2022年第39屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試題及答案解析

第PAGE第39屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試題（2022年10月6日上午9:00-12:00）考生必讀考生考試前請(qǐng)務(wù)必認(rèn)真閱讀本通知。本試題共8道題，6頁(yè)，總分為320分。如遇試題印刷不清楚情況，請(qǐng)務(wù)必向監(jiān)考老師提出。需要閱卷老師評(píng)閱的內(nèi)容一定要寫在答題紙上；寫在試題紙和草稿紙上的解答一律不能得分。一、（40分）新型電動(dòng)汽車在剎車時(shí)，可以用發(fā)電機(jī)來(lái)回收能量。假設(shè)此發(fā)電機(jī)原理可抽象為如圖1所示，兩磁極之間的磁場(chǎng)可近似為均勻磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。繞有n匝導(dǎo)線的線圈為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)、寬分別為a和b，整個(gè)線圈都處于磁場(chǎng)中。線圈轉(zhuǎn)軸為兩條短邊的三分點(diǎn)連線（見(jiàn)圖1），線圈外接有阻值為R的純電阻負(fù)載。忽略線圈電阻，假設(shè)電動(dòng)汽車剎車時(shí)受到的地面摩擦力等阻力與發(fā)電機(jī)線圈轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)致的阻力相比可以忽略，即剎車時(shí)失去的動(dòng)能全部用來(lái)發(fā)電，電動(dòng)汽車質(zhì)量為M。圖1（1）初始時(shí)刻線圈平面與磁場(chǎng)垂直，若線圈轉(zhuǎn)動(dòng)角速度恒為ω，求電路開路時(shí)線圈兩端電壓隨時(shí)間的變化。（2）線圈和電阻回路閉合后，當(dāng)電動(dòng)汽車在水平面上剎車至速度為時(shí)，線圈平面轉(zhuǎn)過(guò)磁場(chǎng)方向與磁場(chǎng)夾角為(0<<π/2),線圈轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為,求此時(shí)電動(dòng)汽車的加速度大小。（3）線圈和電阻回路閉合后，電動(dòng)汽車在水平面上以某初始速度開始剎車。假設(shè)在某種剎車模式下，線圈剛好轉(zhuǎn)過(guò)N圈后，電動(dòng)汽車完全剎住，直到剎停前發(fā)電機(jī)線圈轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為恒值。求電動(dòng)車初速度。（4）線圈和電阻回路閉合后，電動(dòng)汽車在水平面上以某初始速度開始剎車。假設(shè)在另一種剎車模式下，剎車開始時(shí)線圈平面剛好與磁場(chǎng)垂直，且發(fā)電機(jī)線圈轉(zhuǎn)動(dòng)第一圈時(shí)角速度為,之后每轉(zhuǎn)動(dòng)一圈角速度的值為前一圈角速度的一半。若在發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)完第N圈，且未轉(zhuǎn)完第N+1圈時(shí)，電動(dòng)汽車剎停。求電動(dòng)汽車初速度的范圍。二、（40分）根據(jù)廣義相對(duì)論，當(dāng)光線經(jīng)過(guò)某大質(zhì)量球?qū)ΨQ天體附近時(shí)，會(huì)向天體方向彎曲一個(gè)很小的角度?，?稱為偏折角，即出射光與入射光的夾角。已知?=Rr，其中常數(shù)R=4GM/c2，r為光線與天體中心的最近距離，G為萬(wàn)有引力常數(shù)，物理常數(shù)和單位：c=3×108m?(1)如圖2a所示，當(dāng)發(fā)光背景天體、大質(zhì)量球?qū)ΨQ天體中心以及望遠(yuǎn)鏡恰好處在同一條直線上時(shí)，望遠(yuǎn)鏡會(huì)觀測(cè)到愛(ài)因斯坦環(huán)這一引力透鏡現(xiàn)象。