F