已知一背景天體發(fā)出的光線通過(guò)某近鄰白矮星附近時(shí)，形成的愛(ài)因斯坦環(huán)相對(duì)于望遠(yuǎn)鏡的角半徑θE=31.53毫弧秒，近鄰白矮星到望遠(yuǎn)鏡的距離為dL=5.52秒差距，背景天體到望遠(yuǎn)鏡的距離為圖2a（2）引力透鏡現(xiàn)象可以用一個(gè)軸對(duì)稱光學(xué)透鏡來(lái)模擬演示。透鏡的橫截面如圖2b所示，x軸為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，透鏡入射面在0≤r<r0的區(qū)域不透光，出射面垂直于x軸。假設(shè)光線平行于x軸入射，入射光與x軸距離為r，偏折角?仍滿足?=Rr。已知光學(xué)透鏡的折射率為n0(n0>1)，空氣折射率為1，偏折角?可視為小角度。求透鏡入射面在r≥r0圖2b圖2c（3）引力透鏡現(xiàn)象還可以用一個(gè)軸對(duì)稱等厚變折射率透鏡模擬演示。透鏡的橫截面如圖2c所示，x軸為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，透鏡厚度為D，透鏡折射率n(r)>1。假設(shè)光線垂直入射，入射光與x軸距離為r，忽略光線在透鏡內(nèi)的偏折，光線在透鏡出射面的偏折角?仍滿足?=Rr，偏折角?可視為小角度。已知n(r1)=n1，且r<r1區(qū)域不透光。求透鏡折射率在r≥r1區(qū)域的表達(dá)式n(r)三、（40分）中國(guó)傳統(tǒng)建筑“卯榫穿插，層層出挑”，是中國(guó)傳統(tǒng)文化的表現(xiàn)。卯榫結(jié)構(gòu)是中國(guó)古建木架結(jié)構(gòu)中的重要形式，看似零碎的木質(zhì)部件，卻可以托起千鈞重量。卯榫工藝匯聚了我國(guó)古人的智慧，廣泛應(yīng)用于木塔、鐘鼓樓、住宅、寺廟等古建。卯榫結(jié)構(gòu)彎曲變形時(shí)，由于卯榫的卯頭截面尺寸比大梁或立柱本身的截面尺寸小得多，所以其彎曲剛度亦小得多，在框架失穩(wěn)變形時(shí)，大梁和立柱的變形可以忽略不計(jì)。如圖3a所示，當(dāng)卯榫結(jié)構(gòu)受彎矩作用其彎曲轉(zhuǎn)角φ小于臨界角φ0時(shí)，卯榫的彎矩M和轉(zhuǎn)角φ之間滿足線性關(guān)系M=kφ，其中k為卯榫的彎曲變形剛度系數(shù)。北京大鐘寺的永樂(lè)大鐘重46.5噸懸掛在木架上（圖3b），木架由大梁和立柱通過(guò)卯榫結(jié)構(gòu)進(jìn)行連接，其承重φφ?qǐng)D3a圖3b（1）如圖3c所示，豎直面內(nèi)門型卯榫框架立于水平基石C、D處，已知立柱高為R、橫梁長(zhǎng)為l。立柱、橫梁由卯榫結(jié)構(gòu)連接于A、B，該卯榫的彎曲變形剛度系數(shù)為k1。若在橫梁中心固定一重物，木架失穩(wěn)后立柱在豎直面內(nèi)的側(cè)傾角最大可達(dá)θ0(圖3c圖3d（2）若以上木架橫梁中心固定重物的質(zhì)量為m，系統(tǒng)失穩(wěn)后立柱側(cè)傾角θ(θ<φ0（3）如圖3d所示，為了提高木架受擾后的穩(wěn)定性和承重能力，在制作卯榫結(jié)構(gòu)時(shí)使木架立柱AC、BD具有一個(gè)原始傾角β，從而具有等腰梯形結(jié)構(gòu)。設(shè)傾斜立柱和橫梁的長(zhǎng)度分別為R、l。木架橫梁中心固定重量為G的重物后受擾失穩(wěn)，系統(tǒng)平衡時(shí)立柱AC、BD的附加傾角（即傾角改變量）分別為θ、γ。求C，D支點(diǎn)受力豎直分量FCy、FDy的大小，（4）對(duì)于圖3d中的木架，若該卯榫結(jié)構(gòu)的彎曲變形剛度系數(shù)為k2，木架橫梁中心固定重物后受擾失穩(wěn)，立柱AC右傾附加傾角達(dá)到最大值θ0(θ0<φ四、（40分）如圖4所示，半徑為R、質(zhì)量均為m的均勻?qū)嵭那蝮wA、B、C兩兩相切地放置在光滑水平面上。三個(gè)球體的外側(cè)有一光滑固定圓筒，其內(nèi)表面與A、B、C外切。初始時(shí)刻，A、B、C靜止，一繞圓筒豎直中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻球體D輕放于球體A、B、C正上方。已知D的質(zhì)量也為m、半徑也為R，D的初始角速度大小為Ω0，D與A、B、C之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，A、B、C三個(gè)球體之間無(wú)摩擦。經(jīng)歷一段時(shí)間后，整個(gè)體系達(dá)到D相對(duì)于A、B、C沒(méi)有滑動(dòng)的穩(wěn)定狀態(tài)。重力加速度大小為g。求：圖4（1）體系從初始狀態(tài)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)所需時(shí)間，以及穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，球體A、D的角速度大小。（2）達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，A、C兩球切點(diǎn)的相對(duì)速度大小與A球質(zhì)心速度大小之比。五、（40分）微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)加速度傳感器在汽車電子、機(jī)器人、工業(yè)自動(dòng)化、衛(wèi)星導(dǎo)航等領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用。電容式加速度計(jì)是一種MEMS加速度傳感器，由固定的金屬電極和可動(dòng)的金屬薄板電極組成可變電容器。當(dāng)傳感器加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，可動(dòng)薄板電極相對(duì)固定電極位置發(fā)生了變化，因此電極之間的電容也發(fā)生變化。利用接口電路測(cè)量電容變化量可以得到加速度的大小。（1）一種常見(jiàn)的梳齒狀差分電容式加速度傳感器如圖5a所示，在絕緣底座上固定兩個(gè)金屬電極板，可動(dòng)電極安裝在絕緣的敏感質(zhì)量塊上，與左右兩個(gè)極板形成兩個(gè)平板電容，分別為C1和C2。當(dāng)傳感器垂直于薄板平面方向加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，敏感質(zhì)量塊平行于此方向發(fā)生平移（極板之間保持平行）。已知可動(dòng)電極與兩側(cè)金屬板的初始距離均為d0，極板的正對(duì)面積為一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，真空介電常數(shù)為ε0，忽略極板邊緣效應(yīng)及底座的影響。當(dāng)可動(dòng)極板與左側(cè)金屬板的距離減少了圖5a圖5b（2）另一種擺式差分電容式加速度傳感器如圖5b所示，在絕緣底座上固定兩個(gè)金屬電極板，可動(dòng)電極通過(guò)一個(gè)轉(zhuǎn)軸連接到底座上，與左右兩個(gè)極板形成兩個(gè)平板電容，分別為C1和C2。在系統(tǒng)靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，可動(dòng)電極與固定電極相平行；當(dāng)傳感器垂直于薄板平面方向加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，可動(dòng)電極繞轉(zhuǎn)軸偏轉(zhuǎn)一個(gè)小角度?，可動(dòng)電極與左右兩個(gè)極板之間不再平行。已知轉(zhuǎn)軸與兩固定電極的距離均為d，薄板電極是邊長(zhǎng)為a的正方形，真空介電常數(shù)為ε0，偏轉(zhuǎn)角（3）差分電容式加速度傳感器的接口電路常采用二極管雙“丁”字型電橋結(jié)構(gòu)如圖5c所示。由二極管D1、D2，電容C1、C2，電阻R1、R2，負(fù)載電阻RL，以及周期性方波信號(hào)源u組成。假設(shè)D1、D2均為理想二極管，方波信號(hào)源u的內(nèi)阻為0，電壓幅值為+U和-U，周期T遠(yuǎn)大于電容充放電的時(shí)間常數(shù)。如圖5d所示，在t=圖5c圖5d六、（40分）一個(gè)深為H的足夠大的池內(nèi)裝滿液體，液體溫度與深度?的關(guān)系為T=T0a2?H?1n+1，0≤?≤H，n為正整數(shù)。液體密度為ρ。一個(gè)薄正圓柱形圓桶質(zhì)量為M，截面積為S，桶壁光滑絕熱。圓桶中有一質(zhì)量為（1）若a=（2）若初始時(shí)刻懸浮圓桶處于穩(wěn)定平衡，求滿足條件的n和a。（3）若n=3，求圓桶懸浮并且處于穩(wěn)定平衡時(shí)活塞在液體中的深度。七、（40分）1908年蓋革設(shè)計(jì)制成了一臺(tái)α粒子電離計(jì)數(shù)器。帶電粒子穿過(guò)氣體能產(chǎn)生電離，電離計(jì)數(shù)器是一種氣體探測(cè)器，它能測(cè)量電離過(guò)程中產(chǎn)生的電荷量。如圖7所示，某電離室可以簡(jiǎn)化為放置在充以氬氣的氣密容器內(nèi)的平行板電容器，電容器兩電極之間施加電壓以產(chǎn)生均勻電場(chǎng)，忽略邊緣效應(yīng)。帶電粒子穿過(guò)電離室時(shí)會(huì)損失能量將氬原子電離，使氬原子電離的平均能量是25eV，產(chǎn)生的電子和氬離子在電場(chǎng)作用下發(fā)生漂移，分別被陽(yáng)極和陰極收集，引出相應(yīng)的電信號(hào)即可實(shí)現(xiàn)對(duì)帶電粒子的測(cè)量。電離室等效電容C=10pF，電極間距d=30cm。電壓U0=1.5×104V時(shí)，電子沿電場(chǎng)方向的漂移速度圖7(1)若電阻R=1011Ω。求(2)若電阻R=5×107(3)電離計(jì)數(shù)器對(duì)入射α粒子計(jì)數(shù)時(shí)，讀出信號(hào)幅度超過(guò)閾值再降到閾值以下的過(guò)程視為有一個(gè)α粒子穿過(guò)了探測(cè)器。如果這一過(guò)程持續(xù)時(shí)間（過(guò)閾時(shí)間）過(guò)長(zhǎng)，入射α粒子頻率過(guò)高時(shí)會(huì)發(fā)生漏計(jì)情況。通過(guò)減小電阻，可以有效降低信號(hào)過(guò)閾時(shí)間，提高計(jì)數(shù)準(zhǔn)確率。將電阻R更換為2×105Ω，信號(hào)幅度閾值設(shè)為ε=（40分）1925年烏倫貝克與古德斯米特提出電子自旋假設(shè)，即電子具有內(nèi)稟角動(dòng)量，角動(dòng)量大小為32?，在測(cè)量方向上的分量只可能為±12?。比如電子在勻強(qiáng)穩(wěn)恒磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向?yàn)闇y(cè)量方向，盡管自旋角動(dòng)量大小是32?，在磁感應(yīng)強(qiáng)度方向上的分量只可能為±12?，而不可能是其它值。電子有自旋磁矩，磁矩大小與角動(dòng)量大小之比稱為旋磁比，自旋角動(dòng)量的旋磁比是軌道角動(dòng)量的兩倍。在氫原子中，原子核相對(duì)電子的軌道運(yùn)動(dòng)會(huì)在電子處形成磁場(chǎng)，該磁場(chǎng)會(huì)影響電子自旋的運(yùn)動(dòng)。設(shè)電子質(zhì)量為m，電子電量大小為e，真空介電常數(shù)為ε0（1）在相對(duì)電子靜止的參考系中，求電子所在位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度大?。唬?）在相對(duì)原子核靜止的參考系中，證明電子自旋磁矩隨電子的運(yùn)動(dòng)發(fā)生進(jìn)動(dòng)，并求自旋磁矩的進(jìn)動(dòng)角速度大小；（3）在相對(duì)原子核靜止的參考系中，若電子的運(yùn)動(dòng)速度與光速之比的三次方是可忽略的小量，求電子所在位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小。(基于玻爾原子模型所解得的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)有所偏差)第39屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試題參考解答（2022年10月6日上午9:00-12:00）一、（1）設(shè)從初始時(shí)經(jīng)過(guò)t時(shí)間，線圈平面法向與磁場(chǎng)夾角為,則有 ①線圈總切割磁力線的面積為 ②設(shè)此時(shí)電動(dòng)勢(shì)為U，則由電動(dòng)機(jī)瞬時(shí)電動(dòng)勢(shì)公式得 ③聯(lián)立①-③，得線圈兩端電壓隨時(shí)間變化為 ④（2）此時(shí)的發(fā)動(dòng)機(jī)電動(dòng)勢(shì)為U1=BSω1cos設(shè)此時(shí)汽車受到的阻力為f,則由能量守恒和功率公式有 ⑥設(shè)加速度大小為ac ⑦聯(lián)立②,⑤,

⑦得，ac=(Babn(3)設(shè)線圈轉(zhuǎn)動(dòng)一圈的總耗能為,由正余弦交變電流的做功公式得 ⑨設(shè)初始時(shí)運(yùn)動(dòng)速度為，由能量守恒公式得

⑩聯(lián)立⑨,⑩得 ?(3)設(shè)線圈轉(zhuǎn)動(dòng)第i圈的總耗能為,由正余弦交變電流的做功公式得 ?設(shè)初始時(shí)運(yùn)動(dòng)速度為，由能量守恒公式得

?考慮到等比數(shù)列求和公式

?聯(lián)立②,?,?,?得 ?評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題40分。第（1）問(wèn)11分：①式2分，②③④式各3分；第（2）問(wèn)11分，⑤式2分，⑥⑦⑧式各3分；第（3）問(wèn)9分，⑨⑩?式各3分；第（4）問(wèn)9分，???式各2分，?式3分。二、(1)在圖中標(biāo)記各量如下,偏折角為?,偏折前的光線與三者連線夾角為β,光線離近鄰白矮星中心的最近距離近似為b(因?yàn)楦鶕?jù)題目給出的條件,β非常小)。另設(shè)背景天體到望遠(yuǎn)鏡的距離為dS,近鄰白矮星到望遠(yuǎn)鏡的距離為dL,背景天體到近鄰白矮星的距離為由幾何關(guān)系和題目給出的公式,

?=θE因題目中給出的各個(gè)角度都是小角, θE≈ β≈tanβ=將θE和b 4GMc2解得b b=4GMc愛(ài)因斯坦環(huán)相對(duì)于觀察者的角半徑 θE=近鄰白矮星的質(zhì)量 M=c2根據(jù)題目給出的條件,dL M=c2將各量代入可得 M=(3×1估算出該近鄰白矮星質(zhì)量為1.34×10(2)作出入射光線在透鏡前表面的法線,入射角為i,折射角為β,根據(jù)折射定律 sini=作出光線在透鏡后表面的法線，根據(jù)折射定律 n0sin因?是小角，所以i? n0(i β=i?Rn將?代入⑩ sini= sini=n (n0 dxdr=分離變量,求積分 0xd透鏡后表面表達(dá)式為 x(r)=Rn(3)在r處和r+Δr處經(jīng)梯度折射率材料出射后光線偏折角度非常接近（可以任意小），近似看作平行光，由光程相等列出n(r)D=n(r+Δr)D+ΔrsinRdndn1nn=?R評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題40分。第（1）問(wèn)13分，①式2分，②③式各1分，⑤⑥⑦式各2分，⑧式1分，⑨式2分。第（2）問(wèn)16分，⑩?式各2分，??式各1分，??式各3分，??式各2分。第（3）問(wèn)11分，?式4分，?式3分，??式各2分。三、由卯榫的彎矩M=k1?W=12木架失穩(wěn)后的附加應(yīng)變能為：?W=k1重物重力勢(shì)能的改變：?U=?GR(1?cosθ)重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為卯榫應(yīng)變能，?U+?W=0④且立柱最大附加轉(zhuǎn)角為θ0，由②③④G=k1木架-重物簡(jiǎn)化為一保守系統(tǒng)，故機(jī)械能守恒：12m⑥式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得：mR2考慮到角度θ很小，有：mR2當(dāng)滿足：2k1>mgR或k系統(tǒng)可做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，角頻率為：ω=2k1?如上圖，以初始橫梁中心O為原點(diǎn)，水平、豎直方向分別為x、y軸方向，建立直角坐標(biāo)系，木架受重物作用立柱AC、BD的附加轉(zhuǎn)角（傾角改變量）分別為θ、γ，則A’、B’點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：XYA'XYB'=R由?得橫梁中心O’坐標(biāo)為：XYO'橫梁于水平方向夾角α滿足：cosα=l+R2sinβ由??,以D為轉(zhuǎn)軸根據(jù)力矩平衡可得：FCy×(lcosα+Rsin可得C點(diǎn)受力豎直分量：FCy=Gl2（注：lcosα+Rsin由系統(tǒng)豎直方向力平衡:FCy+F?b、?a聯(lián)合可得D點(diǎn)受力豎直分量（也可C為轉(zhuǎn)軸根據(jù)力矩平衡可得）：FDy=Gl?b、?b式中cosα由?給出。由?重物重力勢(shì)能的改變：?U=G×?=G=GRcosβ（注：?=Rcosβ+由于失穩(wěn)后橫梁傾角為α，則木架兩個(gè)卯榫的彎角分別為：φ1=φ2=由①??卯榫的附加應(yīng)變能為：?W=k2木架失穩(wěn)時(shí)立柱AC、BD的附加轉(zhuǎn)角分別為θ0、γ0G=k2評(píng)分參考：本題40分。第（1）問(wèn)10分，①②③④⑤每式各2分；第（2）問(wèn)10分，⑥⑦⑧⑨⑩每式各2分；第（3）問(wèn)10分，??式各1分，?式各2分，??式各3分。第（4）問(wèn)10分，?????式各2分四、（1）、設(shè)D球與A、B、C每個(gè)球體之間的壓力大小為N、每個(gè)球體的質(zhì)量為m；在初末狀態(tài)之間的t時(shí)刻，D的角速度（方向繞豎直軸）大小為Ωt，A、B、C球的角速度大小為ωt（由對(duì)稱性可知A、B、C角速度大小相等），末狀態(tài)球D，A的角速度大小分別為Ωf，ωf。A球質(zhì)心速度大小為vC(t)，質(zhì)心末速度大小為球D在豎直方向受合外力為零：3Ncosθ=mg球D繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)方程：?3μN(yùn)Rsinθ=I球A質(zhì)心在平行于水平面內(nèi)的圓周上運(yùn)動(dòng)。質(zhì)心的切向運(yùn)動(dòng)方程：μN(yùn)=mdv球A繞過(guò)其質(zhì)心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)方程（只有D球?qū)ζ淠Σ亮Ξa(chǎn)生非零力矩）：μN(yùn)R=Idω(t)到達(dá)末狀態(tài)時(shí)，A、B、C球分別與D球無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，接觸點(diǎn)處相對(duì)速度為零給出約束條件：ωfR+vCf=Ωf②，③，④對(duì)時(shí)間積分得到達(dá)到末狀態(tài)之前任意時(shí)刻的角速度、速度：Ω(t)=Ω0vC(t)=ω(t)=μN(yùn)RI設(shè)整個(gè)過(guò)程經(jīng)歷的時(shí)間為T，則有Ωf=Ω(T),由⑤⑥⑦⑧⑨以及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=2T=1μN(yùn)2mRsinθ

由①⑩以及sinθ=33由⑥⑧⑨?式解得：ωf=5Ωf=7（2）、以下記四個(gè)球體的質(zhì)心分別為A、B、C、D。在整個(gè)過(guò)程中，過(guò)D球質(zhì)心的豎直軸保持不變。以正三角形ACB的中心O為原點(diǎn)，BO方向?yàn)閤軸，在ACB平面內(nèi)過(guò)O點(diǎn)平行于AC方向的軸為y軸，豎直向上為z軸（過(guò)D點(diǎn)）建立直角坐標(biāo)系。x、y、z三個(gè)方向的單位矢量分別記為i，末狀態(tài)A球繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度矢量在AOD平面內(nèi)且垂直于AD。由幾何關(guān)系可知A球繞其自身質(zhì)心的角速度矢量、A球質(zhì)心繞z軸圓周運(yùn)動(dòng)的角速度矢量以及A球質(zhì)心的位置矢量分別為：ωf→=ΩA→=rA→=其中，RcosRA→（A球上）切點(diǎn)的速度：vA=相似地，C球繞其質(zhì)心的角速度矢量、C球質(zhì)心繞z軸的角速度以及C球質(zhì)心的位置矢量分別為：ωf'ΩC→rC→RC→接觸點(diǎn)的速度：vC=由以上表達(dá)式得：vA?求得相對(duì)速度大小為：ωfR由eq\o\ac(○,7)eq\o\ac(○,8)eq\o\ac(○,22)及sinθ=33得到比值為：512?評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題40分。第（1）問(wèn)20分，①②③④式各2分，⑤式3分，⑥⑦⑧式各1分，???式各2分；第（2）問(wèn)20分，。?????????式各2分，??式各1分五、（1）初始狀態(tài)C ①改變距離后C ②差分電容Δ ③（2）首先推導(dǎo)偏角為?兩非平行平板電容表達(dá)式考慮兩極板延長(zhǎng)線交點(diǎn)為O，電場(chǎng)線和電勢(shì)線關(guān)于O點(diǎn)圓周對(duì)稱，以O(shè)點(diǎn)為圓心建立極坐標(biāo)系(r,θ)。設(shè)上極板電勢(shì)U2，下極板電勢(shì)U1，等勢(shì)面U與U= ④電場(chǎng)為E ⑤距離O點(diǎn)r處的電荷密度為σ ⑥從r到r+dr處的窄條上電荷量dQ= ⑦對(duì)極板上電量積分Q= ⑧非平行平板電容C= ⑨即C ⑩ΔC= ?（3）在t=t0時(shí)，u輸出方波正半周，D2t=t0時(shí)U ?

（該初始條件參見(jiàn)負(fù)半周時(shí)的等效電路，D1導(dǎo)通，D電源內(nèi)阻為0，進(jìn)一步簡(jiǎn)化列電路方程? ?I ?I ?計(jì)入初始條件?式可得關(guān)于UC1d

?令τ

?d解得（可用從UC1t0U

?可得I11t從而V

?評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題40分。第（1）問(wèn)6分，①②③式各2分；第（2）問(wèn)14分，④⑤⑥⑧⑨⑩?各2分；第（3）問(wèn)20分，C1電容初始條件?式4分，????????六、（1）平衡時(shí)容器內(nèi)的氣體的溫度與導(dǎo)熱活塞接觸液面的溫度相等。氣體的溫度為T0T0a因此，平衡時(shí)活塞在液體中的深度為?0=根據(jù)力平衡，氣體在下表面處的壓強(qiáng)PP下=并且氣體在上表面處的壓強(qiáng)PP上=氣體懸浮時(shí)，上下壓強(qiáng)相等，PV0=氣體懸浮滿足阿基米德浮力定律。當(dāng)容器位置發(fā)生改變，活塞所處深度變?yōu)?'=?0P'下由于a=0，因此，液體和氣體溫度V=P氣體系統(tǒng)上表面壓強(qiáng)變?yōu)镻'上氣體系統(tǒng)上下壓強(qiáng)差為ΔP，正方向向下，ΔΔP=如果容器處于穩(wěn)定平衡，則容器偏離初始平衡位置后，壓強(qiáng)差ΔP必須與Δx符號(hào)相反。根據(jù)上式，由于ΔP與（2）當(dāng)活塞處于液體深度?=T=T氣體在下表面的壓強(qiáng)為P下=氣體在上表面的壓強(qiáng)為P上=根據(jù)氣體狀態(tài)方程P下V初始時(shí)刻，懸浮容器滿足阿基米德定律V0=氣體系統(tǒng)上下壓強(qiáng)差ΔPΔP=若懸浮容器處于穩(wěn)定平衡，則壓強(qiáng)差ΔP必須與任意小的Δxn=1且a>1（3）n=3，壓強(qiáng)差ΔP=當(dāng)ΔP=0時(shí)，ΔρgH2則ΔxΔxm當(dāng)0<Δx<Δxm+或者Δ當(dāng)Δxm?<Δx<0或者Δ因此，容器懸浮并且處于穩(wěn)定平衡時(shí)活塞的位置為?=H評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題40分。第（1）問(wèn)16分，②③④⑤⑥⑦⑧⑨各2分第（2）問(wèn)12分，??????各2分第（3）問(wèn)12分，??????各2分七、（1）電離室的平行板電極的作用如同一個(gè)電容器，電容C=10pFRC=1因此在電子和離子的漂移過(guò)程中電容可以相對(duì)獨(dú)立考慮。設(shè)沿著陽(yáng)極距離x0=10cm處粒子徑跡所產(chǎn)生的電子-離子對(duì)數(shù)目為N。它們?cè)陔妶?chǎng)中的漂移導(dǎo)致電極上產(chǎn)生感應(yīng)電荷，使電離室電容電壓產(chǎn)生一定的變化量ΔU=當(dāng)有N個(gè)電荷q從x0移動(dòng)到x的過(guò)程中，電容上存儲(chǔ)的能量CU012C12C這里Ex=5MeV的αN=5這時(shí)即便所有的電子都移動(dòng)到陽(yáng)極，對(duì)電離室電容兩端的電壓改變很小，因?yàn)?N?U+U由第③式得ΔU=?N也就是說(shuō)在Δt時(shí)間內(nèi)，電荷移動(dòng)帶來(lái)的電壓改變?yōu)?N?qC?考慮到電壓改變有來(lái)自于漂移速度快的電子和速度慢的離子兩者的貢獻(xiàn)。v+和v?分別表示離子和電子的平均漂移速度，+eΔU+ΔU?其中ΔU0<t而對(duì)電子的漂移時(shí)間有0<t應(yīng)當(dāng)指出，電子和離子對(duì)信號(hào)的貢獻(xiàn)具有相同的符號(hào)，因?yàn)樗鼈償y帶的電荷符號(hào)相反，且漂移方向亦相反。由于⑨⑩??，最終信號(hào)讀出為ΔU=Δ當(dāng)正離子被陰極收集后，系統(tǒng)按照RC電路運(yùn)轉(zhuǎn)，電阻R上的電壓將變?yōu)?。綜上所述，電阻R上電壓隨時(shí)間的變化規(guī)律為URtURtURt說(shuō)明：考慮氬離子漂移帶來(lái)的電壓改變，當(dāng)t≤T?時(shí)，U（2）受潮后電阻R=T+>電子的漂移過(guò)程基本不受電阻影響，而氬離子的漂移過(guò)程中會(huì)有一部分能量通過(guò)電阻R損失掉，因此電子漂移造成的電壓變化仍然是ΔU?在電子被陽(yáng)極搜集以后，因?yàn)殡x子的漂移時(shí)間與系統(tǒng)特征時(shí)間（RC）相近，系統(tǒng)可以理解為一個(gè)帶電流源的RC電路（在上一問(wèn)中，流經(jīng)電流源的電流都流入在電容器，而這里會(huì)被電阻R分流）。又由于電容電壓在U0在離子漂移速度確定為v+的情況下，參考第⑧式，等效電流源IId+根據(jù)基爾霍夫定律，有?IdΔU+在離子完全被陰極吸收時(shí)ΔU+T+=?IdURtURtURt（3）當(dāng)R=T+?因此當(dāng)0≤?IdId?因此電子漂移被陽(yáng)極吸收產(chǎn)生的電壓為ΔU?而氬離子漂移被陰極吸收產(chǎn)生的電壓大小?Ned因此以下的計(jì)算中不需要考慮氬離子漂移帶來(lái)的影響。因此讀出信號(hào)隨之間的變化為URtURt設(shè)信號(hào)幅度上升超過(guò)閾值的時(shí)間為t1，下降越過(guò)閾值的時(shí)間為tNedvNedv也就是t1=?t2=?對(duì)于過(guò)閾時(shí)間Δt有ΔtΔt=RC50kHz對(duì)應(yīng)的事例間隔為20μs，此時(shí)的探測(cè)器滿足50kHz評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題40分第(1)問(wèn)16分，其中①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩??????各1分；第(2)問(wèn)11分，其中?????各1分，???各2分；第(3)問(wèn)13分，其中?????????????各1分。八、、根據(jù)玻爾氫原子模型有如下方程組mv2方程解